Tre scacchiere quadrate

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

franco
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Tre scacchiere quadrate

Messaggio da franco »

Un nuovo "casse-tête" da http://www.diophante.fr:


Si considerino tre scacchiere quadrate di lato n = 3, 4, 5 aventi rispettivamente 9, 16 e 25 caselle riempite con i numeri interi da 1 a 9, da 1 a 16 e da 1 a 25.
E' possibile posizionare questi numeri interi in maniera tale che qualsiasi coppia di caselle adiacenti abbia come somma un numero primo?


On considère trois tableaux carrés de côté n = 3,4,5 qui ont 9,16 et 25 cases que l’on remplit respectivement avec les entiers de 1 à 9, de 1 à 16 et de 1 à 25. Dans quel(s) tableau(x) est-il possible de ranger ces entiers de sorte que la somme des entiers contenus dans deux cases adjacentes quelconques est toujours un nombre premier.

ciao
Franco

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franco
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da franco »

Per la scacchiera 3x3 la risposta mi pare facile; per le altre c'è da divertirsi un po' :)
Franco

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delfo52
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da delfo52 »

alcuni spunti.
i numeri devono essere alternativamente pari e dispari (con l'1 dispari).
Alcuni risultati devono comparire più volte (ci sono meno numeri primi che coppie di caselle adiacenti!).
il numero 2 , pur primo, non può essere raggiunto
Enrico

franco
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da franco »

Come dice Enrico i numeri pari e dispari devono essere alternati quindi nella scacchiera 3x3 al centro ci sarà un numero dispari con le caselle adiacenti occupate dai 4 numeri pari.
È facile notare che al centro:
Non può esserci il numero 1 perchè 1+8=9 non primo
Non può esserci il numero 3 perché 3+6=9 non primo
Non può esserci il numero 5 perchè 5+4=9 non primo
Non può esserci il numero 7 perché 7+2=9 non primo
E nemmeno il 9 perché 9+6=15 non primo

Quindi per la scacchiera 3x3 non c'è soluzione.
Franco

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gnugnu
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da gnugnu »

Avevo pensato ad una dimostrazione diversa.
7 ha solo due 'comprimari' 4 e 6, perciò non può che stare in un angolo con accanto i due precedenti; a questo punto 4 e 6 hanno in comune (oltre al 7 già usato) solo 1 che dovrà stare nel centro ed è impossibile proseguire.
Per le scacchiere 4x4 e 5x5 ho provato a giocare un po': ho il sospetto che la 4 x 4 sia impossibile, ma non riesco a dimostrarlo.
Ciao

Pasquale
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da Pasquale »

Regalino di Natale, fatto a mano per i Basecinquini:

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Gianfranco
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da Gianfranco »

Grazie Pasquale!
Che bella sorpresa scoprire che anche nei giorni (e nelle notti) considerati di grande festa c'é qualcuno che fa esercizi spirituali matematici!
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da Pasquale »

Si Gianfranco, si può fare anche questo quando è festa, dopo aver mangiato e ben bevuto, per digerire prima di andare a letto e dopo il crollo di tutti gli altri avventori del desco natalizio:

cantare, suonare, fischiare, ballare e far di matematica, anche per salutare gli amici di B5. Allegria!

Ho fatto un salto su Base5 per vedere che aria tirava (era un pezzo che non lo facevo, per vari impegni che mi hanno assorbito e che ancora sono lì che incombono come civette), a questo in qualche modo sollecitato dalla premura della Ns. grandissima Ivana, che saluto particolarmante (altri non se ne abbiano a male). Sono stato dunque piacevolmente attratto dal quesito lanciato dal non meno grande Franco, che mi ha stuzzicato l'appetito, avendo subodorato che una soluzione doveva esserci almeno sul quadrato 5x5, altrimenti non ci sarebbe stato gusto.

Questo è quanto e rinnovo a te e tutti gli altri visitatori e frequentatori di B5 i miei più calorosi auguri di buon 2015, la cui somma delle cifre è pari a 2^3, potenza con base ed esponenti primi, il che depone molto a favore.
Nella circostanza mi sentirei di proporre l'esame del quadrato 7x7, che a lume di naso dovrebbe risultare più facilmente risolvibile riapetto a quello 5x5.

Per tutti ancora un modesto presente: https://www.youtube.com/watch?v=1QGj2xgnN8A
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gnugnu
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da gnugnu »

Grazie Pasquale, tanto per gli auguri, che contraccambio, quanto per la 5 x 5: mi ha fatto venir la voglia di riprendere la 4 x 4 che pensavo impossibile. Mi sbagliavo! Si può fare, ne ho trovate alcune orlando la 2 x 2 di righe 1, 2 e 4, 3. Visto che l'appetito vien mangiando mi son posto un nuovo problema: chissà se esite una 4 x 4 che, orlata con i numeri da 17 a 25, possa diventare una 5 x 5?
Detta in altro modo: chissà se esinte una 5 x 5 che contenga una sottoscacchiera 4 x 4 coi soli numeri da 1 a 16?
Buon 2015 a tutti.

Pasquale
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da Pasquale »

Hai ragione 2gnu; non avevo considerato molto la 4x4 ed appare anche molto interessante il tuo salutare appetito (questo cibo non aggiunge colesterolo ed anzi è consigliabile per una sana dieta).


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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da gnugnu »

Bellissima! Pasquale. Probabilmente l'avrei persa se non ne parlavi nell'altra discussione.
Ciao

Pasquale
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da Pasquale »

Grazie. Come avrai notato, per la tabella 4x4 ampliata a 5x5, le cornici risolutrici sono 2, se lette all'incontrario l'una dall'altra:

17, 20, 23, 24, 19, 18, 25, 22, 21
21, 22, 25, 18, 19, 24, 23, 20, 17
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da gnugnu »

@Pasquale:
non capisco il motivo della precisazione. Indubbiamente una lista di numeri si può invertire, ma nella soluzione può esser usata in un solo modo.
Le scacchiere possono essere presentate in 8 maniere diverse. Sarebbe ancor più bello se quella che hai trovato, a parte le varianti di presentazione, fosse l'unica possibile.
Hai lavorato a mano o con un programma?
Ciao
PS (OT) ho tentato di affrontare la sequenza che hai proposto in un'altra discussione, senza venirne a capo.

Pasquale
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da Pasquale »

Le cornici invertite? Una sorta di pignoleria: l'una si attacca da sinistra a destra e l'altra da destra a sinistra, per cui sono come una. Se avessi invertito l'attacco di una, questa non si sarebbe adattata, mentre l'altra si e sarebbero apparse come diverse.
Con un programma ho tirato fuori un po' di cornici ed a mano ho provato se potevano adattarsi alle tabelle 4x4, a loro volta trovate con procedimenti misti mano/algoritmi, studiati per velocizzare la ricerca ed a titolo d'esercizio sull'impostazione di un algoritmo.
Tutto a mano feci la tabella 5x5, in un momento in cui la mente era più sveglia del solito.
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Re: Tre scacchiere quadrate

Messaggio da gnugnu »

@Pasquale:
peccato! :( Se eri certo che fosse l'unica soluzione possibile, ti avrei chiesto il permesso di utilizzare quella scacchiera come 'firma'. Citando, naturalmente, la fonte.
Ciao

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