Armando ha un nuovo acquario e vuole acquistare due pesci.
Al negozio, il commesso gli dice che prendendone due a caso dal vivaio ha esattamente il 50% di probabilità di fare una coppia con un maschio e una femmina.
Detto in altri termini, prosegue il venditore, fra tutte le possibili coppie che possono essere estratte ve ne sono tante con pesci dello stesso sesso quante con pesci di sesso diverso.
Nel frattempo che il negoziante gli esponeva la sua teoria probabilistica, Armando ha contato i pesci nel vivaio scoprendo che sono 50 e che quindi il commerciante gli sta raccontando delle frottole!
Perché?

ciao


Franco

Le coppie possibili sono in quantità dispari; quindi non v'è possibilità che vi sia parità delle due diverse situazioni di pesca.

Contare 50 pesci vivi in un acquario è impresa non da poco. Prima di lanciare accuse che potrebbero essere infondate, controllerei bene: se i pesci fossero 49, il negoziante potrebbe aver ragione.
Complimenti Pasquale hai trovato una dimostrazione semplice ed efficace.
Il mio percorso è più impegnativo, però permette di escludere anche situazioni, ad esempio 48 pesci, con numero pari di coppie.
Ciao

Armando ha contato i pesci nel vivaio scoprendo che sono 50 e che quindi il commerciante gli sta raccontando delle frottole!
Perché?

idsocho ha scritto:Perché?

Come ha subito visto Pasquale, se conti quante coppie diverse si possono formare con 50 pesci ne trovi 1225, ed è allora impossibile che esattamente metà di queste siano formate da due pesci del medesimo sesso.
Per contare le coppie possibili puoi pensare di abbinare ciascun pesce con i 49 restanti, ottenendone $ 50 \cdot 49 = 2450 $. In questo modo hai, però, considerato ciascuna coppia due volte, abbinando Sigmundo a Clotilde, ma anche Clotilde a Sigmundo. Basta allora dividere per 2 quanto hai trovato.

Questo non vuol dire che, al contrario, se i pesci fossero stati, ad esempio 5 (10 coppie in tutto), sarebbe stato possibile attribuire il sesso a ciascun pesce in modo da avere 5 coppie eterosessuali.

Ciao

Appurato che con 50 pesci non si possono formare un numero pari di coppie e quindi il 50% esatto di probabilità di coppia eterosessuale è impossibile, proviamo ad andare oltre il testo del problema originario:

1. Ammesso che Armando abbia contato esattamente e i pesci siano proprio 50, quel'è la probabilità massima (con una distribuzione ottimale dei sessi) di estrarre una coppia eterosessuale?

2. Ammesso invece che il negoziante racconti il vero e sia Armando ad aver sbagliato la conta, qual'è il numero di pesci più prossimo a 50 tale per cui sia possibile (con una distribuzione ottimale dei sessi) avere esattamente il 50% di probabilità di estrarre una coppia eterosessuale?


ciao

1)

x= pesci maschi
50-x = pesci femmina

coppie dello stesso sesso:

x(x-1)/2 +(50-x)(50-x-1)/2 = x^2 -50x +1225;

é una parabola che ha il minimo in:

-b/2a = 25

o se vogliamo:

f ' (x)= 2x - 50 che si annulla per x = 25 ( minimo della funzione )

In definitiva, se con 25 pesci maschi e 25 femmine, abbiamo il minimo di coppie dello stesso sesso (600), vuol dire anche che abbiamo il massimo per il sesso diverso (1225-600 = 625):

p= 625/1225 = 25/49, circa il 51%

2)

T= totale pesci
x=maschi
T-x = femmine

x(x-1)/2 + (T-x)(T-x-1)/2 = T(T-1)/4; (le coppie dello stesso sesso devono essere la metà di tutte le coppie possibili)

$4x^2 - 4Tx +T^2 - T = 0$

$x_{1,2} = \frac {T \mp \sqrt{T}}{2}$

Appare evidente che dobbiamo attribuire a T il valore di un quadrato perfetto e che quello più vicino a 50 è il 49
Ne discende che:

maschi = 28; femmine = 21 (o viceversa) determinano 588 possibilità di accoppiamento fra pesci dello stesso sesso,
che sono la metà dei 1176 accoppiamenti totali possibili con 49 pesci,
per cui sono egualmente 588 le possibilità di accoppiamento fra pesci di sesso diverso.