Alessandro scrive
Riguardo al terzo problema
Il logaritmo di 3 è maggiore del logaritmo di 2*1,4142135.... (a parità di base).
Con base uguale a 2 il logaritmo di 2*1,4142135.... è uguale a 1,5
Quindi il logaritmo di 3 con base uguale a 2 è maggiore di 1,5
Il logaritmo di 5 è minore del logaritmo di 3*1,7320508.... (a parità di base).
Con base uguale a 3 il logaritmo di 3*1,7320508.... è uguale a 1,5
Quindi il logaritmo di 5 con base uguale a 3 è minore di 1,5
A questo punto è facile ricavare la soluzione del problema
Chiedo scusa ad Alessandro se, in punta di piedi e con modestia, entro nel merito della discussione.
Però, prima di proseguire, è doveroso da parte mia complimentarmi con lui per l'eleganza della dimostrazione.
Personalmente, ritengo elegante una dimostrazione quando questa è chiara e semplice nello stesso tempo.
Ossia quando un lettore di media cultura matematica,come me,riesce a capirla senza troppa difficoltà, anche se alcuni passaggi della dimostrazione sono stati saltati.
Con questa mia "intrusione", vorrei chiarire i passaggi che sono stati "saltati" perché dati per scontati o perché ritenuti superflui.
I miei "chiarimenti" quindi,non sono destinati ai basecinquini frequentatori di questo forum,ma ad un ipotetico visitatore del forum che per motivi vari non riesca a capire... qual è il "ponte" che deve attraversare un viaggiatore che si trova sulla riva A di un fiume affinché possa raggiungere la riva B, opposta alla A.
Una situazione frustante,nella quale mi ci ritrovo tutte le volte che mi imbatto in un argomento matematicamente difficile e non trovando nessun barcaiolo capace di traghettarmi oppure di indicarmi un ponte, resto "inchiodato" sulla sua riva A...per sempre!
"Il logaritmo di 3 è maggiore del logaritmo di 2*1,4142135.... (a parità di base)".
Elementare Watson direbbe Sherlock Holmes: perché 3 è maggiore di 2*1,4142135.... = 2,828427...
Ma cos'è questo strano (pazzo e quindi irrazionale...) numero 1,4142135....che, si narra, costò la vita ad un certo
Ippaso di Metaponto?
E' la radice quadrata di 2...ossia la misura della diagonale del quadrato di lato unitario che...mise in crisi il grande Pitagora.Ma questa è un'altra storia.
E, a proposito di storia, della matematica ovviamente, i babilonesi prima e un certo Erone dopo (e altri ancora ma non voglio addentrarmi in cose troppo difficili per me), escogitarono un metodo capace di calcolare con approssimazione accettabile il valore della suddetta radice quadrata di 2.
E non solo di 2 ma anche di 3 (=1,7320508....).
Come fecero?
Così. Per eventuali approfondimenti vedansi anche:
1 e
2
Chiarito come ottenere i due numeri "pazzi":1,4142135... e 1,7320508,"chiariamo" cosa significa la frase:
"Con base uguale a 2 il logaritmo di 2*1,4142135.... è uguale a 1,5".
E qui cominciano, per gli analfabeti della matematica, come me, i mal di pancia...
Entrano in gioco,a gamba tesa, i
logaritmi con le loro regole che i non addetti ai lavori spesso ignorano oppure facilmente dimenticano.
Di queste regole, nel caso in esame, bisogna ricordarne una in particolare;
1) Il logaritmo in base a di a elevato alla x è uguale a x (e questo perché il log in base a di a è uguale ad 1).
Ebbene,2*1,4142135....è uguale a 2*radice quadrata di 2 ossia il prodotto di due elevato alla "1" per 2 elevato alla "1/2".
E siccome il prodotto di due potenze aventi la stessa base è uguale a ecc.ecc. otteniamo una potenza che ha per base 2 ed esponente (1+1/2=3/2) ossia 2 elevato alla 3/2.
E il logaritmo di 2^(3/2), per la regoletta sopra citata, è uguale all'esponte 3/2,che anche senza l'uso della calcolatrice sappiamo che è uguale al numero (non più "pazzo" ma razionale. Era ora!..) 1,5.
Tutto il resto scorre liscio e fluido come l'olio extravergine d'oliva.
Come ognuno può constatare non ho aggiunto nulla alla dimostrazione matematica di Alessandro.
Ho voluto solo mettere in risalto una cosa semplice che chi insegna matematica dovrebbe sempre ricordare:non dare nulla per scontato.
A volte basta solo un semplice richiamo alle regole che si sono studiate negli anni precedenti per consentire il superamento di temporanee difficoltà.
Questi richiami, verbali ovviamente, sono i "ponti" a cui accennavo prima e che consentono, anche ai meno bravi della classe, di non restare inchiodati eternamente sulla riva A di un fiume dalle acque agitate, nelle quali verrebbe voglia d'affogare la frustrazione. Scusate le ciance.
peppe