Ciao, provo a mettere mano al problema proposto sulla bacheca
il fatto di avere 5 numeri grandi quanto si vuole e volendone verificare la divisibilita`per 5 si ragiona in termini di resto della divisione.
prendendo di ciascuno il resto della divisione per 5 mi ritrovo a ragionare con 5 numeri che vanno da 0 a 4.
Il problema si riduce dimostrare che posso sommare 5 numeri in modo di arrivare comunque ad un risultato di 5 o un suo multiplo (che equivale a 0 visto che sto ragionando con i resti)
Un insieme di 5 numeri interi positivi
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Re: Un insieme di 5 numeri interi positivi
Grazie Info, ricopio qui il testo del problema:
Scegliete in modo del tutto casuale 5 numeri interi positivi. Non ci sono limiti alla grandezza dei numeri. Sono ammesse ripetizioni.
Dimostrate che in questo insieme di 5 numeri, comunque siano stati scelti, ce ne sono sicuramente alcuni (da 1 a 5) la cui somma è divisibile per 5.
Note.
Direi che la tua impostazione è corretta.
Manca per ora il passaggio decisivo.
Scegliete in modo del tutto casuale 5 numeri interi positivi. Non ci sono limiti alla grandezza dei numeri. Sono ammesse ripetizioni.
Dimostrate che in questo insieme di 5 numeri, comunque siano stati scelti, ce ne sono sicuramente alcuni (da 1 a 5) la cui somma è divisibile per 5.
Note.
- Se vi sembra troppo difficile, provate con un insieme più piccolo, per esempio di 3 numeri, fra i quali ce ne sono sicuramente alcuni la cui somma è divisibile per 3.
- Se invece vi sembra troppo facile, provate a generalizzarlo a n numeri, fra i quali ce ne sono sicuramente alcuni (da 1 a n) la cui somma è divisibile per n.
Direi che la tua impostazione è corretta.
Manca per ora il passaggio decisivo.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Un insieme di 5 numeri interi positivi
ciao Gianfranco.... ho provato a proseguire ma non avendo concluso nulla ho postato solo la prima parte.
Certo non bisogna analizzare tutti i casi... ci vuole un ragionamento che si possa generalizzare per qualsiasi n... promesso che nel weekend ci penso (((-;
Certo non bisogna analizzare tutti i casi... ci vuole un ragionamento che si possa generalizzare per qualsiasi n... promesso che nel weekend ci penso (((-;
Re: Un insieme di 5 numeri interi positivi
Siano $x_i$ con $i\in[1..n]$ gli n numeri naturali; posto:
$s_0=0; s_i=s_{i-1}+x_i$ (mod n) per $i\in[1..n]$,
il principio dei cassetti permette di dimostrare (almeno due s devono coincidere) l'esistenza di un sottoinsieme non vuoto di x con somma multipla di n.
In una vecchia discussione di questo forum (non conosco bene le consuetudini e nel caso questa parte fosse ritenuta OT chiedo scusa) veniva dimostrato che in un insieme di 17 numeri naturali ne esistono sicuramente 5 la cui somma è multipla di 5.
A mio avviso la dimostrazione è corretta, ma 17 è un po' grande: ne bastano molti meno.
$s_0=0; s_i=s_{i-1}+x_i$ (mod n) per $i\in[1..n]$,
il principio dei cassetti permette di dimostrare (almeno due s devono coincidere) l'esistenza di un sottoinsieme non vuoto di x con somma multipla di n.
In una vecchia discussione di questo forum (non conosco bene le consuetudini e nel caso questa parte fosse ritenuta OT chiedo scusa) veniva dimostrato che in un insieme di 17 numeri naturali ne esistono sicuramente 5 la cui somma è multipla di 5.
A mio avviso la dimostrazione è corretta, ma 17 è un po' grande: ne bastano molti meno.
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Re: Un insieme di 5 numeri interi positivi
Dimostrazione (quasi) perfetta gnugnu anche se estremamente telegrafica.
Dico -quasi- perché secondo me manca il passaggio finale che forse hai dato per scontato.
Hai scritto:
OK, visto che $s_h=s_k (\text{MOD } n)$ allora la loro differenza è 0 perciò la differenza $s_h-s_k$ è divisibile per $n$
Ma $s_h-s_k$, per come sono state scelte le varie $s_i$ è a sua volta una delle possibili somme di alcuni degli $n$ numeri dati.
Hai scritto:
In particolare in questa pagina:
https://www.base5forum.it/esercizi-sul-p ... -t841.html
Pietro Vitelli aveva già dimostrato il problema nel caso di n=5
Dico -quasi- perché secondo me manca il passaggio finale che forse hai dato per scontato.
Hai scritto:
Chiamiamo le due somme (non in modulo n): $s_h$ e $s_k$ con $s_h>s_k$.il principio dei cassetti permette di dimostrare (almeno due s devono coincidere) l'esistenza di un sottoinsieme non vuoto di x con somma multipla di n.
OK, visto che $s_h=s_k (\text{MOD } n)$ allora la loro differenza è 0 perciò la differenza $s_h-s_k$ è divisibile per $n$
Ma $s_h-s_k$, per come sono state scelte le varie $s_i$ è a sua volta una delle possibili somme di alcuni degli $n$ numeri dati.
Hai scritto:
Effettivamente si è parlato di questo problema (o simili) in altre discussioni. Ormai il Forum è talmente grande che a volte dimentichiamo qualcosa.In una vecchia discussione di questo forum (non conosco bene le consuetudini e nel caso questa parte fosse ritenuta OT chiedo scusa) veniva dimostrato che...
In particolare in questa pagina:
https://www.base5forum.it/esercizi-sul-p ... -t841.html
Pietro Vitelli aveva già dimostrato il problema nel caso di n=5
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Un insieme di 5 numeri interi positivi
Hai ragione Gianfranco: la mia era solo una sommaria traccia della soluzione generale (non volevo interferire più di tanto con i ragionamenti di Info, che aveva scritto di voler utilizzare il fine settimana per approfondire la questione).
Mi sono posto la domanda: l'insieme individuato con il metodo dei cassetti è unico?
Credo si possa dimostrare che la soluzione è unica solo in due casi facilmente individuabili:
a) gli n numeri appartengono alla medesima classe di resto (diversa da 0 e dagli eventuali divisori dello 0);
b) un numero appartiene alla classe 0 ed i restanti n-1 come sopra.
Per quanto riguarda il problema dei 17 numeri da cui estrarne 5 la cui somma sia divisibile per 5, ho trovato la sua soluzione (vecchia di nove anni, il problema è il n. 9 della sezione che hai linkato) proposta dall'amministratore (suppongo sia Pietro Vitelli) ed ho scritto la mia osservazione, che potrebbe intendersi come un nuovo problema.
Mi sono posto la domanda: l'insieme individuato con il metodo dei cassetti è unico?
Credo si possa dimostrare che la soluzione è unica solo in due casi facilmente individuabili:
a) gli n numeri appartengono alla medesima classe di resto (diversa da 0 e dagli eventuali divisori dello 0);
b) un numero appartiene alla classe 0 ed i restanti n-1 come sopra.
Per quanto riguarda il problema dei 17 numeri da cui estrarne 5 la cui somma sia divisibile per 5, ho trovato la sua soluzione (vecchia di nove anni, il problema è il n. 9 della sezione che hai linkato) proposta dall'amministratore (suppongo sia Pietro Vitelli) ed ho scritto la mia osservazione, che potrebbe intendersi come un nuovo problema.
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Re: Un insieme di 5 numeri interi positivi
Rispondo telegrafico e senza garanzie perché mi cala la palpebra.
gnugnu, hai scritto:
La dimostrazione dimostra qualcosa di "più potente" di quanto richiesto dal problema e cioè che:
Una qualunque permutazione (sequenza ordinata) di n numeri contiene almeno una sottosequenza di termini consecutivi la cui somma è divisibile per n.
E' un esempio di come nel caos ci sia mooolto più ordine di quanto si possa immaginare.
gnugnu, hai scritto:
In questo particolare problema si mostra come costruire una soluzione ma non è detto che sia l'unica (anche limitandosi alle poche somme considerate), infatti potrebbero esserci più di due somme divisibili per n.l'insieme individuato con il metodo dei cassetti è unico?
La dimostrazione dimostra qualcosa di "più potente" di quanto richiesto dal problema e cioè che:
Una qualunque permutazione (sequenza ordinata) di n numeri contiene almeno una sottosequenza di termini consecutivi la cui somma è divisibile per n.
E' un esempio di come nel caos ci sia mooolto più ordine di quanto si possa immaginare.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco