La vecchia moto

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franco
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La vecchia moto

Messaggio da franco »

Tre amici di Villasor, Antine, Bachis e Chirigu, decidono di andare a Marrubiu, un paesotto che dista 60 km dove si favoleggia di belle ragazze.
Hanno a disposizione una moto vecchiotta ma affidabile che può portare due persone alla volta a una velocità media di 50 km/h.
In alternativa non ci sono che le gambe che permettono loro di percorrere 5 km ogni ora.
Riusciranno i 3 amici ad arrivare a Marrubiu in 3 ore?

Una settimana dopo, ai tre si unisce anche Doddore ma l'unico mezzo di locomozione è sempre la vecchia moto che va a 50 km/h.
Riusciranno i 4 ad arrivare a Marrubiu in 4 ore?

E più in generale, riusciranno K amici a precorrere la strada tra Villasor e Marrubiu in K ore? (sempre ammesso che la vecchia moto non li pianti in asso prima ancora di raggiungere Serramanna?).



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Pasquale
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Re: La vecchia moto

Messaggio da Pasquale »

1° quesito

Impostando un po' d'equazioni in sistema, la cosa si risolve con la giusta strategia di movimenti, ma fondo non c'è bisogno di tanto, per cui, con la stessa strategia, la faccenda si può risolvere a vista, più semplicemente:

1) divido il percorso in 3 segmenti EF, FG , GH
2) A carica B sulla moto con partenza da E e lo sgancia al 50° Km in G; impiegano ambedue 1 ora; quindi B prosegue a piedi per altri 10 Km fino ad H ed impiega ulteriori 2 ore
3) alla partenza A aveva detto a C : "intanto fatti 10 Km fino al punto F, ché poi vengo a prenderti"; C impiega 2 ore per raggiungere F e lì trova A in attesa, giunto prima di lui
4) A carica C sulla moto ed ambedue se ne vanno in H, impiegando ancora 1 ora.

Tutti hanno raggiunto la destinazione in 3 ore, anche se c'era la possibilità per qualcuno di impiegare meno.
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franco
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Re: La vecchia moto

Messaggio da franco »

Concordo con te.
Una volta lasciato Bachis al 50° km, Antine può prendersela comoda: ha 12 minuti di margine per raggiungere Chirigu al 10° km e quindi potrebbe risparmiare un po' il motore andando a 40 km/h.

Mi sa tanto però che la settimana successiva ci sia qualche problemino ...
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Pasquale
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Re: La vecchia moto

Messaggio da Pasquale »

...si è vero, con 4 persone finora non mi è riuscito: le 4 ore vengono superate di un'inezia, però vengono superate.
Non l'ho presa con comodo ed ho risparmiato all'osso, tuttavia non c'è stato nulla da fare, almeno con la strategia dei movimenti prescelta.
Ho fatto in modo che tutti arrivassero entro le 4 ore, ma la tratta finale, pur se percorsa tutta a 50 km/h, non ha consentito il raggiungimento dell'obiettivo.
Forse devo cambiare strategia, ma quella presecelta mi è sembrata la migliore:

1) A accompagna B in moto fino al punto in cui, b proseguendo a piedi impiega in tutto 4 ore precise; contemporaneamente al percorso in moto, C e D avanzano a piedi;
2) A torna indietro fino a raggiungere C e D che intanto continuano il loro percorso.
3) A carica C e lo porta fino al punto in cui C proseguendo a piedi impiega 4 ore in tutto, mentre D continua il suo procedere a piedi
4) A ritorna verso D che continua nel suo procedere, fino al punto d'incontro, ove A lo carica sulla moto ed ambedue se ne vanno al traguardo.

Sommando il tempo di D relativamente al percorso a piedi con la parte finale effettuata in moto, il totale è maggiore di 4: ho visto e rivisto i calcoli, ma con questa strategia niente da fare, a meno che non abbia fatto e rifatto sempre lo stesso errore, o ogni volta un errore diverso. Boh ! Arrotondamenti non ne ho fatti ed ho portato avanti le frazioni sino alla fine, sotto forma di novantanovesimi.
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Pasquale
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Re: La vecchia moto

Messaggio da Pasquale »

OK, ci sono anche con 4 persone:

resta valida tutta la strategia dei movimenti di cui al precedente post, eccetto la prima mossa:

A conduce B in moto fino al 45° Km, da dove C proseguirà a piedi e giungerà allo scadere delle 4 ore; A torna indietro e quindi accompagnerà C fino al punto che consentirà a questultimo, in qualità di pedone-motorizzato-pedone, di completare il percorso in 4 ore esatte.

A ritorna verso D e lo conduce in moto al traguardo: il tempo totale impiegato da questi due risulterà di poco inferiore alle 4 ore.

Suppongo ( a intuito ) che con K persone e K ore a disposizione, si potrà procedere come sopra, mutatis mutandis alla prima mossa e lasciando inalterati gli andirivieni successivi:

A conduce B in moto fino al Km 5(k-1).
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gnugnu
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Re: La vecchia moto

Messaggio da gnugnu »

Io, per via grafica, trovo risultati diversi.
Nel caso di quatto persone e arrivo contemporaneo (dovrebbe essere la strategia ottimale), servono 4 ore e alcuni minuti.
Anche nel caso di cinque amici si sfora un po': meno di 45 secondi.
Oltre ai cinque si riesce a concludere in tempo.
Ciao

franco
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Re: La vecchia moto

Messaggio da franco »

Con i quattro amici arrivo anch'io alla conclusione che 4 ore non bastano (ci sono arrivato analiticamente).
Ho in mente una forma di generalizzazione ma ho bisogno di tempo per metterla su carta (e ancora di più per renderla "visibile").

ciao
Franco

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Pasquale
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Re: La vecchia moto

Messaggio da Pasquale »

Si Franco hai ragione. Ho rifatto i conteggi e questa volta (con tutte 'ste frazioni, ogni volta mi viene un risultato diverso) sono ritornato ad un tempo maggiore di 4 ore per gli ultimi due che raggiungono la destinazione. Infatti, quando avevo ottenuto il risultato favorevole, mi chiedevo come mai fosse così, dal momento che A aveva effettuato un percorso maggiore di quello che gli avevo fatto fare la prima volta. Misteri della calcolatrice a mano.
Strano quanto accade, sentiti i risultati di Gnugnu: con 3 ci si fa, con 4 e 5 no, dopo si. Ci sarebbe dunque qualcosa di non lineare.
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gnugnu
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Re: La vecchia moto

Messaggio da gnugnu »

@Pasquale:
il tempo impiegato da n amici per arrivare a destinazione ha, in funzione di n, un andamento iperbolico, A partire da $1^h 12^'$ nel caso di 1 o 2 amici, tende a 12 ore quando n diventa molto grande. Il grafico seguente riporta i tempi per piccoli valori di n confrontati con la retta t=n.
moto.png
moto.png (7.89 KiB) Visto 9035 volte
Il ritardo esatto nel caso di 4 amici è 288 secondi, mentre con 5 scende a 42.35....

@Franco:
bella l'idea di parametrizzare il tutto! Si ottiene una formula semplice e non priva di una certa simmetrica eleganza. Il notare che gli spostamenti in moto hanno, nel caso di strategia ottimale, due sole lunghezze: una per quelli con due persone a bordo e l'altra all'indietro per andare a recuperare un nuovo amico appiedato, semplifica drasticamente i calcoli.

Ciao

franco
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Re: La vecchia moto

Messaggio da franco »

gnugnu ha scritto:Si ottiene una formula semplice e non priva di una certa simmetrica eleganza. Il notare che gli spostamenti in moto hanno, nel caso di strategia ottimale, due sole lunghezze: una per quelli con due persone a bordo e l'altra all'indietro per andare a recuperare un nuovo amico appiedato, semplifica drasticamente i calcoli.
E' proprio quanto stavo facendo.
Se non ho fatto errori, i tragitti in moto in direzione Nord (Villasor -> Marrubiu) sono lunghi $(600-50K)/9$ km e la moto li percorre $K-1$ volte.
I tragitti in moto in direzione Sud(Marrubiu -> Villasor) sono lunghi $(600-50K)/11$ km e la moto li percorre $K-2$ volte.
A questo punto, sapendo che la velocità massima della moto è di 50 km/h diventa semplice vedere se $K$ ore sono sufficienti per fare la spola.
K= 3 T= 2,81 h
K= 4 T= 4,21 h
K= 5 T= 5,02 h
K= 6 T= 5,51 h
K= 7 T= 5,61 h
K= 8 T= 5,29 h
K= 9 T= 4,58 h
K=10 T= 3,45 h
K=11 T= 1,93 h

Il risultato non coincide con quello di Gnugnu perché ipotizza che Antine, una volta fatto su e giù con la moto aspetti a Marrubiu (in compagnia dell'ultimo passeggero) l'arrivo del gruppo degli amici che aveva scaricato di volta in volta lungo strada.
E' evidente che se ricomincia a fare la spola tutta la compagnia può anticipare l'arrivo ...

Naturalmente, quando gli amici sono 12 o più la moto può anche stare in garage dato che in 12 ore si arriva a Marrubiu tutti in gruppo a piedi.

@ Gnugnu
Questa ultima considerazione mi lascia un po' perplesso rispetto al tuo grafico dove sembrerebbe che le 12 ore siano all'asintoto.
Franco

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gnugnu
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Re: La vecchia moto

Messaggio da gnugnu »

franco ha scritto:Questa ultima considerazione mi lascia un po' perplesso rispetto al tuo grafico dove sembrerebbe che le 12 ore siano all'asintoto.
12 ore è il tempo che impiegherebbero 12 o più amici per arrivare a destinazione 'lasciando la moto in garage'. Con l'aiuto di questa possono sempre fare prima.
La formula generale che ho trovato è:
$\displaystyle \frac {t_n} {t_2}= \displaystyle \frac {(2n-3)v_m+v_p} {v_m+(2n-3)v_p}=\displaystyle \frac {(2n-3)r+1} {r+2n-3}$
dove:
$t_n$ è il tempo impiegato da n amici;
$t_2$ è il tempo impiegato da 2 amici, cioè quello dell'intero tragitto in moto;
$v_m$ la velocità della moto;
$v_p$ la velocità dei pedoni;
$r$ il rapporto fra le due velocità;
$n$ il numero di persone che si devono spostare.

Ciao

panurgo
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Re: La vecchia moto

Messaggio da panurgo »

Andiamo per via grafica: in ascissa il tempo, in ordinata lo spazio.
I nostri amici devono percorrere la distanza D in un tempo massimo T; a piedi vanno alla velocità v, in moto alla velocità V
panurgoLaVecchiaMoto01.png
panurgoLaVecchiaMoto01.png (24.55 KiB) Visto 9016 volte
Con riferimento alla figura, la retta passante per l’origine rappresenta il moto dei pedoni, la retta ad essa parallela delimita la regione (il triangolo superiore) nella quale i pedoni possono raggiungere la destinazione in tempo utile mentre i segmenti che le uniscono rappresentano l’andirivieni della moto che trasporta i pedoni nella zona utile.
Dal grafico è evidente che il dente di sega che rappresenta la moto è sempre uguale, e non è difficile convincersene se osserviamo che le pendenze dei segmenti sono le stesse e le due rette “pedonali” sono parallele: ci basterà dunque trovare il tempo necessario per un andirivieni della moto, moltiplicarlo per $n\,-\,2$ (due in meno, uno per il guidatore della moto e uno per l’ultimo passeggero dato che la moto non torna indietro) ed infine aggiungere il tempo di un tragitto in avanti.
Le equazioni delle rette sono: retta di partenza della moto

$\displaystyle s\,=\,v\,t$

retta di arrivo della moto

$\displaystyle s\,=\,s_T\,+\,v\,t$

con $s_T\,=\,D\,-\,v\,T$; retta contenente la prima andata della moto

$\displaystyle s\,=\,V\,t$

retta contenente il primo ritorno della moto

$\displaystyle s\,-\,s_{\text A}\,=\,-\,V(t\,-\,t_{\text A})$

dove $\left(s_{\text A}; \,t_{\text A}\right)$ è l’intersezione della “prima retta della moto” con la “retta di arrivo”

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lC}
s\,=\,V\,t \\
s\,=s_T\,+v\,t
\end{array}\right.
\qquad\Longrightarrow\qquad
\left\{\begin{array}{lC}
t_{\text A}\,=\,s_T\frac 1 {V-v} \\
s_{\text A}\,=\,s_T\frac V {V-v}
\end{array}\right.$

Cioè

$\displaystyle s\,=\,2\,s_T\,\frac V {V-v}\,-\,V\,t$

L’intersezione della “seconda retta della moto” con la “retta di partenza” ci fornisce il tempo totale di un dente di sega

$\displaystyle \left\{\begin{array}{lC}
s\,=\,2\,s_T\,\frac V {V-v}\,-\,V\,t \\
s\,=\,v\,t
\end{array}\right.
\qquad\Longrightarrow\qquad
t_\text{AR}\,=\,2\,s_T\,\frac V {\left(V+v\right)\left(V-v\right)}$

Il tempo totale necessario per il viaggio di $n$ amici è dunque dato dall’equazione

$\displaystyle T\,=\,\left(n\,-\,2\right)\,t_\text{AR} + t_\text{A}$

ovvero

$\displaystyle \left[\frac{2\left(n-2\right)V}{\left(V+v\right)\left(V-v\right)}\,+\,\frac 1 {V-v}\right]\left(D\,-\,v\,T\right)\,=\,T$

Con i soliti “pochi passaggi di facile algebra” otteniamo

$\displaystyle T\left(n\right)\,=\,\frac DV\times\frac{2V\,n-3V+v}{2v\,n+V-3v}\,=\,\frac 65\times\frac{20\,n-9}{2\,n+7}\,\text{h}$

con i dati del problema.

Chiaramente è $\lim_{n\to\infty}T\,=\,\frac Dv$ (ed è questo il motivo per cui nelle figure il tempo è limitato a $12\,\text{h}$) mentre per trovare per quali valori di $n$, $n$ amici ce la fanno in $n$ ore non resta che risolvere la disequazione

$\displaystyle \frac 65\times\frac{20\,n-9}{2\,n+7}\,\leq\,n$

una disequazione di secondo grado in $n$ (anche qui vi risparmio l’algebra) verificata per

$\displaystyle 2\,\leq\,n\,\leq\,\frac{85-\sqrt{265}}{20}\,=\,3,43\ldots$

e

$\displaystyle n\,\geq\,\frac{85+\sqrt{265}}{20}\,=\,5,06\ldots$

e cioè non per $n\,=\,4$ (vedi la prima figura) né per $n\,=\,5$
panurgoLaVecchiaMoto02.png
panurgoLaVecchiaMoto02.png (25.92 KiB) Visto 9016 volte
ma per tutti gli altri valori di $n$, per esempio
panurgoLaVecchiaMoto03.png
panurgoLaVecchiaMoto03.png (32.05 KiB) Visto 9016 volte
e
panurgoLaVecchiaMoto04.png
panurgoLaVecchiaMoto04.png (32.48 KiB) Visto 9016 volte
Per completare la discussione aggiungo che il tempo necessario al trasporto secondo questo schema è minimo per gli $n$ amici: infatti, se qualcuno viene trasportato più in là della retta “di arrivo” completerà il percorso in un tempo minore ma, per contro, la moto completerà il dente di sega in un tempo maggiore e qualcuno degli amici finirà per non arrivare in tempo.

Se avete la curiosità di sapere quanta strada percorre la moto, essa è $S\left(n\right)\,=\,V\,T\left(n\right)$ e il suo limite è $\lim_{n\to\infty}S\,=\,\frac D{v/V}\,=\,600\,\text{km}$
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

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