I numeri Brasiliani

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franco
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I numeri Brasiliani

Messaggio da franco »

Inserisco questo problema tradotto dal sito francese Diophante.fr
Esula un po' dal campo delle mie preferenze ma forse qualche altro basecinquino ne sarà interessato.

A344 - Un entier naturel n est appelé « brésilien» s’il existe un entier b, 1 < b < n – 1, tel que la représentation de n en base b est un nombre uniforme qui s’écrit avec des chiffres ou des symboles tous identiques. Par exemple 62 et 15 sont brésiliens parce que 62 est égal à 222 en base 5 et 15 est égal à 33 en base 4.
Q₁ : Prouver que l’entier 2014 est brésilien et trouver les deux entiers le plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens.
Q₂ : Combien y a-t-il de nombres pairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ?
Q₃ : Trouver les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens.
Q₄ : Combien y a-t-il de carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ?


Un Numero intero naturale n si dice "Brasiliano" se esiste un intero b , 1<b<n-1 , tale che la rappresentazione di n in base b sia un numero uniforme, che si sicrive con cifre o simboli tutti uguali.
Per esempio 62 e 15 sono numeri brasiliani perchè 62 è uguale a 222 in base 5 e 15 è uguale a 33 in base 4.
1. Provare che l'intero 2014 è brasiliano e trovare i due interi più vicini a 2014 che non siano brasiliani.
2. Quanti numeri pari ≤ 2014 sono brasiliani?
3. Trovare i due più piccoli numeri primi che siano brasiliani.
4. Quanti quadrati perfeti dispari ≤ 2014 sono brasiliani?



2° problema della 9^ "Olympiada Iberoamericana de Matematica" - Fortaleza 1994
Franco

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See also wizard, magician

Alessandro
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Re: I numeri Brasiliani

Messaggio da Alessandro »

Ciao Franco,
per rispondere alla domanda 2 basta notare che:
se N è un numero pari maggiore di 6, basta prendere B=(N/2) - 1
e si ha che N è un numero brasiliano perché risulta uguale a 22 in base B

Ad esempio 2014 in base 1006 è uguale a 22 in quanto 2*1006 + 2 = 2014

In modo analogo, si dimostra che tutti i numeri che non sono primi e sono maggiori di 10 sono brasiliani e questo permette di rispondere alla domanda 4
La domanda 3 è molto semplice da risolvere.
L'unica che presenta qualche difficoltà è la seconda parte della domanda 1
Non dico di più per non togliere il gusto di risolvere questo problema agli altri basecinquini
Grazie per aver inserito questo problema, è molto bello.

Alessandro

Pasquale
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Re: I numeri Brasiliani

Messaggio da Pasquale »

Ho perso un po' di tempo nella semplice osservazione di questi "brasiliani" e mi pare d'aver trovato che:

tuti i pari a partire da 8 sono brasiliani, mentre i dispari lo sono con buona probabilità se non sono primi, specie se hanno più di un divisore d; in tal caso, la base di brasilianità di n è data da n/d - 1.
Anche i primi possono essere brasiliani, ma con minore frequenza.
Tutti i quadrati perfetti pari sono brasiliani,se maggiori di 4, mentre fra quelli dispari minori di 2014 lo sono soltanto 81,121,225,441,625,729,1089,1225 e 1521; fra questi il più bello è il 121 in base 3 (11111), memtre il più prolifico è il 1521 in basi 22,116,168 e 506 (da notare che 1521 è divisibile per 3,9,13,39,117,169,507.
I due primi più piccoli sono 7 e 13, mentre i due dispari brasiliani più vicini a 2014 sono i primi 2011 e 2003.
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$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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