Cerchio = circonferenza?

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Cerchio = circonferenza?

Messaggio da Bruno »

...

Folgorato da una dimostrazione di Georg Cantor, riguardante la corrispondenza
biunivoca che si può stabilire fra i punti di un quadrato e quelli del suo lato,
il signor Talqual decise di andare oltre (molto oltre!) e cercò di dimostrare questo:
Dato un cerchio, ogni suo punto si trova sulla circonferenza.

Vediamo quello che ha fatto e aiutiamoci con questa figura.

Consideriamo un punto qualsiasi interno al cerchio (i punti sulla circonferenza,
naturalmente, sono già lì!) e chiamiamolo C.
Si faccia passare per esso il diametro AB e poi si individui il punto D in modo
che il raggio del cerchio sia medio proporzionale tra OC e OD, ossia:

OC:OB = OB:OD.

Si tracci adesso l'asse del segmento CD, passante per i punti E e H.
Si ha allora:

OB² = OCxOD

dove:

OC = OH-CH e OD = OH+CH .

Quindi si ottiene:

1) OCxOD = OB² = OH²-CH²

Consideriamo ora i due triangoli rettangoli OEH e CEH.
Si hanno:

CE² = CH²+HE²
OE² = OH²+HE² .

Sottraendo membro a membro si trova:

2) OH²-CH² = OE²-CE² .

Confrontando la 1) con la 2) si giunge a CE = 0, essendo OE = OB.

Dunque, ogni punto interno al cerchio sta sulla sua circonferenza ;)

Ma qualcosa non va! Che cosa?


(Bruno)
Allegati
Dimostrazione.GIF
Dimostrazione.GIF (4.99 KiB) Visto 2654 volte
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Gianni

Messaggio da Gianni »

OC<OB (visto che C e' interno alla circonferenza), quindi
OC*CB<OB*CB quindi
OC*CB<OB*(OB-OC) quindi
OC*CB<OB*OB-OB*OC. Ma, essendo OB*OB=OC*OD, si ha che:
OC*CB<OC*OD-OB*OC quindi
OC*CB<OC*(OD-OB) quindi
OC*CB<OC*BD quindi
CB<BD per cui il punto H cade fuori dall circonferenza e il punto E non esiste.

Ciao
Gianni

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

...

Bravo Gianni! :D
E fulmineo, anche...
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Rispondi