Domande Pitagoriche

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Gianfranco
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Domande Pitagoriche

Messaggio da Gianfranco »

1) 3-4-5 è l'unica terna pitagorica formata da tre potenze di numeri primi?

2) Un triangolo rettangolo può avere le lunghezze dei lati che siano tutte potenze di 2? (Can a right triangle have side lengths each a power of two?)

Poiché la formulazione della 2) mi lascia perplesso, aggiungo la domanda 3.
3) Una terna pitagorica può essere formata da tre potenze di 2?

Ho tratto le domande da: https://twitter.com/jamestanton
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

delfo52
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Re: Domande Pitagoriche

Messaggio da delfo52 »

3: abbiamo tre numeri che sono potenze di 2
abbiamo A)uno di questi è il più grande dei tre; oppure B)due sono uguali e sono i più grandi; oppure C)sono tutti e tre uguali
se C: il triangolo non può essere rettangolo
se B: i due lati uguali devono essere i cateti, ma l'ipotenusa non può essere più corta di loro
se A: i due lati più corti possono essere D) uguali fra di loro, oppure E) diversi fra di loro
se E: la somma dei due lati corti è inferiore all'ipotenusa per cui non può esistere un triangolo
se D: la somma dei due lati corti può, al massimo essere uguale all'ipotenusa, generando un triangolo anomalo di area nulla e di angoli 0°, 0° e 180°, che, se vogliamo dirlo triangolo, non è rettangolo
Enrico

panurgo
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Re: Domande Pitagoriche

Messaggio da panurgo »

siano i lati del triangolo $2^{\small a}$, $2^{\small b}$ e $2^{\small c}$. Perché il triangolo sia rettangolo deve essere

$\displaystyle 2^{\small 2a}\,+\,2^{\small 2b}\,=\, 2^{\small 2c}$

ovvero, supposto senza perdita di generalità $b\,>\,a$,

$\displaystyle 4^{\small a}\,+\, 4^{\small b}\,=\,4^{\small c}\quad\Rightarrow\quad 4^{\small c-a}\,-\,4^{\small b-a}\,=\,1$

L'unica potenza dispari di $4$ è $4^{\small 0}$, la potenza successiva è $4^{\small 1}\,=\,4$, quindi la più piccola differenza tra potenze di $4$ è $3$: non vi sono triangoli rettangoli con tutti i lati che sono potenze di $2$.
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Gianfranco
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Re: Domande Pitagoriche

Messaggio da Gianfranco »

Mi inchino per la velocità e i diversi approcci con cui avete risolto il quesito 3.
Per quel che riguarda la domanda 1, mi spira una porprietà delle terne pitagoriche:
  • il prodotto dei cateti è un multiplo di 12
  • il prodotto dei tre lati è un multiplo di 60
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Diego
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Re: Domande Pitagoriche

Messaggio da Diego »

Ciao,
provo a dire anch'io la mia risposta.

In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa è sicuramente più lunga del cateto maggiore e più corta della somma dei cateti;
quindi essendo la lunghezza dell'ipotenusa minore del doppio della lunghezza del cateto maggiore,
abbiamo che in un triangolo rettangolo le lunghezze dei lati non possono essere tutte e tre delle potenze di 2.


Diego

Gianfranco
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Re: Domande Pitagoriche

Messaggio da Gianfranco »

Ciao Diego,
immaginando qualche passaggio che manca, direi che va bene.
Ciò che non è citato esplicitamente è il teorema (espresso qui rozzamente):
Se prendi 3 potenze di 2:
$\large 2^a, 2^b, 2^c$, con $\large c>a \ge b$
allora
$\large 2^a+2^b \le 2^c$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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