Un pallone nella rete

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

franco
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Un pallone nella rete

Messaggio da franco »

No, non si tratta di calcio ...

Immaginiamo di prendere 12 pezzi di spago della stessa lunghezza e annodarli tre a tre alle estremità in modo da creare una sorta di rete cubica.
All'interno di questa rete mettiamo un pallone sferico e iniziamo a gonfiarlo sino a quando le maglie della rete risulteranno perfettamente tese sulla superficie del pallone.
Il volume del pallone sarà pari, in quel momento, a 9200 cm cubi.

Quanto misurano le maglie della rete?


D346
Franco

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gnugnu
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da gnugnu »

@Franco:
è un problema che ho affrontato da poco su RM, perciò mi astengo dal rispondere.
Una curiosità: cosa significano le sigle rosse che compaiono in basso a sinistra nei bei problemi che posti?
Ciao
Beppe

franco
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da franco »

gnugnu ha scritto: Una curiosità: cosa significano le sigle rosse che compaiono in basso a sinistra nei bei problemi che posti?
Purtroppo ho sempre meno tempo da dedicare alla matematica, non abbastanza per la necessaria concentrazione.
Siccome però riesco frequentemente a spendere un paio di minuti piacevoli per leggere le soluzioni e i ragionamenti altrui, sto cercando di mettere un po' di carne al fuoco per tenere vivo il forum.
Per fortuna ho a disposizione un miniera ben fornita:
i problemi sono tradotti, con qualche "licenza poetica" da un sito di matematica ricreativa Francese (http://www.diophante.fr).
La sigla in basso (ma non sempre mi ricordo di metterla) è il codice del problema, qualora si voglia andare a leggere la soluzione che hanno trovato loro.

P.S.
Ho notato che più volte RM usa la stessa fonte (e sono molto più bravi di me a raccontare il problema in modo gradevole).

2° P.S.
I problemi di queste settimane sono classificati "facili", (2 stelle su una scala di difficoltà da 1 a 5)
Franco

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Pasquale
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da Pasquale »

E' possibile che il lato del cubo misuri cm 16,57 circa?
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franco
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da franco »

Sulla parte intera siamo d'accordo ma sui decimali a me vengono numeri diversi ...
Franco

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panurgo
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da panurgo »

$16,000865\ldots$?
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da franco »

16,000865...!

:)
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Pasquale
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da Pasquale »

Evidentemente ho interpretato la soluzione in modo diverso e certamente errato; anzi mi sono accorto di aver commesso un errore di trascrizione nel corso dei calcoli, per cui il mio risultato corretto sarebbe 16,915, ancora più diverso dalla Vs. soluzione.
Praticamente sono giunto alla conclusione che sulla superficie della sfera gli spaghi si adagiano in modo che lungo un equatore possiamo notare in modo alternato due lati del cubo e due delle diagonali dei quadrati costituenti la superficie laterale del cubo (un lato, una diagonale, un lato, una diagonale). In sintesi un lato ed una diagonale misurano quanto mezza circonferenza massima. Da tale ipotesi:

$l = \frac{pi \cdot r}{sqrt{2}+1} = 16,915$
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gnugnu
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da gnugnu »

Pasquale ha scritto:Evidentemente ho interpretato la soluzione in modo diverso e certamente errato
Errore molto interessante (non sto prendendoti in giro). Ho impiegato un bel po' a capire cosa non funzionasse e se insegnassi ancora userei la tua impostanzione per spiegare come si possa apprendere più dagli errori che dalle soluzioni corrette.
Prova di aggiungere agli spigoli di spago del cubo anche alcune diagonali delle facce (non servono tutte) e pensa a quel che capita gonfiando il palloncino. La superficie della sfera non è sviluppabile sul piano.

Ciao

PS (OT) Ho apprezzato come hai signorilmente evitato di utilizzare anagrammi cattivi nell'altra discussione.

Pasquale
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da Pasquale »

La mia impostazione l'ho dedotta dalla foto che segue. I fili sono tutti "tirati". se avessi aggiunto un quarto filo per creare una diagonale reale, la distanza fra due spigoli appoggiati sulla sfera con tutta la diagonale sarebbe diversa da quella fra gli stessi spigoli senza il filo aggiuntivo? Sulla foto si vede bene che 3 spigoli consecutivi misurano quanto mezza circonferenza. In sostanza tu dici che quella che avrebbe potuto essere una diagonale tale non è? E' più di una diagonale, per cui il rapporto che ho impostato diminuisce?
E' solo un arco di circonferenza da calcolare a parte? La vera diagonale sarebbe una corda?
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da franco »

I nodi della rete si dispongono sulla superficie del pallone in modo da coincidere con i vertici di un cubo inscritto nella sfera.
La diagonale interna del cubo coincide con il diametro della sfera e gli spigoli costituiscono delle corde sottese agli archi di cerchio massimo che non sono altro che le maglie della nostra rete.

Una volta visualizzata questa immagine, i calcoli sono abbastanza semplici: dal volume della sfera si calcola raggio/diametro, dal diametro (= diagonale) si calcola la lunghezza dello spigolo del cubo, noti lo spigolo (= corda) e il raggio si calcola l'arco di cerchio massimo.

E' rimarchevole il fatto che con il volume dato (9200 cm cubi) raggio, spigolo e maglia della rete assumono valori "quasi" interi :)
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gnugnu
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da gnugnu »

Pasquale ha scritto:Sulla foto si vede bene che 3 spigoli consecutivi misurano quanto mezza circonferenza. In sostanza tu dici che quella che avrebbe potuto essere una diagonale tale non è? E' più di una diagonale, per cui il rapporto che ho impostato diminuisce?
Se la prima affermazione vuol dire che gli estremi del percorso formato da tre spigoli consecutivi, non appartenenti alla nedesima faccia, sono diametralmente opposti, concordo.
E allora può apparire evidente che la somma di uno spigolo con la diagonale di una faccia debba dare metà della circonferenza massima, ma non è così: archi e corde non sono proporzionali.
Come afferma, giustamente, Franco, quando gli spigoli sono tesi sulla superficie sferica i vertici individuano ancora un cubo (più piccolo di quello originale); diagonali delle facce e spigoli di questo cubo hanno ancora rapporto uguale a $ \sqrt 2 $.
Questo però non vale per i corrispondenti archi sulla sfera, ad esempio se gli angoli al centro fossero di 60° e 120°, il rapporto fra le corde sarebbe $ \sqrt 3 $, mentre quello fra gli archi salirebbe a 2.
Se con lo spago costruiamo spigoli e diagonali delle facce di un cubo, potremo gonfiare il palloncino fino a quando le diagonali saranno tese sulla superficie, ma a questo punto gli spigoli non lo sarebbero ancora.
Ciao

Pasquale
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da Pasquale »

Se ho capito bene, abbiamo i lati del cubo che dopo il gonfiaggio diventano archi, mentre le diagonali delle facce (non tracciate, cioè senza spaghi) hanno le dimensioni delle corde. Giusto?
Se cosi è, nonostante la realizzazione pratica dell'accrocco, ottenuata con l'arancia, non mi è riuscito di interpretarne il significato in tutte le sue componenti.
Concordo col Professore che sugli errori c'è qualcosa da discutere, spulciare, approfondire, il che risulta senz'altro istruttivo. Interessante anche l'osservazione sui rapporti fra corde e quelli fra archi. Grazie a tutti.
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da franco »

No Pasquale,
Le maglie diventano archi, ma le diagonali delle facce proprio non le ho mai prese in considerazione.
Io ho considerato i lati gli spigoli del cubo inscritto (i cui vertici corrispondono con i nodi della rete) e le sue diagonali interne (che sono diametri della sfera).
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Re: Un pallone nella rete

Messaggio da gnugnu »

Pasquale ha scritto:Se ho capito bene, abbiamo i lati del cubo che dopo il gonfiaggio diventano archi, mentre le diagonali delle facce (non tracciate, cioè senza spaghi) hanno le dimensioni delle corde. Giusto?
Quasi :) Dopo il gonfiaggio, le diagonali, circa $ 16 \sqrt 2=22.6... $ sono più lunghe delle corde che misurano $ 26 \sqrt {2/3}=21.2... $, ma per stare sul pallone dovrebbero arrivare a $ 24.8...$.
Ciao
P.S. Non mi piace esser chiamato professore e, men che meno, con la p maiuscola :D

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