primi

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Pasquale
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primi

Messaggio da Pasquale »

Tre numeri dispari consecutivi possono essere primi? Si,no? Perché?
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marcokrt
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Re: primi

Messaggio da marcokrt »

Sì, ma solo in un unico caso: $p_1=3$, $p_2=5$, $p_3=7$. Se un numero della terna che si intende verificare risultasse diverso da quelli scritti in precedenza, non sarebbe possibile.

marcokrt
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Re: primi

Messaggio da marcokrt »

E' immediato che tutti i numeri che finiscono per $5$, diversi dal $5$ stesso, non sono mai primi... lo so, non basta. E' però dimostrabile anche che tutte le coppie di primi gemelli (eccezion fatta per quella in questione) differiscono sempre per un multiplo di $6$. Essendo $6>2$ (e quindi diverso da $2$), si ha il risultato già anticipato.

Dimostrazione per assurdo:

Siano dati tre primi consecutivi più grandi di $3$, avrò dunque $p_1$, $p_2=p_1+2$ e $p_3=p_1+4$. $p_1:=2n+1$, $p_1:=2n+3$ e $p_1:=2n+5$. $n$, per costruzione/definizione, assumerà tre valori consecutivi-->almeno uno tra $p_1$, $p_2$ e $p_3$ sarà multiplo di $3$ e quindi non potrà essere primo; ciò perché un numero della terna è divisibile per $3$ sse $p_i(mod 3)==0$. Si hanno dunque $3$ casi: $p_1(mod 3)==1$-->$p_2(mod 3)==0$ e lo scartiamo, $p_1(mod 3)==2$-->$p_3(mod 3)==0$ e lo scartiamo, $p_1(mod 3)==3$-->$p_1(mod 3)==0$ :D (C.V.D.)

Pasquale
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Re: primi

Messaggio da Pasquale »

Si, giusto: in ogni terna di dispari consecutivi, c'è sempre un multiplo di 3 (naturalmente, come hai fatto osservare, il 3 è primo e quindi la prima terna va esclusa dall'osservazione).
Se il Mod 3 del primo numero della terna è 1 o 2, poi il modulo pareggia i conti a 0 con uno dei due successivi numeri.
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