A mio livello avrei bisogno di qualche passaggio in più per capire.
Quando ho trovato questo quesito ho cercato di utilizzare per la dimostrazione i miei più limitati strumenti.
Anch'io son partito cercando di dimostrare la tesi contraria:

$(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) = k^2$, con k>0 ed x>2 interi, ovvero:

$x(x^2-1)(x^2-4) = k^2$

1) $x = \frac {k^2}{(x^2-1)(x^2-4)}$

x deve essere intero e dunque $k^2$ deve essere multiplo di $(x^2-1)(x^2-4)$, cioè :

$k^2 = m(x^2-1)(x^2-4)$ , con m > 0 intero

$k = sqrt{ m(x^2-1)(x^2-4)}$

Notiamo che per x>2, x^2-1 e x^2-4 non sono mai quadrati perfetti, nè lo è il loro prodotto, per cui, affinché k sia intero, è necessario che:

$m = n^2(x^2-1)(x^2-4)$, ovvero che:

$k = n(x^2-1)(x^2-4)$ (con n > 0 intero)

$k^2 = n^2(x^2-1)^2(x^2-4)^2$

e dalla 1):

2) $x = n^2(x^2-1)(x^2-4)$

In sostanza, se è vera la 2), allora il prodotto di 5 consecutivi è un quadrato perfetto, ma alla meno peggio, se n = 1, possiamo scrivere:

3) $x = (x^2-1)(x^2-4)$

ed è agevole dimostrare che, per x >2, è sempre:

x < (x^2-1)(x^2-4)

(non so, fate sentire la vostra voce...dalla 1) si arriva alla 3)...sembra un po' strano, ma questo mi viene e mi pare che fili)

Io penso che il punto non corretto della tua dim stia nel fatto che, ponendo $k^2=m(x^2-1)(x^2-4)$ (intanto m deve essere >2 se no non è garantita la positività del 2° membro), con k intero, nulla mi garantisce che nel passaggio alla radice quadrata otteniamo un k intero. Prova con un esempio m=3, x=5 e vedi che la radice di 1512 non è un intero.
che ne dici?
ciao

... ma veramente, il valore di m l'ho definito successivamente (forse l'esposizione era un po' incasinata):

m= n^2(x^2-1)(x^2-4)

non so se a quel punto ci sei arrivata a leggere, oppure se lo hai ritenuto ininfluente.
In sostanza ho cercato di dimostrare la quadrabilità del prodotto dei 5 consecutivi, ma nel fare questo mi sono imbattuto in una relazione non vera, dal che ho dedotto che la quadrabilità non è possibile.

...e come mai il prodotto di 4 interi consecutivi da x a (x+3) tende a un quadrato perfetto per x che tende all'infinito?

Se provate a plottare la parte decimale della radice del prodotto, nel caso di 4 interi abbiamo una "bella" funzione, mentre nel caso di 3 o di 5 sembra una roba random...

Mah...

Bentornato Cesarone!
Non ho risposte se non l'ovvieta' che quei quattro numeri diventano molto simili...
A parte questo, mi chiedevo anch'io cosa succede per numeri grandigrandi, quando non ci sono singolarita' prime ad ogni pie' sospinto, quando i naturali diventano densi come siamo abituati, ma mantengono sempre quelle affascinanti proprieta' che li rendono unici (a meno di isomorfismi...)

Grazie! Cmq leggo spesso il forum anche se non intervengo...

Cmq se graficate la funzione:

y(x) = sqrt( Pn ) - fix(sqrt( Pn ))

dove Pn è il prodotto di n numeri consecutivi dove il primo è x,
vedrete che si ottengono funzioni "pulite" (a volte sembrano avere periodicità) quando n è pari, mentre funzioni tipo "random" quando n è dispari.

Ma esistono almeno un n e almeno un x per cui Pn è un quadrato perfetto?

...

Grande Mathmum!

E' davvero interessante la tua esplorazione!
Inoltre, è ben più svelta di quella che mi accingo a proporre...
(Anch'io, come Pasquale, ho avuto bisogno di focalizzare bene alcuni tuoi
passaggi, ma alla fine credo di essere riuscito a comprenderli.)
In un certo senso, tu hai guardato il quesito dagli scogli (bello il collegamento
al problema dei piccioni!), mentre io son finito negli abissi... e ora mi toccherà
fare un po' di decompressione!

Spero che ne sia valsa la pena, ma attendo le tue gradite osservazioni di brava
tutor
(Ovvio, son gradite le osservazioni di tutti, anzi: mi scuso in anticipo se ho
scritto qualche sciocchezza... Adesso, peraltro, non ho nemmeno il tempo di
riguardare il contenuto di questo messaggio o snellirlo.)

Mathmum, devo dirti che mi ha fatto tanto piacere che tu abbia avuto - almeno
questa volta! - il tempo, il modo di elaborare la tua soluzione.

Di seguito ho cercato di fare una specie di resoconto del mio percorso, quello
che in un primo momento mi è sembrato il più "spontaneo".


^^^^^^^


Intanto ho trasformato l'espressione di Pasquale come segue:

m·(m+1)·(m+2)·(m+3)·(m+4) = n·[(n²-2)²-n²]

dove n = m+2 ed n>2.

L'obiettivo è quello di ridurre al minimo il numero dei fattori, ispirato da
un'osservazione di Enrico (ma cercando una via diversa da quella di Pasquale,
che comunque trovo molto interessante).

Ora, supponendo che sia (e qui utilizzo il simbolo □ per indicare un generico
quadrato intero, evitando così di ricorrere a troppe lettere):

n·[(n²-2)²-n²] = □

si possono fare due congetture:

A) I termini n e (n²-2)²-n² ammettono 2 come unico divisore comune.
In questo caso le rispettive metà devono essere dei quadrati perfetti, essendo
prime fra loro.

B) I termini n e (n²-2)²-n² sono primi fra loro o sono entrambi divisibili per 4 = □
(il loro eventuale massimo comun divisore) e quindi ciascuno di essi dev'essere
un quadrato perfetto.


Ipotesi A

In tale caso si avrebbe, dovendo prendere n = 2·(2k+1) (con k>0):

[4·(2k+1)²-2]²-4·(2k+1)² = 2·□

ossia:

[2·(2k+1)²-1]²-(2k+1)² = 2·□,

che porta a:

k(k+1)·[16k(k+1)+3] = 2·□,

e può essere messa anche in questa forma:

½k(k+1)(4k+1)(4k+3) = □.

Nell'ultima uguaglianza scritta si osserva che 4k+3= 4(k+1)-1 non può
essere primo con tutti gli altri fattori, in quanto ciò condurrebbe a ritenerlo un
quadrato, ma si verifica facilmente che i quadrati dei numeri dispari seguono
sempre di un'unità un multiplo di 4.
Si vede anche che 4k+3 dev'essere primo con k+1 e 4k+1, per cui rimane da
considerare k, con cui può avere in comune solo il 3.
Si riconosce inoltre che 4k+1 dev'essere un quadrato perfetto. Diversamente,
infatti, potrebbe avere qualche fattore in comune solo con k+1 e con esso
dovrebbe soltanto condividere il 3. In tal caso (4k+1)/3 dovrebbe essere un
quadrato, cioè: 4k+1 = 3·. Ma il triplo di un quadrato dispari precede sempre
di un'unità un multiplo di 4.

Si può allora introdurre questa ulteriore coppia di condizioni:

a) ½(k/3)(k+1) = □
b) 4k/3+1 = □

La b) ci dice che k dev'essere un multiplo di 3, quindi nella a) possiamo ancora
distinguere questi due casi (essendo k e k+1 primi fra loro):

a.1.1) k/3 =  □,
a.1.2) ½(k+1) = □

e

a.2.1) k/6 = □
a.2.2) k+1 = □.

Dalla a.1.1) si deduce che 4k/3+1 = +1, ma questo vuol dire che - per la b) - le
eventuali soluzioni dipendono dalla esprimibilità di 1 come differenza di due
quadrati interi (1 = 1²-0²), ciò che naturalmente porta a considerare unitario il
termine 4k/3+1 e nullo k.
Dalla a.2.2) si deduce 4k+1+3 = □, poiché però 4k+1 = □ (lo abbiamo stabilito
più sopra) e siccome 3 = 2²-1², si conclude che anche in questo caso k = 0.

Dal momento che dev'essere k > 0, l'ipotesi A è pertanto falsa.



Ipotesi B

Rimane da considerare l'eventualità in cui n e (n²-2)²-n² siano primi fra loro
o il loro massimo comun divisore sia 4 = □.
In questi casi dobbiamo avere:

(n²-2)²-n² = □

ed n stesso dev'essere un quadrato perfetto.
Anche il discriminante dell'equazione:

(x-2)²-x = □

dev'essere un quadrato, ossia:

9+4p² = q².

Poiché risulta 9 = 1·9 = 3·3, in due soli modi 9 può essere scritto come
differenza di due quadrati interi:

9 = 3²-0² = 5²-4²,

a cui corrispondono i seguenti valori di x: 0, 1, 4, 5 .
Ricordando che n>2, si ha che x = n² dev'essere non minore di 9 (senz'altro
è più grande, visto che n stesso è un quadrato), quindi nessuno dei precedenti
valori, in realtà, va bene.

L'ipotesi B, dunque, è falsa.

Lo scopo delle due ipotesi appena considerate era proprio quello di giustificare
la quadratura del prodotto non nullo di cinque numeri interi consecutivi.

> Naturalmente, Se&o.


(Bruno)

Interessante la tua osservazione, Cesarone!
E se i numeri, anziché consecutivi, fossero in progressione aritmetica?

Bruno, ti riferisci alla quadrabilità o alla rappresentazione grafica della funzione indicata da Cesarone ? (a proposito, ciao ingegné: a quanto pare hai da fare)

Ciao Pasquale, purtroppo non è più la pacchia di prima... anche se sono rimasto all'uni a fare ricerca.

...

Stavo pensando sia alla quadrabilità che alla funzione.

(Bruno)

Complimenti Cè e non te la prendere: pian piano le cose si sistemano, anche perché, come dice il proverbio, chi (ri)cerca trova.