Buongiorno a tutti,
Qualcuno saprebbe indicarmi un modo semplice e veloce per risolvere il seguente quesito:
""2n" amici devono fare due squadre da "n" giocatori, quante combinazioni si possono effettuare"?
Grazie

Ciao Stefano,
risposta telegrafica (e non garantita):

$\Large\frac{C(2n,n)}{2}$

cioè la metà delle combinazioni senza ripetizione di 2n elementi a gruppi di n.

Per fare esperimenti, puoi guardare qui:
http://utenti.quipo.it/base5/combinator ... mbinat.htm
Esempio
Supponiamo per esempio che gli amici siano 6, indicati con a, b, c, d, e, f.

Enumeriamo C(6,3).

C(6,3) [senza ripetizioni] = 20

abc
abd
abe
abf
acd
ace
acf
ade
adf
aef
bcd
bce
bcf
bde
bdf
bef
cde
cdf
cef
def

Sono 20 terne.
Ogni terna ha una complementare con la quale può gareggiare, per esempio:
{abc} è complementare di {def}
{abd} è complementare di {cef}
...
e così via.

In tutto, fanno 10 possibilità.

Salvo errori & omissioni.

ma il testo potrebbe anche essere interpretato nel senso che i due amici (Aldo e Baldo?), essendo i due capisquadra, devono appartenere uno ad un gruppo e uno all'altro.
Basta per ciò portare il problema a "n-2" e moltiplicare per due?

Enrico, direi di sì.
Tu dici di fare:
$\Large 2 \cdot C(2n-2,n-1)$

L'ho fatto in un altro modo e vengono gli stessi risultati (mi sembra).
Il mio modo è:
supponiamo che 2 amici stabiliti e fissi: a, b, non possano appartenere alla stessa squadra.
a) Parto da C(2n,n)
b) Sottraggo tutte le combinazioni che hanno entrambi a, b
c) Sottraggo anche le rispettive complementari che sono altrettante
d) Ciò che rimane è l'elenco di tutte le squadre possibili, da accoppiare
e) Non lo divido per 2 perché a, b possono essere assegnati in 2 modi diversi

In formule:
$\Large C(2n,n)-2 \cdot C(2n-2, n-2)$

Spero che si possa dimostrare che:
$\Large 2 \cdot C(2n-2,n-1)=C(2n,n)-2 \cdo C(2n-2, n-2)$

Ok, così sembra che funzioni.