Venditori di polli

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Gianfranco
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Venditori di polli

Messaggio da Gianfranco »

Anche questo è un interessante problema postato da Terence Tao su Google+. E' un problema assegnato agli alunni della classe di suo figlio.
Terence ammette di aver impiegato 15 minuti per risolverlo dovendo usare persino carta e matita.
---
Tre contadini vendevano i polli al mercato locale.
Il primo contadino aveva 10 polli da vendere, il secondo aveva 16 polli e il terzo aveva 26 polli.
I tre contadini, per non entrare in concorrenza fra loro, decisero di vendere tutti i loro polli allo stesso prezzo.
All'ora di pranzo, si acorsero che le vendite non andavano bene e decisero di abbassare i prezzi in egual misura.
Entro la fine della giornata, riuscirono a vendere tutti i loro polli.
Allora fecero i conti e scoprirono che tutti e tre avevano ricavato la stessa cifra e cioè 35 EURO.
Quali sono stati i prezzi dei polli prima di pranzo e dopo pranzo?
---
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

gnugnu
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Re: Venditori di polli

Messaggio da gnugnu »

Che scuola frequenta il figlio di Tao?
Ci sono 2 soluzioni, ma una delle due è applicabile solo in termini di contabilizzazione bancaria, richiede frazioni di unità monetaria inesistenti.

gnugnu
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Re: Venditori di polli

Messaggio da gnugnu »

Oops!
Me ne era sfuggita una. Ci sono tre soluzioni. Una senza problemi, una col problema che ho indicato sopra, la terza è borderline. Nel senso che diventa valida se i polli in saldo vengono venduti con l'offerta 'compri tre e paghi uno'.

Alessandro
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Re: Venditori di polli

Messaggio da Alessandro »

Ciao Beppe, ciao Gianfranco,
riguardo a questo problema mi stupisce il seguente fatto:

chiamando X la somma in euro del prezzo minimo e del prezzo massimo, cioè X=(prezzo minimo + prezzo massimo) espressi in €
chiamando Y il rapporto tra il prezzo massimo e il prezzo minimo, cioè Y=(prezzo massimo / prezzo minimo)
e chiamando Z il prezzo minimo espresso in centesimi di Euro, cioè Z=prezzo minimo espresso in centesimi di €

abbiamo la seguente equivalenza: X^Y = Z
Curioso vero,

Alessandro

gnugnu
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Re: Venditori di polli

Messaggio da gnugnu »

Ciao Alessandro,
sospettavo fossi tu, ma avevo qualche dubbio.
Beh! Dopo anni ci si ritrova a giocare sul medesimo campo.
La relazione è indubbiamente vera, solo per la soluzione più normale, mentre il rapporto fra i due prezzi è uguale anche per le altre due.
Fra l'altro quella del 'compri tre e paghi uno', sarebbe stata una soluzione tout court nel Regno Unito prima del passaggio alla suddivisione centesimale della sterlina. Lo stesso in molti altri luoghi.
Cosa hai usato: l'aria, la matita o il computer? Io ci sono arrivato attraverso il determinante del sistema.
Credo ci leggeremo presto, stammi bene,
Beppe

Alessandro
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Re: Venditori di polli

Messaggio da Alessandro »

Ciao Beppe,
tra aria, matita e computer posso dire che ho usato l'aria in quanto respiravo mentre pensavo alla soluzione. :D
Ma è più corretto dire che ho usato il silenzio, infatti mercoledi notte faticavo a prendere sonno
e cosi mentre cercavo di addormentarmi ho cominciato a pensare ad una soluzione di questo problema.
Dovevo stare immobile e in silenzio, perché mia moglie ha il sonno molto leggero e non la volevo disturbare;
così il silenzio mi ha aiutato a riflettere su questi punti.

1) Il primo contadino vende i polli ad un prezzo medio di 35/10 = 3,50 € quindi il prezzo massimo è maggiore o uguale a 3 € e 50 centesimi
2) Il terzo contadino vende i polli ad un prezzo medio di 35/26 = 1,346 € quindi il prezzo minimo è minore di 1 € e 35 centesimi
3) Se il primo contadino con 10 polli riesce ad incassare quanto il terzo contadino con 26 significa che (Prezzo massimo)/(Prezzo minimo)>=26/10

Imposto ora il sistema:
chiamo A il numero di polli venduti al prezzo più basso dal 1° contadino
chiamo B il numero di polli venduti al prezzo più basso dal 2° contadino
chiamo C il numero di polli venduti al prezzo più basso dal 3° contadino
Chiamo M il prezzo più alto e chiamo m quello più basso.

Ottengo:
A*m + (10-A)*M = 3500
B*m + (16-B)*M = 3500
C*m +(26-C)*M = 3500

Sottraendo la 1°equazione dalla 2° ricavo
(B - A)*m + (6 + A - B)*M = 0

Sottraendo la 1°equazione dalla 3° ricavo
(C - A)*m + (16 + A - C)*M = 0

Semplificando:
m = M*[1 - 6/(B -A)]
m = M*[1 - 16/(C -A)]

Siccome M/m >= 2.6 si ottiene che m/M<= 0.385
(B - A) che deve essere un numero intero, ha solo 3 valori ammissibili che rendano m/M<= 0.385
Può essere (B - A) = 7 oppure (B - A) = 8 oppure (B - A) = 9

Ma 6/(B - A) deve essere uguale a 16/(C - A) e ciò è possibile solo se (B - A) = 9 in quanto 16 non è divisibile per 3
Siccome (B - A) = 9 allora 6/(B - A) = 2/3 e quindi 16/(C - A) = 2/3 per cui (C - A) = 24
Da cui C può assumere solo 3 valori: 24, 25 o 26

Non può essere 26 perché 3500 non è divisibile per 26
Si verifica anche che non può essere 24 perché A risulterebbe uguale a 0
Il prezzo massimo risulterebbe uguale a 3,5 €
B risulterebbe uguale a 9, per cui il secondo contadino venderebbe 7 polli a 3,5 € ricavando 24,5 € ed i restanti al prezzo di 10,5/9 € e si otterrebbe un numero periodico!!!

Dunque C = 25 ed essendo (C - A) = 24 si ottiene A = 1
Da (B - A) = 9 ottengo infine B = 10

Dal sistema trovato in precedenza:
m = M*[1 - 6/(B - A)]

ottengo:
m = M*(1 - 2/3) cioé m = M/3

Ed ora da:

A*m + (10-A)*M = 3500

m + 9*3*m = 3500

m = 3500/28 = 1,25 €
M = 3*m = 3,75 €

Esprimendo il prezzo di m in centesimi ottengo che: m = 125 centesimi di €
Esprimendo i prezzi in Euro, si ha che: m + M = 5
Infine essendo M/m = 3 si giunge alla formula di cui parlavo nel precedente messaggio.

Infine, sia chiaro che il silenzio della notte mi ha solo aiutato a trovare il metodo risolutivo, poì tutti i vari passaggi li ho fatti il giorno dopo (giovedi 23 ottobre)
usando carta e penna.
Quindi sarebbe più giusto dire che ho usato la carta e la penna per risolvere il problema.
Ciao Beppe,


Alessandro

gnugnu
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Re: Venditori di polli

Messaggio da gnugnu »

Caro Alessandro,
come ai vecchi tempi: strade diverse, ma che poi si intersecano e alla fine collimano.
Son partito considerando che sistema di tre equazioni in due incognite (ax+(10-a)y=35; bx+(16-b)y=35; cx+(26-c)y=35), dove a, b e c sono i polli venduti al mattino dai tre contadini, x e y i prezzi rispettivamente al mattino e al pomeriggio dei polli, che è impossibile se la matrice completa (coefficienti e termini noti) ha rango 3. Quindi determinante di questa deve essere uguale a zero.
Nel calcolare detto determinante si possono fare alcune semplificazioni: nel primo passaggio ho diviso per 35 la terza colonna e sottratto sommato la prima dalla seconda; nel secondo ho sottratto la prima riga dalla seconda e dalla terza.
$\| \matrix{a \ 10-a \ 35 \\ b \ 16-b \ 35 \\ c \ 26-c \ 35}\| ~\rightarrow ~ 35\| \matrix{a \ 10 \ 1 \\ b \ 16 \ 1 \\ c \ 26 \ 1} \| ~\rightarrow ~ 35\| \matrix{ a & 10 & 1 \\ b-a & 6 & 0 \\ c-a & 16 & 0} \|$
A questo punto il determinante, sviluppato secondo la terza colonna, vale
$35[16(b-a)-6(c-a)]=70[(8(b-a)-3(c-a)]$ che diventa zero sse. $8(b-a)=3(c-a)$, o meglio non potendo il primo contadino vendere al mattino meno polli dei suoi due amici $8(a - b)=3(a - c)$, con le differenze non negative.
A parte il caso banale $a-b=a-c=0$ che fornisce diverse soluzioni accettabili, ma che comportano il regalare i polli al pomeriggio, resta l'unica possibilità $a-b=3$ e $a-c=8$, perchè il primo contadino ha solo 10 polli.
Differenze che lasciano tre possibilità per i valori [a,b,c]: [10,7,2], [9,6,1] oppure [8,5,0], che portano tutte a x=3y ed in particolare la prima fornisce (x=7/2 , y=7/6); la seconda (x=15/4, y=5/4) e la terza (x=105/26, y=35/26). Avevo inizialmente escusa la prima, perché comporta che il primo contadino abbia venduto (evidentemente era molto simpatico oppure offriva merce più appetibile) tutti i polli al mattino, ma poi rileggendo il testo non mi pare che questa eventualità sia incompatibile (non viene detto che tutti i contadini partecipano alla vendita pomeridiana).
Ad escludere la prima e la terza soluzione resta solo la divisione centesimale dell'unità monetaria, ma se l'offerta pomeridiana fosse un 'compri tre e paghi uno'.....
Ciao

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