Una grave discriminazione

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Gianfranco
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Una grave discriminazione

Messaggio da Gianfranco »

Durante le mie peregrinazioni nella Rete ho trovato su arXiv questo articolo: http://arxiv.org/pdf/1110.1556v2.pdf.
La presentazione è qui: http://arxiv.org/abs/1110.1556.

L'articolo è la testimonianza di una grave discriminazione nei confronti di studenti "indesiderati". L'anno di riferimento è il 1975
The Mathematics Department of Moscow State University, the most prestigious mathematics school in Russia, was at that time actively trying to keep Jewish students (and other "undesirables") from enrolling in the department.
One of the methods they used for doing this was to give the unwanted students a different set of problems on their oral exam. I was told that these problems were carefully designed to have elementary solutions (so that the Department could avoid scandals) that were nearly impossible to find.
Traduzione approssimativa
Il Dipartimento di Matematica dell'Università Statale di Mosca, la più prestigiosa scuola matematica in Russia, stava a quel tempo attivamente cercando di impedire agli studenti ebrei (e altri "indesiderabili ") di iscriversi al dipartimento.
Uno dei metodi utilizzati a tale scopo, era quello di dare agli studenti indesiderati una differente serie di problemi nella loro prova orale. Mi è stato detto che questi problemi erano accuratamente progettati per avere soluzioni elementari (in modo da evitare scandali) che però erano quasi impossibili da trovare.

L'articolo prosegue proponendo una scelta di 21 di questi problemi orali.
Riporto qui di seguito alcuni esempi.

1) Dimostra che sin(10°) è irrazionale.

2) Sei capace di posizionare 6 punti su un piano in modo che la distanza tra ciascuna coppia di essi sia un numero intero e non ce ne siano tre allineati?

3) Qual è più grande: $\log_2 3$ o $\log_3 5$?

4) Trova il quadrilatero di area maggiore avendo le misure dei suoi lati (in ordine).

5) Costruisci un quadrato con riga e compasso, avendo un punto per ogni lato.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Massimo
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Re: Una grave discriminazione

Messaggio da Massimo »

Gianfranco ha scritto:Durante le mie peregrinazioni nella Rete ho trovato su arXiv questo articolo: http://arxiv.org/pdf/1110.1556v2.pdf.
La presentazione è qui: http://arxiv.org/abs/1110.1556.

L'articolo è la testimonianza di una grave discriminazione nei confronti di studenti "indesiderati". L'anno di riferimento è il 1975
The Mathematics Department of Moscow State University, the most prestigious mathematics school in Russia, was at that time actively trying to keep Jewish students (and other "undesirables") from enrolling in the department.
One of the methods they used for doing this was to give the unwanted students a different set of problems on their oral exam. I was told that these problems were carefully designed to have elementary solutions (so that the Department could avoid scandals) that were nearly impossible to find.
Traduzione approssimativa
Il Dipartimento di Matematica dell'Università Statale di Mosca, la più prestigiosa scuola matematica in Russia, stava a quel tempo attivamente cercando di impedire agli studenti ebrei (e altri "indesiderabili ") di iscriversi al dipartimento.
Uno dei metodi utilizzati a tale scopo, era quello di dare agli studenti indesiderati una differente serie di problemi nella loro prova orale. Mi è stato detto che questi problemi erano accuratamente progettati per avere soluzioni elementari (in modo da evitare scandali) che però erano quasi impossibili da trovare.

L'articolo prosegue proponendo una scelta di 21 di questi problemi orali.
Riporto qui di seguito alcuni esempi.

1) Dimostra che sin(10°) è irrazionale.

2) Sei capace di posizionare 6 punti su un piano in modo che la distanza tra ciascuna coppia di essi sia un numero intero e non ce ne siano tre allineati?

3) Qual è più grande: $\log_2 3$ o $\log_3 5$?

4) Trova il quadrilatero di area maggiore avendo le misure dei suoi lati (in ordine).

5) Costruisci un quadrato con riga e compasso, avendo un punto per ogni lato.

2.
A:(0;12)
B:(7;12)
C:(16;0)
D:(-9;)
E:(0;-12)
F:(7;-12)
Ultima modifica di Massimo il dom feb 24, 2013 8:54 pm, modificato 1 volta in totale.
uno più uno non fa sempre due

Alessandro
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Livello 3
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Re: Una grave discriminazione

Messaggio da Alessandro »

Prendendo spunto dalla soluzione trovata da Massimo:

Se A, B e C sono una terna pitagorica i 6 punti hanno le seguenti coordinate:

P1:(0;A*B)
P2:(B²-A²;A*B)
P3:(B²;0)
P4:(B²-A²;-A*B)
P5:(0;-A*B)
P6:(-A²;0)

Si ricava infatti facilmente:

Distanza di P1 da P2 uguale a B²-A²
Distanza di P1 da P3 uguale ad B*C
Distanza di P1 da P4 uguale a C²
Distanza di P1 da P5 uguale a 2*A*B
Distanza di P1 da P6 uguale a A*C
Distanza di P2 da P3 uguale ad A*C
Distanza di P2 da P4 uguale a 2*A*B
Distanza di P2 da P5 uguale a C²
Distanza di P2 da P6 uguale a B*C
Distanza di P3 da P4 uguale a A*C
Distanza di P3 da P5 uguale a B*C
Distanza di P3 da P6 uguale a A² + B²
Distanza di P4 da P5 uguale a B²-A²
Distanza di P4 da P6 uguale a B*C
Distanza di P5 da P6 uguale a A*C

Alessandro
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Iscritto il: dom gen 13, 2013 9:58 am

Re: Una grave discriminazione

Messaggio da Alessandro »

Riguardo al terzo problema

Il logaritmo di 3 è maggiore del logaritmo di 2*1,4142135.... (a parità di base).
Con base uguale a 2 il logaritmo di 2*1,4142135.... è uguale a 1,5
Quindi il logaritmo di 3 con base uguale a 2 è maggiore di 1,5

Il logaritmo di 5 è minore del logaritmo di 3*1,7320508.... (a parità di base).
Con base uguale a 3 il logaritmo di 3*1,7320508.... è uguale a 1,5
Quindi il logaritmo di 5 con base uguale a 3 è minore di 1,5

A questo punto è facile ricavare la soluzione del problema

peppe
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Re: Una grave discriminazione

Messaggio da peppe »

Alessandro scrive
Riguardo al terzo problema

Il logaritmo di 3 è maggiore del logaritmo di 2*1,4142135.... (a parità di base).
Con base uguale a 2 il logaritmo di 2*1,4142135.... è uguale a 1,5
Quindi il logaritmo di 3 con base uguale a 2 è maggiore di 1,5

Il logaritmo di 5 è minore del logaritmo di 3*1,7320508.... (a parità di base).
Con base uguale a 3 il logaritmo di 3*1,7320508.... è uguale a 1,5
Quindi il logaritmo di 5 con base uguale a 3 è minore di 1,5

A questo punto è facile ricavare la soluzione del problema
Chiedo scusa ad Alessandro se, in punta di piedi e con modestia, entro nel merito della discussione.
Però, prima di proseguire, è doveroso da parte mia complimentarmi con lui per l'eleganza della dimostrazione.
Personalmente, ritengo elegante una dimostrazione quando questa è chiara e semplice nello stesso tempo.
Ossia quando un lettore di media cultura matematica,come me,riesce a capirla senza troppa difficoltà, anche se alcuni passaggi della dimostrazione sono stati saltati.

Con questa mia "intrusione", vorrei chiarire i passaggi che sono stati "saltati" perché dati per scontati o perché ritenuti superflui.
I miei "chiarimenti" quindi,non sono destinati ai basecinquini frequentatori di questo forum,ma ad un ipotetico visitatore del forum che per motivi vari non riesca a capire... qual è il "ponte" che deve attraversare un viaggiatore che si trova sulla riva A di un fiume affinché possa raggiungere la riva B, opposta alla A.

Una situazione frustante,nella quale mi ci ritrovo tutte le volte che mi imbatto in un argomento matematicamente difficile e non trovando nessun barcaiolo capace di traghettarmi oppure di indicarmi un ponte, resto "inchiodato" sulla sua riva A...per sempre!

"Il logaritmo di 3 è maggiore del logaritmo di 2*1,4142135.... (a parità di base)".

Elementare Watson direbbe Sherlock Holmes: perché 3 è maggiore di 2*1,4142135.... = 2,828427...

Ma cos'è questo strano (pazzo e quindi irrazionale...) numero 1,4142135....che, si narra, costò la vita ad un certo Ippaso di Metaponto?

E' la radice quadrata di 2...ossia la misura della diagonale del quadrato di lato unitario che...mise in crisi il grande Pitagora.Ma questa è un'altra storia.
E, a proposito di storia, della matematica ovviamente, i babilonesi prima e un certo Erone dopo (e altri ancora ma non voglio addentrarmi in cose troppo difficili per me), escogitarono un metodo capace di calcolare con approssimazione accettabile il valore della suddetta radice quadrata di 2.
E non solo di 2 ma anche di 3 (=1,7320508....).
Come fecero? Così. Per eventuali approfondimenti vedansi anche:1 e 2

Chiarito come ottenere i due numeri "pazzi":1,4142135... e 1,7320508,"chiariamo" cosa significa la frase:

"Con base uguale a 2 il logaritmo di 2*1,4142135.... è uguale a 1,5".

E qui cominciano, per gli analfabeti della matematica, come me, i mal di pancia...

Entrano in gioco,a gamba tesa, i logaritmi con le loro regole che i non addetti ai lavori spesso ignorano oppure facilmente dimenticano.
Di queste regole, nel caso in esame, bisogna ricordarne una in particolare;

1) Il logaritmo in base a di a elevato alla x è uguale a x (e questo perché il log in base a di a è uguale ad 1).

Ebbene,2*1,4142135....è uguale a 2*radice quadrata di 2 ossia il prodotto di due elevato alla "1" per 2 elevato alla "1/2".
E siccome il prodotto di due potenze aventi la stessa base è uguale a ecc.ecc. otteniamo una potenza che ha per base 2 ed esponente (1+1/2=3/2) ossia 2 elevato alla 3/2.

E il logaritmo di 2^(3/2), per la regoletta sopra citata, è uguale all'esponte 3/2,che anche senza l'uso della calcolatrice sappiamo che è uguale al numero (non più "pazzo" ma razionale. Era ora!..) 1,5.

Tutto il resto scorre liscio e fluido come l'olio extravergine d'oliva.

Come ognuno può constatare non ho aggiunto nulla alla dimostrazione matematica di Alessandro.
Ho voluto solo mettere in risalto una cosa semplice che chi insegna matematica dovrebbe sempre ricordare:non dare nulla per scontato.
A volte basta solo un semplice richiamo alle regole che si sono studiate negli anni precedenti per consentire il superamento di temporanee difficoltà.
Questi richiami, verbali ovviamente, sono i "ponti" a cui accennavo prima e che consentono, anche ai meno bravi della classe, di non restare inchiodati eternamente sulla riva A di un fiume dalle acque agitate, nelle quali verrebbe voglia d'affogare la frustrazione. Scusate le ciance.
peppe
Peppe

panurgo
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Re: Una grave discriminazione

Messaggio da panurgo »

Gianfranco ha scritto:1) Dimostra che sin(10°) è irrazionale.
2) Sei capace di posizionare 6 punti su un piano in modo che la distanza tra ciascuna coppia di essi sia un numero intero e non ce ne siano tre allineati?
3) Qual è più grande: $\log_2 3$ o $\log_3 5$?
4) Trova il quadrilatero di area maggiore avendo le misure dei suoi lati (in ordine).
5) Costruisci un quadrato con riga e compasso, avendo un punto per ogni lato.
Nel documento originale i problemi sono numerati diversamente:

$\begin{array}{l20c20r20C+20} 1) & \to & 11 \\ 2) & \to & 12 \\ 3) & \to & 17 \\ 4) & \to & 15 \\ 5) & \to & 20 \end{array}$

A questa numerazione io mi rifaccio per poter introdurre anche altri problemi.

Il primo problema che ha catturato la mia attenzione è stato il problema numero $7$ :

C’è un cerchio nel piano con un diametro disegnato. Dato un punto disegna la perpendicolare dal punto al diametro usando la sola riga [corsivo mio]. Assumi che il punto non giaccia ne sul diametro ne sulla circonferenza.

Il problema mi ha colpito per la scarsità di mezzi a disposizione per la sua risoluzione: non si possono fare molte cose con la sola riga! Paradossalmente, questa scarsità di mezzi unita all’ipotesi che il problema sia dotato di soluzione lo rende veramente elementare.

La riga consente di unire due punti e di estendere un segmento: noi abbiamo un solo punto dato esplicitamente che chiameremo ${\text P}$.

Comunque, il diametro dato identifica due altri punti (che chiameremo ${\text A}$ e ${\text B}$) nelle sue intersezioni con la circonferenza: supponiamo che ${\text P}$ sia interno al cerchio

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Tutto ciò che possiamo fare è di tracciare le rette ${\text AP}$ e ${\text BP}$ che intersecano la circonferenza rispettivamente nei punti ${\text C}$ e ${\text D}$

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Ancora non abbiamo altra possibilità che tracciare le rette ${\text AD}$ e ${\text BC}$ che si intersecano nel punto ${\text Q}$: la retta ${\text PQ}$ è la perpendicolare cercata

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Infatti, i triangoli ${\text ABD}$ e ${\text ABC}$ sono rettangoli perché la loro base è un diametro e il vertice giace sulla circonferenza (l’angolo al centro è doppio dell’angolo alla circonferenza) quindi i segmenti ${\text AC}$ e ${\text BD}$ sono altezze del triangolo ${\text ABQ}$ e come tali si intersecano nell’ortocentro:

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la retta ${\text PQ}$, passando per ${\text P}$, giace sulla terza altezza del triangolo.

Naturalmente, cominciando da ${\text Q}$ si trova ${\text P}$.

Ma cosa succede se il piede della perpendicolare dal punto dato cade fuori del diametro?

Immagine

La seconda intersezione della retta ${\text PB}$, il punto ${\text D}$, cade dalla parte opposta del diametro rispetto a ${\text C}$

Immagine

Le rette ${\text AD}$ e ${\text BC}$ si intersecano nel punto ${\text Q}$ e la retta ${\text PQ}$ è ancora la perpendicolare cercata

Immagine

Questa volta sono i segmenti ${\text DP}$ e ${\text CQ}$ le altezze del triangolo ${\text AQP}$ che si intersecano nell’ortocentro ${\text B}$, sempre per lo stesso motivo

Immagine

ed è il diametro ${\text AB}$ a giacere sulla terza altezza.
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

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