Come si chiama questa operazione ?

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modulocomplicato
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Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da modulocomplicato »

Buongiorno,

Sto girando da un po' alla ricerca di qualcuno che con un po' di pazienza mi sappia dare una mano a non perdere tempo su quanto segue:

1) Estrazione della radice n-esima "a mano":

E' nuovo questo metodo, e se no come si chiama ? Immagino una operazione a modulo in cui il divisore non è un numero, ma una funzione (mn= modulo complicato), e verifico l'esistenza di una ricorsione:

1) calcolare la radice quadrata di P= 16:

Prendo il triangolo di Tartaglia (per x-1)^n come riferimento, riga n=2: 1 -2 1, elimino il primo, cambio di segno

Ottengo la funzione "magica: M2=2x-1 (che chiamo modulo comlpicato)

Tabulo:
x Mn= 2x-1 R- Mn R
16
1 2x-1 = 2-1 = 1 16-1 15
2 2x-1 = 4-1 = 3 15-3 12
3 2x-1 = 2-1 = 5 12-5 7
4 2x-1 = 8-1 = 7 7-7 0 ---> 4 = radice quadrata di 16 !

2) calcolare la radice cubica di P= 64:

Prendo il triangolo di Tartaglia (per x-1)^n come riferimento, riga n=3: 1 -3 3 -1, elimino il primo, cambio di segno

Ottengo la funzione "magica: M3=3x^2-3x+1 (che chiamo Modulo comlpicato)

Tabulo:
x Mn= x^2-3x+1 R- Mn R
64
1 x^2-3x+1 = 1 64-1 63
2 x^2-3x+1 = 7 63-5 56
3 x^2-3x+1 = 19 56-19 37
4 x^2-3x+1 = 37 37-37 0 ---> 4 = radice cubica di 64 !

Quindi con questa semplice regola posso trovare qualsiasi radice (anche n-esima). Ovvio è computazionalmente pesante, ma....

3) Se volessi trovare la radice di un numero che non è una potenza di un intero ? Ad esempio la radice quadrata di 17.

Il metodo sopra descritto mi da 4 resto 1, ma se voglio conoscere la parte decimale, ad esempio con precisione 1/10 allora basta

usare come modulo complicato Mn (da sottrarre ogni volta): Mn/10 = 2x/10 - 1/10^2 e tabulare:

1
1.1
1.2
..
4.1 -> Resto minore di 4.2 quindi si arresta.

(per il cubo basta fare 3x^2/10-3x/10^2-1/10^3 etc... per qualsiasi potenza...) !


Il bello è che così posso determinare una precisione a piacimento, ad esempio anche a/b .... oppure decidere che voglio precisione infinita...

E allora il calcolo si trasforma nella radice esatta... cioè (al contrario) abbiamo un bell'integrale definito tra 1/infinito (cioè zero) e p (la radice) di Mn/infinitesimo cioè

X^2 = sommatoria infinita = Integrale da 1 ad p di (ad esempio) 2x/infinito-1/infinito^2

A me questa cosa intriga da morire perchè è facile capire da dove nasce il calcolo di integrali e derivate e perchè con il calcolo infinitesimale puoi trascurare gli infiniti di ordine superiore, mentre anche se tu usassi 1/10^1000....0 come precisione, non puoi trascurare nessuno dei termini "piccoli" (in quanto non infinitesimi di ordine superiore !)

Ovviamente la cosa funziona per qualsiasi X^n....

Attendo gradite risposte perchè da questo a dimostrare che (scusate per me è una semplice operazione a "Modulo complicato" )

|A^n+B^n|Mn = A^n con n>2 A<B interi il passo e breve.... (quindi non esiste per n>2 C intero per cui: C^n= A^n+B^n)

Perche esiste per n=2 ?

Perchè per n=2 sappiamo che 2x/infinito -1/infinito^2 talvolta, funziona come il rispettivo Mn negli interi in cui: 2x -1 in quanto questo ha un solo termine in x... (cioè derivata seconda = costante)...

Non so se è consentito mettere link a blog... per chiarire la cosa con maggiori notazioni e storia di da dove ho capito ciò.

Da tutto questo nella mia neurodeliri, mi pare pure di aver capito qualcosa di Rh e dei suoi zeri...

La matematica è fantastica, anche per un asino come me !!! ...Se solo l'avessi capito prima... avrei studiato per capire e non per il 6 !

modulocomplicato
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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da modulocomplicato »

No comment ? Terribile... chissà cosa ho scritto...

Gianfranco
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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da Gianfranco »

Ciao |complicato|,

Hai scritto
Non so se è consentito mettere link a blog... per chiarire la cosa con maggiori notazioni e storia di da dove ho capito ciò.
Se sono pertinenti, si possono inserire link.

Per il resto, ci devo pensare...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

modulocomplicato
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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da modulocomplicato »

Grazie !

il link al blog è il seguente:

http://www.maruelli.com/prime_study.htm

Non l'ho però ancora aggiornato per quanto riguarda il calcolo a "modulo complicato" "frazionario" e poi infinitesimale.

2) Ho il sospetto che centri con la "moderna" teoria degli Anelli (gruppi, abeliani etc...), ma dato che non la conosco (e che sui testi parte sempre con moltissime definizioni che sembrano astruse e costringono ad entrare nel profondo di una matematica di "alto" livello...) attendo considerazioni da chi ne sa certamente mooolto più di me.

Grazie ancora, attendo impazientemente...

Tomahawk
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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da Tomahawk »

Questo modulo è TROPPO complicato per me... passo.... :?
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modulocomplicato
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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da modulocomplicato »

... provo a spiegarlo in modo semplice ?

Ora le operazioni a modulo (ricordo che per me, come per chi lo inventò, modulo=divisore) da cui "operazione a modulo" = affettare il salame in tante fette di largezza (fino ad ora) uguali...

Se l'ultima fetta ti viene come le altre hai resto zero, se è più piccola hai un resto R...

La stessa cosa vale per la spiegazione con l'orologio... prendi ad esempio un orologio a quadrante co 12 ore (ma con solo la lancetta delle ore), se fai partire la lancetta dalle 12 e la giri per un qualsiasi numero di tacche che sia 12 o un suo multiplo, lui, alla fine, segnerà sempre 12, se, invece, metti 13, lui segna 1 etc...

Ora, tralascio come e quando ho inventato sta cosa: immagina che il tuo orologio abbia un quadrante digitale che cambia il numero di divisioni ad ogni giro della lancetta delle ore... secondo una funzione predeterminata, quindi nota.

Supponi, ad esempio che a partire dal primo giro (x=1) le divisioni anzichè restare sempre le stesse, cambino ad ogni giro in ragione di una certa Mn(x): cioè per esempio sia M2(x) = 2x-1

Quindi se tabuli:
M2
x 2x-1 valore raggiunto ad ogni giro:
1 1 1
2 3 1+3=4 4
3 5 4+5=9 9
4 7 9-7=16 16
etc....

Cioè il tuo nuovo orologio segna le dodici in corrispondenza di ogni quadrato.

Ora utilizza M3= 3x^2-3x+1 e vedrai che segna le dodici in corrispondenza di ogni cubo... etc...

Ovviamente vale il viceversa, cioè avendo in mano un numero qualsiasi posso sapere qual'e la sua radice (n-esima) e l'eventuale resto andando a sottrarre da 1 in poi tutti i valori ottenuti. Se alla fine ho un'ultima sottrazione con resto zero allora il numero inserito è proprio una potenza di un intero e la sua radice è pari al numero di giri compiuti dalla lancetta dell'orologio.

Ora questo con gli interi dovrebbe essere chiaro... ma l'interessante è che se vuoi aumentare la precisioone dell'orologio, cioè farti sengare anche, ad esempio, i decimali basta che usi la funzione Mn con ciascun termine così diviso:

M2(x) = 2x/10-1/100 e tabuli per ogni valore 0.1 di x

così per la radice cubica puoi usare:

M3= 3x^2-3x+1 che diventa = 3x^2/10 -3x/100 - 1/1000 se vuoi sempre precisione 1/10 etc...

La precisione la puoi aumentare fino a infinito, attimo in cui passi dalla sommatoria all'integrale definito e vedi che devi (non solo puoi) trascurare gli infinitesimi (1/infinito^2 etc...) di ordine superiore....

Quindi se esamini dei numeri, alla ricerca delle radici n-esime, devi solo ricordare che Mn lo ottieni dal Triangolo di Tartaglia per lo sviluppo di (x-1)^n per la righa n che ti interessa (vedi sopra come)

e sai che se cerchi una precisione decimale (o centesimale o millesimale o 1/ 10^n) il primo termine del prodotto misto va diviso per 1/10^n che hai scelto e ciascun termine da sinista verso destra conta come 1/10 del precedente...

Ma potevamo anche scegliere altri valori...

Bah spero si un po' più chiaro....

Ora se hai capito questo hai capito che la più famosa frase di Fermat dice esattamente in lettere quanto in matematica scrivo così:

|A^n+B^n| Mn = A^n

cioè l'operazione da un resto che non è mai zero, cioè non esiste un C^n con C intero = A^n+B^n, ovviamente eccetto che per n=2

Cioè nello spazio disponibile fra testo e bordo della pagine (= margine = resto) non ci sta la dimostrazione, cioè l'ultimo valore di Mn che renderebbe A^n+B^n una potenza n>2 di un intero.

Cioè A^n (anche se prendi A=B-1), è sempre minore del valore che Mn assumerà al giro B+1 o B+K con ovviamente B+K < A+B.

E dato che già per n=3 ci si trova di mezzo più temrini in x e che al crescere della potenza il numero di questi termini cresce (o la derivata prima si allontana sempre di più dall'essere una retta...) non c'è speranza che al crescere di n si trovino soluzioni valide.

... bah scusate 'sta dietrologia campata per aria e arrampicata sugli specchi, spero non sia un'altra delle mie farneticazioni... i conti però tornano bene... e la logica pure... (almeno a me)

Tomahawk
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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da Tomahawk »

Guarda , confesso che ho letto di fretta sia il tuo primo post che il secondo.

In pratica quella che hai scritto mi sembra molto la dimostrazione che radical due non esiste in Q e quindi serve l'assioma di completezza di R.

E' lunghina come dimostrazione ma non è complicata, se vuoi ti do il link dove trovarla fatta per bene.

Ad ogni modo si dimostra che radical due non appartiene ai numeri razionali Q ma appartiene ad un altro insieme R costruito proprio a partire da un assioma che dice che in R ci sono anche quegli intervalli piccolissimi , infinitamente piccoli (così piccoli che sono un punto solo, si dimostra anche questo) che in Q non troverai mai.

Nel senso che tu non trovi la radice di due non perchè non hai competenze o non hai i mezzi, nessuno troverà mai la radice di due nemmeno un uomo del 6000 d.C. poichè radical due è introvabile tra i numeri in cui tu cerchi per definizione.
Tuttavia se dal punto di vista teorico non hai capito questo, dal punto di vista pratico hai risolto il problema:

Con il metodo di bisezione (ovvero "stringere" radical due in intervalli sempre più piccoli) hai dismostrato che posso ottenere una approssimazione precisa a piacere di radical due (una approssimazione di 1/10^n dove n è il numero di volte in cui divido l'intervallo in cui si trova radical due per dieci). Ad ogni modo puoi sforzarti quanto vuoi sarà sempre e solo un approssimazione.

Questa risposta centra qualcosa con quello che hai chiesto oppure non ho capito niente?
Se la mia risposta è pertinente dimmelo e ti passo del materiale che ti spiega tutto per bene.
([{|Daniele|}])

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modulocomplicato
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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da modulocomplicato »

... Grazie, ma l'irrazionalità di radice 2 non era in discussione...

Il fatto centrale è l'algebra a "modulo complicato" e la sua applicazione alle potenze...

Questa è solo la "punta" di un modus operandi... perchè è pensabile anche un'algebra a "Modulo Complesso".... etc...

Cioè quello che vorrei dire è che lo strumento è molto potente: è possibile ad esempio una fattorizzazione di qulasiasi numero se come modulo Mn utilizzi, ad esempio la funzione che restituisce solo numeri primi... (che già conosciamo dall'applicazione della definizione, anche se è computazionalmente "pesante").... etc.

Muoversi a passi "crescenti", piuttosto che "costanti" è certo un buon modo per diminuire il tempo di calcolo...

Poi resta il problemino da 2a media:

Domanda: se ti avessero chiesto se esiste un metodo, semplice, per fare la radice n-esima a mano cosa avresti risposto ?

... io non so (ancora oggi) se esisteva già una regola del genere, cioè così semplice da calcolare "a mano", quindi dico: "mi pare di averla ri-trovata..." in quanto Tartaglia e il teorema dei quadrati sono noti da secoli... forse era solo andato perso il collegamento da quadrati a potenze ennesime..

La cosa interessante di questa "regola" è che amplia il campo di utilizzo dell'operatore Modulo. Non più un numero, ma una funzione (anche complessa !) come divisore.

Questo è il punto, questo modo di "modulare" è già noto e come si chiama ?

Poi come fatti interessanti ci sono il possibile collegamento all'UTF ed i, divulgativamente, chiaro collegamento fra interi, frazionari e infinitesimi... che mi pare una cosa interessante sopratutto a livello pedagogico...

Grazie,
Ciao
Stefano

Tomahawk
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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da Tomahawk »

Ah... ok... ora ho capito davvero... a grandi linee per lo meno.

Domanda:
Muoversi a passi "crescenti", piuttosto che "costanti" è certo un buon modo per diminuire il tempo di calcolo...
Io non ho provato il tuo algoritmo, ma sei sicuro che funziona davvero? Mi immagino che lo avrai provato 1000 volte.
Mi faresti per darmi un esempio la radice di 256 (funziona solo con le radici quadrate o anche cubiche?)
Questo è il punto, questo modo di "modulare" è già noto e come si chiama ?
Non lo so, so per certo che su alcune tavolette risalenti a diversi secoli fa ci sono scritte le radici quadrate di numeri irrazionali approssimate anche ad 8 o 9 cifre dopo la virgola: praticamente l'equivalente di una odierna calcolatrice tascabile.
Magari non usavano il tuo metodo ma ne avevano di sicuro uno valido.
Poi come fatti interessanti ci sono il possibile collegamento all'UTF ed i, divulgativamente, chiaro collegamento fra interi, frazionari e infinitesimi... che mi pare una cosa interessante sopratutto a livello pedagogico...
Qui non riesco più a seguirti... e non ti seguo nemmeno quando metti in relazione il tutto al teorema di Fermat...
un po' per pigrizia un po' perchè credo di non avere le competenze necessarie.
Mi dispiace non posso dirti altro.

La cosa più interessante che posso dirti è che attualmente la maggior parte (credo tutti ma potrei dire una cavolata) dei calcolatori elettronici per le radici quadrate usano il metodo di bisezione che è considerato il migliore: chiaro, snello e preciso a nostra più completa discrezione (nel senso che posso scegliere qualsiasi numero di cifre dopo la virgola ed ottenerle)
Se tu riesci a dimostrare che il tuo algoritmo è meno complesso (complesso in questo caso ha il preciso significato di numero di operazioni e di memoria necessarie) potresti diventare famoso nell'ambiente matematico. :D
Muoversi a passi "crescenti", piuttosto che "costanti" è certo un buon modo per diminuire il tempo di calcolo...
Però devi considerare che "muoversi a passi crescenti" implica dei calcoli aggiuntivi per far crescere i passi... pensaci e facci sapere :)
([{|Daniele|}])

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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da modulocomplicato »

"Io non ho provato il tuo algoritmo, ma sei sicuro che funziona davvero? Mi immagino che lo avrai provato 1000 volte.
Mi faresti per darmi un esempio la radice di 256 (funziona solo con le radici quadrate o anche cubiche?)"

Si certo, come detto funziona per le radici n-esime con n intero qualsiasi.

PROVALO ! DOPO E' TUTTO PIù CHIARO...

ad esempio radice cubica di 28:

Da Tartaglia, sviluppo (x-1)^3, elimino primo termine e cambio di segno e ottengo M3= 3x^2 - 3x +1

Radice cubica di 27, solo per non fare notte a tabulare...

x Mn n-Mn R
3x^2-3x+1 27
1 1 27-1= 26
2 7 26-7= 19
3 19 19-19 = 0 3 = radice cubica di 27....

Etc...

2) velocità computazionale: non credo sia questo un metodo "veloce", è solo "utile a capire" anche se ora abbiamo le calcolatrici...

3) UTF: devi avere un po' di pazienza e cercare di entrare in quest'ottica:

Fermat dice esattamente questo (nella sua sibillina frase)

|A^n+B^n|Mn = A^n sempre eccetto che per qualche A,B, interi con n=2...

Cioè la somma di due potenze è sempre inferiore (o superiore) ad una potenza di un intero, infatti l'operazione a modulo complicato ha il "dono" di restituire come resto sempre ia potenza più piccola in quanto al passaggio in cui metti (B+1) ottieni un risultato maggiore del resto disponibile, che è esattamente A^n

Esempio: A=3 B=5 n=2

3^3+5^3 = 152

prendo M3= 3x*2-3x+1 e tabulo

x Mn n-Mn R
3x^2-3x+1 152
1 1 152-1= 151
2 7 151-7= 144
3 19 144-19 = 125
4 37 125-37= 88
5 61 88-61 = 27 (!) ops è propio A^3=3*3 = 27 !
se ora facessi
6 91 27-91= NEGATIVO non posso farlo....

Cioè il valore della funzione modulo complicato M3= 3x^2-3x+1 già a B+1 e già > di A^n.

Anche se avessi preso A=4 B=5 la musica non sarebbe cambiata.

E non cambia nemmeno per B=grandissimo e A=B-1....

Più cresce n più cresce il divario fra Mn a (B+1) e A^n, dato anche il fatto che A, al massimo, può essere paria ad: A=B-1

Provo a parole...
La derivata prima di una potenza n>2 è ancora una curva, cioè L'incremento di pendenza della derivata (derivata seconda) non è nullo, quindi più avanti vai (b+1 o b+k) più la pendenza cresce (quindi il modulo Mn calcolato per B+1) e non c'è speranza di trovare un valore intero corrispondente ad un C^n < (A+B)^n che sia "solo" raggiungibile aggiungendo a B^n il pezzetto di curva iniziale fino ad A^n...

Grazie a questa "visione" ho, credo, trovato una dimostrazione comprensibile dell'UTF che considera proprio i punti A,B, (A+B) ed un possibile C fra B e (A+B).

Per farla breve questo C, se intero, si troverebbe a distanza J, intero, da B e K, intero da (A+B), quindi il rapporto J/K risulterebbe un razionale, quindi esisterebbe un divisore intero: Mn(J/K)... che però non può esistere in quanto usando come divisore anche solo Mn(1/10) si ottiene subito un resto, cioè un decimale.

Fin quì è una osservazione... non una dimostrazione... però aiuta a capire che succede:

Guardando bene la geometrida del "giochino di prestigio" di Fermat, considerando A,B,C (A+B), J e K, è possibile con un po' di sostituzioni arrivare ad una equazione di 2°grado a 2 incognite le cui uniche soluzioni intere possono verificarsi per n=2 e, guarda caso, sono le triplette...

Spero di avere tempo di rimettere a posto il tutto... e far controllare da mia moglie prima di scrivere qualche altra corbelleria... solo che è 'na roba che mi ha richiesto 4 anni di scervellamenti e ora anche lei ne ha le scatole piene di sentirmi rivoltare 'sta frittata...

modulocomplicato
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Re: Come si chiama questa operazione ?

Messaggio da modulocomplicato »

Note importanti:

1) Ho usato la notazione (errata) di "1/infinito" o "1/infinito^2" dando per scontato il passaggio agli infinitesimi tramite il concetto di Limite per x che tende a infinito, quindi 1/x che tende a zero...

Ovviamente "1/infinito" = 0 .... quindi nelle formule va lasciato 1/x e messa la notazione di limite davanti.

2) Non ho chiarito come viene fuori il passaggio al calcolo della radice con i decimali. E' facile ricostruire che la dove compare la divisione per 10, in realtà equivale alla radice quadrata di 100.

3) Sempre per non peccare di presunzione, questo metodo credo sia molto simile a quello di Pascal, solo che non conoscendone gli scritti originali non so dire se sia esattamente la stessa cosa o una mia "libera" intepretazione...


Attendo ancora sempre le opinioni degli esperti...

Grazie
Ciao
Stefano

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