Funzioni numeriche 2

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Diego
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Funzioni numeriche 2

Messaggio da Diego »

Ciao a tutti,
visto che il mio primo problema sulle funzioni numeriche è stato risolto rapidamente, provo a proporvene uno simile. Spero che vi piaccia...

f(10) = 4
f(100) = 9
f(49) = 3
f(50) = 6
f(28) = 6
f(120) = 16

f(5040) = ?

Quelo
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Quelo »

64 ?
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Gianfranco
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Gianfranco »

60?

f(x) è forse il numero dei divisori di x?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Quelo »

Io l'avevo pensata così:

$f(x)=2^{U(x)} \cdot 3^{M(x)}$

dove $U(x)$ è il numero di fattori di x che compaiono una sola volta e $M(x)$ è il numero di fattori che si ripetono.
[Sergio] / $17$

Diego
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Diego »

Si Gianfranco, hai indovinato!!!

f(x) è il numero dei divisori di x


Scusa per il ritardo nel risponderti, ma è un pò di tempo che non sto seguendo il forum.


Diego

Gianfranco
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Gianfranco »

Grazie Diego, non c'è problema, anch'io vado al rallentatore sul Forum.
Quelo, la tua idea comunque è interessante, immagino che intendi "fattori primi".
Però, nel caso di:
120 = 2*2*2*3*5
la tua formula dovrebbe dare come risultato:
f(120) = 2^1*3^2 = 18

Invece Diego ha scritto:
f(120) = 16
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Quelo »

Hai ragione Gianfranco, ho commesso un errore di valutazione, la formula corretta è la seguente:

Detta $e(i)$ la funzione che restituisce gli esponenti dei k fattori primi

$f(x)=\prod_{i=1}^k(e(i)+1)$

infatti

$f(120)=4*2*2=16$

ma anche

$f(5040)=5*3*2*2=60$

a questo punto credo che le due interpretazioni siano equivalenti
[Sergio] / $17$

Gianfranco
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Gianfranco »

Confermo Quelo,
la formula che hai scritto serve per l'appunto a calcolare quanti sono TUTTI i divisori di un numero naturale conoscendo la sua scomposizione in fattori primi.
A questo punto rilancio la sfida con tre problemi.

Problema 1 (facile)
Trovare il più piccolo numero naturale che abbia lo stesso numero di divisori del suo successivo.
In altre parole, trovare il più piccolo n tale che:
f(n) = f(n+1) = d

Problema 2 (laborioso)
Fare altri esempi di numeri che rispettino la condizione data nel problema precedente.

Problema 3 (media difficoltà) [modificato il 16 giugno 2014]
Dimostare che:
Se f(n) = f(n+1) = d allora d NON è dispari.
ovvero:
Se f(n) = f(n+1) = d allora d è pari.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Diego
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Diego »

Ciao Gianfranco,
in questi giorni sto facendo l'esame di III media, proprio oggi c'è stata la prova di matematica.

Per cui mi pare il giorno giusto per accogliere la tua sfida.
Comincio dal problema 3 perché è quello che mi piace di più.

Se d è un divisore di n, allora anche c = (n/d) risulta essere un divisore di n;
da questa considerazione sembrerebbe che il numero dei divisori di un numero n sia sempre pari,
in realtà è possibile che il numero dei divisori sia dispari se esiste un valore d tale che c=(n/d)=d perché in tal caso d coincide con c incrementando solo di una unità il numero dei divisori di n,
ma c = d significa che n=d*d=d² quindi n è un quadrato perfetto. Dunque il numero dei divisori di n può essere dispari solo se n è un quadrato perfetto.
Siccome tra i numeri interi positivi non esistono 2 quadrati perfetti consecutivi si ha che : Se f(n) = f(n+1) = d allora d è pari.
:D
Ciao a tutti,

Diego

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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Diego »

Risposta al problema 2

Trovare altri valori di n tali che: f(n) = f(n+1) = d

Alcuni valori accettabili di n sono i seguenti: 14, 21, 33, 34, 38, 44, 57, 75, 85, 86, 93, 94, 98, .....

Gianfranco
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Gianfranco »

Ciao Diego,
la tua dimostrazione va benissimo.
Per renderla perfetta bisognerebbe dimostrare dettagliatamente anche i due teoremi che usi.

Teorema 1: Tra i numeri interi positivi non esistono 2 quadrati perfetti consecutivi.

Teorema 2: Un numero intero positivo ha un numero dispari di divisori se e solo se è un quadrato perfetto. (di questo hai gia accennato nella dimostrazione)

Dalle informazioni che tu stesso ci hai dato sul Forum si ricava che hai 14 anni e stai sostenendo l'esame di terza media (esame di Stato del 1° ciclo).
Ti faccio i miei entusiastici complimenti per la tua dimostrazione perché è di un livello decisamente superiore rispetto a ai traguardi usuali di questo tipo di scuola!

[Aggiunta alle ore 18 - Complimenti anche per gli esempi. Che strategia hai usato per trovarli?]
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Diego
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Diego »

Grazie Gianfranco per i complimenti,
io credo che da quando ho iniziato a seguire Base5 il mio livello di comprensione della matematica sia aumentato.
Qualche mese fa sono anche riuscito a vincere un concorso di matematica grazie all'allenamento fatto visitando ogni tanto il sito di Base5
La cosa bella è che nei concorsi la difficoltà sta nel trovare la soluzione, ma una volta trovata risulta facile motivarla,
mentre a scuola i problemi sono più semplici, ma richiedono più passaggi e cosi risulta più facile sbagliarsi.

Per quanto riguarda la tua domanda sugli esempi:
semplice procedimento a tentativo tenendo però conto che visto che se d è divisore di n, anche n/d è divisore di n, nel cercare il divisore di un numero basta fermarsi alla sua radice quadrata.
Per esempio: se cerco i divisori di 99 basta che verifico se è divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ed ho già trovato tutti i suoi divisori.
Inoltre, so che i numeri primi hanno esattamente 2 divisori
e che il prodotto di due numeri primi ha esattamente 4 divisori se non è un quadrato perfetto.

Come vedi, semplice procedimento a tentativi.

Ora però riprendo a studiare spagnolo che domani ho la prova di spagnolo,
e dopodomani inglese e giovedi le prove INVALSI. Uff.....


Diego

Gianfranco
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Gianfranco »

Gli appunti di BASE Cinque ti sono stati utili! Questa è davvero una bella notizia!
Ti ringrazio per l'ulteriore spiegazione e ti auguro IN BOCCA AL LUPO PER L'ESAME!
Per ora concentrati soltanto sugli esami, poi proporrò in questo Forum un problema un po' più difficile sul tema da te lanciato.
Se mi permetti, citerò la tua dimostrazione in un post su Google+.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Diego
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Diego »

Che cosa è un post su Google+ ???

Quelo
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Re: Funzioni numeriche 2

Messaggio da Quelo »

Problema 2 (laborioso)
Fare altri esempi di numeri che rispettino la condizione data nel problema precedente.

Un possibile metodo di ricerca:

Prendo un numero multiplo di 3, sia quello precedente che quello successivo sono multipli di 2, cioè:

2y = 3x-1; 2z = 3x+1

I multipli di 3 hanno almeno 4 divisori: 1, 3, x, 3x
Lo stesso discorso vale per i multipli di 2: 1, 2, y, 2y

Quindi se sia x che y (o x e z) sono numeri primi, allora le relative coppie (2y, 3x o 3x, 2z) sono numeri consecutivi che hanno lo stesso numero di divisori (4)

es. x = 9901 -> y = 14851 e z = 14852; y è primo quindi 29702 e 29703 hanno lo stesso numero di divisori.

Lo stesso ragionamento si può allargare a 8 divisori, in questo caso x, y, z saranno il prodotto di due numeri primi

es. x = 77 -> y = 115; 230 e 231 hanno 8 divisori
[Sergio] / $17$

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