La cicala e la formica (nuova favola)

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franco
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La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da franco »

Una cicala e una formica si muovono l'una incontro all'altra lungo una fune elastica lunga inizialmente 12 metri (partendo dalle estremità opposte).
Un apposito meccanismo, ogni minuto dopo la partenza delle amiche, tira le estremità della fune facendola allungare di 3 metri.
La cicala cammina alla velocità di un centimetro al secondo mentre la formica, per risparmiare le forze, percorre un centimetro ogni due secondi.

Sapendo che la fune, a forza di tirare, si spezzerà al raggiungimento dei 300 metri di lunghezza, la cicala e la formica si incontreranno mai per riscrivere la loro favola?


A289
Franco

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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da gnugnu »

Problema con i dati molto accurati!
Supponendo, fisica permettendo, che l'allungamento della fune sia istantaneo, GeoGebra mi dice che i due personaggi si incontrano.
Per riscrivere la favola devono, però, allontanarsi in fretta dall'elastico che, dopo meno di 64 secondi, si spezzerà pericolosamente (eviterei materiali e macchinari di dubbia provenienza).

Ciao e... auguri a tutte le frequentatrici del forum.

franco
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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da franco »

Sono arrivato alla stessa conclusione per via numerica grazie a una formula ricorsiva che, se riesco, proverò a scrivere in LaTex.
La cicala e la formica si incontrano pochi istanti prima dello scoccare del 95° minuto (e al minuto 96 la corda si spezzerà).

Non mi dispiacerebbe però provare a risolvere analiticamente il problema ipotizzando che la fune non venga allungata "a scatti" ogni minuto ma in maniera continua ...

... se nel frattempo ci vuole provare qualcun altro è il benvenuto :D
Franco

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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da Info »

scusate se elimino la mia soluzione.... ho notato un grave errore all'inizio del calcolo, sara`ripostata dopo la correzione

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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da Info »

la fune si allunga di 3m ogni minuto, quindi 5cm al secondo
lunghezza fune: (1200+5x) cm dopo x secondi

la cicala si muove di 1cm/s (ho aggiunto lo spazio guadagnato ogni x secondi)
tratto percorso: $x+\frac{x}{1200+5x} = \frac{1200x+5x^2+x}{1200+5x} = \frac{1201x+5x^2}{1200+5x}$ cm

la formica si muove di 0.5 cm/s (ho aggiunto lo spazio guadagnato ogni x secondi)
tratto percorso: $\frac{x}{2}+\frac{\frac{x}{2}}{1200+5x} = \frac{\frac{x\left\(1200+5x\right\)}{2}+\frac{x}{2}}{1200+5x} = \frac{1201x+5x^2}{2\left\(1200+5x\right\)}$ cm

distanza fra cicala e formica uguale a 0?
$1200+5x-\frac{1201x+5x^2}{1200+5x}-\frac{1201x+5x^2}{2\left\(1200+5x\right\)}=0$
$(1200+5x)^2-1201x-5x^2-\frac{1201x+5x^2}{2}=0\\ (1200+5x)^2-\frac{15}{2}x^2-\frac{3603}{2}x=0\\ 1440000+12000x+25x^2-\frac{15}{2}x^2-\frac{3603}{2}x=0\\ 1440000+\frac{20397}{2}x+\frac{35}{2}x^2=0$

bene, le soluzioni sono da inserire nell'equazione della lunghezza della corda
purtroppo le soluzioni sono entrambe negative, quindi non ha senso cercare la lunghezza della corda.

Per questo sarei curioso di sapere come siete giunti voi alla lunghezza della corda durante l'incontro.....

gnugnu
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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da gnugnu »

Info ha scritto:la fune si allunga di 3 m ogni minuto, quindi 5 cm al secondo
lunghezza fune: (1200+5x) cm dopo x secondi
Ho interpretato il testo considerando un allungamento istantaneo della fune di 3 m allo scadere di ciscun minuto.
Con questa impostazione si può trovare la distanza che separa i personaggi un minuto dopo la partenza, facendo la differenza fra i 12 m iniziali e i 90 cm che hanno percorso, a cui bisogna sommare la conseguenza dell'allungamento dell'elastico, che li allontanerà meno di 3 m, perché non si trovano più agli estremi del medesimo.
Iterando questo calcolo è possibile individuare tutte le distanze alla fine dei successivi intervalli.
Ciao

franco
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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da franco »

Il testo del problema prevedeva appunto un allungamento istantaneo della corda allo scadere dei minuti.

L'estensione a un allungamento continuo è interessante. Considerando che nella situazione "discontinua" si era arrivati all'incontro pochissimo prima della rottura, non trovo inverosimile il risultato di Info ma mi voglio studiare un po' meglio le equazioni.

Ciao





Correzione: per errore nella prima riga avevo scritto "allo scadere dei 3 minuti"
Ultima modifica di franco il lun mar 09, 2015 10:52 pm, modificato 1 volta in totale.
Franco

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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da Info »

Ciao Franco,
scusami ma spiegami come mai il mio risultato non dovrebbe essere inverosimile, vorrebbe dire che cicala e formica si stanno allontanando l'una dall'altra, penso che l'unica ragine potrebbe essere questa: lo spazio fra l'inizio della corda e la cicala e quello fra la fine e la formica dovrebbero essere in aumento. A questo punto anche la versione discontinua avrebbe dato problemi nel trovare la soluzione, e questo non si e`verificato.

Cosa ne pensi?

franco
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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da franco »

Spero la mia risposta non sia sembrata irrispettosa :), non era nelle mie intenzioni.

Ciò che intendevo è questo:

Se facendo il conto a allungamenti discontinui fosse risultato che cicala e formica si incontravano mezz'ora prima della rottura della corda, avrei avuto il fortissimo dubbio che uno dei due calcoli (il tuo "continuo" oppure il nostro "discontinuo") fosse sbagliato.
In questo caso invece a noi risulta che la corda di spezzi circa un minuto dopo l'incontro e questo tempo è dello stesso ordine di grandezza del periodo degli allungamenti (ogni minuto).
Mi sembra quindi probabile (o meglio, verosimile) che i due calcoli siano entrambi corretti; semplicemente sono riferiti a due situazioni leggermente diverse e ciò può giustificare il risultato completamente opposto :D

ciao
Franco

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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da Info »

ahahahaha ma dai Franco :-)))))) irrispettosa..... :-)))))))))
tranquillo che non l'ho mai pensato :-)

solo che sono convinto di aver sbagliato qualcosa, ok leggermente diversi fra loro ma comunque mi sarei aspettato almeno un valore positivo, eppure ho riguardato il calcolo svariate volte....

mah, i misteri della matemagica

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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da franco »

Info ha scritto: mah, i misteri della matemagica
a proposito di matemagica, avete mai visto questo?
http://www.ted.com/talks/arthur_benjami ... mathemagic

Forse è stato già citato nel forum ma io non lo ricordo e comunque è sempre
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gnugnu
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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da gnugnu »

Lavorando sulle ipotesi di Franco ho trovato, salvo errori, questi risultati interessanti:
cicfor.png
cicfor.png (19.05 KiB) Visto 11225 volte
I grafici riportatano, misurate in metri, la distanza fra cicala e formica in funzione della lunghezza dell'elastico.
I punti romboidali sono quelli del problema originale.
La sottile linea nera è stata ricavata dall'equazione differenziale del moto nel caso di allungamento continuo dell'elastico ed ha equazione $ d=l \cdot (1-0.3 \cdot ln( \frac l {12})) $, ben più semplice di quanto mi aspettassi.
Quella intermedia più marcata è formata dai punti ricavati nel caso di allungamento dell'elastico di 1 m alla fine di ogni intervallo di 20 sec.
Come aveva previsto Franco, se l'elastico si spezza quando è lungo 300 m, cicala e formica non riescono ad incontrarsi nel caso di un all'ungamento continuo.
Ciò che mi ha maggiormente sorpreso è, però, quella linea rossa che ben approssima i risultati del problema originale. Chi riesce ad indovinare che curva è?
Ciao

Pasquale
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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da Pasquale »

Le seguenti due routine in Decimal Basic confermano quanto già detto da altri:

nella prima vengono considerati un avvicinamento fra cicala e formica di 90cm/min e un allungamento della fune di 300cm/min.
Allo scadere del 95° minuto l'incontro risulta già avvenuto (al 94° non ancora, ma al 95° si; lo si vede sbloccando la 5^ riga di programma):

LET L = 1200 !'lunghezza iniziale della fune in cm
LET d = 1200 !'distanza iniziale in cm fra cicala e formica

FOR m=1 TO 96 'minuti
LET d=d-90 !' accorciamento distanza per ogni minuto trascorso
' PRINT m;d
IF d<=0 THEN
PRINT "incontro già avvenuto allo scoccare del ";m;"° minuto"
EXIT FOR
END IF
LET x=300/L !'incremento di lunghezza su ogni cm di fune, dopo ogni minuto
LET d=d+d*x !'aumento distanza fra cic. e form. dopo ogni minuto
LET L=L+300 !'lunghezza fune allo scatto di ogni minuto
IF L>=30000 THEN PRINT "raggiunti i 300 metri di fune,l'incontro non è avvenuto"
NEXT M

END

Nella seguente invece vengono considerati un avvicinamento fra cicala e formica di 1,5cm/sec e un allungamento della fune di 5cm/sec, come a simulare una tendenza all'allungamento continuo; quindi adattando i valori ai secondi. L'incontro non avviene pur non avendo raggoiunto la continuità.

LET L = 1200 !'lunghezza iniziale della fune in cm
LET d = 1200 !'distanza iniziale in cm fra cicala e formica

FOR s=1 TO 5760 ' secondi
LET d=d-1.5 !' accorciamento distanza per ogni secondo trascorso
'PRINT s;d
IF d<=0 THEN
PRINT "incontro già avvenuto allo scoccare del ";s;"° secondo"
EXIT FOR
END IF
LET x=5/L !'incremento di lunghezza su ogni cm di fune, dopo ogni secondo
LET d=d+d*x !'aumento distanza fra cic. e form. dopo ogni secondo
LET L=L+5 !'lunghezza fune allo scatto di ogni secondo
IF L>=30000 THEN
PRINT "raggiunti i 300 metri di fune,l'incontro non è avvenuto"
EXIT FOR
END if
NEXT S

END
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gnugnu
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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da gnugnu »

Pasquale, puoi controllare, per favore, quanto viene nel secondo caso, la distanza residua fra cicala e formica, quando l'elastico si spezza?
Secondo l'equazione differenziale dovrebbe essere 10.301... metri, Nel caso di allungamenti ogni secondo verrà poco di meno.
Grazie, ciao.

Pasquale
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Re: La cicala e la formica (nuova favola)

Messaggio da Pasquale »

Scusa, mi sono assentato: viene m. 10,121, ma scendendo al millesimo di secondo: m. 10,30099 = 10,301 :D
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