R: giuoco vecchio fa buon brodo...

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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_panurgo

R: giuoco vecchio fa buon brodo...

Messaggio da _panurgo »

0-§ si lamenta se vengono postati giochi vecchi ma, per gli ignari, anche i giochi vecchi possono essere interessanti...

"Due monete da 50 centesimi sono appoggiate una all'altra come in figura; la moneta B viene fatta ruotare intorno alla moneta A in modo che le zigrinature restino in contatto e le monete non possano così scivolare una rispetto all'altra: quante rotazioni intorno al proprio asse avrà compiuto la moneta B qunado sarà ritornata al punto di partenza?"

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_Cesarone

Messaggio da _Cesarone »

Direi che il modo più elegante per risolvere il problema è il seguente:

chiamo C il punto di contatto, A il centro della moneta A e B il centro della moneta B,

è evidente che C è il centro di istantanea rotazione del moto della moneta A rispetto alla moneta B, poichè ha sempre velocità relativa nulla (vedi rotolamento e non strisciamento e/o distaccamento),

è chiaro che il punto A descriverà una circonferenza di raggio AB e la sua velocità sarà w0 * AB, ma la velocità del punto A posso esprimerla anche in termini di rotazione attorno a C ossia w * AC:

w0 * AB = w * AC

da cui:

w = w0 * AB/AC = 2 * w0

ciò significa che per ogni giro della moneta A attorno alla moneta B, le rotazioni attorno al proprio asse sono il doppio.

_panurgo

Messaggio da _panurgo »

Cesarone ha scritto:
[...] per ogni giro della moneta A attorno alla moneta B, le rotazioni attorno al proprio asse sono il doppio.

Qualcuno offre di più (o di meno)?
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panurgo

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"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

_delfo52

Messaggio da _delfo52 »

Io la "vedo" così.
Facendo compiere il movimento solo in modo "virtuale", cioè nella mia testa, vedo che che la frecca che indica il punto C nella circonferenza mobile (ad es.: la destra), voltata verso sinistra, si troverà di nuovo nella stessa direzione e con lo stesso verso, quando la circonferenza sarà arrivata agli antipodi, cioè tutta al sinistra della circonferenza che sta ferma. A questo punto, se la freccia è tornata nella stessa posizione, vuol dire che è stato compiuto un giro "in mezzo giro".
Con la strada di ritorno, i giri diventano due.
Sono pertanto d'accordo con Cesarone
_________________
Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)

_panurgo

Messaggio da _panurgo »

Ammettiamo quindi che le rotazioni siano due (Del ha fatto il mio stesso ragionamento semplificato - le frecce le ho aggiunte io come aiutino)

Quante rotazioni intorno al proprio asse compirà invece la moneta B in figura sapendo che il suo diametro è metà di quello della moneta A?

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panurgo

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Ospite

Messaggio da Ospite »

C resta sempre nel punto di contatto. L'espressione ricavata precedentemente resta sempre valida, basta aggiustare il rapporto AB/AC.

_panurgo

Messaggio da _panurgo »

Anonymous ha scritto:C resta sempre nel punto di contatto. L'espressione ricavata precedentemente resta sempre valida, basta aggiustare il rapporto AB/AC.
Questa è quella che io chiamo una risposta evasiva: quante sono le rotazioni (1, 2,..., n)?
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panurgo

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_Cesarone

Messaggio da _Cesarone »

Il problema è già stato risolto in via generale... la tua è quella che io chiamo domanda inutile...

_panurgo

Messaggio da _panurgo »

_Cesarone ha scritto:Il problema è già stato risolto in via generale... la tua è quella che io chiamo domanda inutile...
Non avevo capito a fondo la risposta di Cesarone. Un modo meno elegante ma più intuitivo di risolvere il problema potrebbe essere il seguente

Quando la moneta piccola è rotolata per metà della circonferenza della moneta grande


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la freccia è nel verso opposto a quello iniziale: questo significa che la moneta ha effettuato più di una rotazione intorno al proprio asse.

Riportando indietro la moneta si osserva che la rotazione è completa dopo un terzo di rivoluzione


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Ciò non deve stupire perchè la situazione deve essere simmetrica

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In generale, il numero di rotazione per rivoluzione è pari a uno più il rapporto delle circonferenze $\left ( n = 1 + \frac {C_{\text A}}{C_{\text B}} \right )$


Per convincersene è sufficiente far rotolare la moneta B intorno ad un punto
$\left (\frac {C_{\text A}}{C_{\text B}} = 0 \right)$: la moneta compie una rotazione!


Immagine

Quindi le rotazioni sono una in più rispetto a quelle che la moneta B compirebbe se rotolasse su un segmento pari alla circonferenza di A.

La risposta di Cesarone è:
$n = \frac {r_{\text A}+r_{\text B}} {r_{\text A}}$
ed è equivalente, infatti


$n = \frac {r_{\text A}+r_{\text B}} {r_{\text A}} = \frac {2 \pi r_{\text A}+2 \pi r_{\text B}} {2 \pi r_{\text A}} = 1 + \frac {C_{\text A}}{C_{\text B}}$

panurgo


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_panurgo

Messaggio da _panurgo »

E se la moneta A anziché essere ferma rotolasse lei pure (in senso inverso), quante rotazioni della moneta B vedrebbe un osservatore solidale con la moneta A?
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panurgo

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_Cesarone

Messaggio da _Cesarone »

Allora spiego la mia risposta volentieri...

Il centro d'istantanea rotazione di un corpo A, nel suo moto rispetto ad un altro corpo B, è quel punto, pensato appartenente ad A, che rispetto ad un sistema di riferimento solidale con B, ha velocità nulla.

In altri termini istantaneamente il corpo A ruota attorno ad un asse passante per C, pertanto la velocità di un qualsiasi punto P di A può essere espressa scalarmente come:

w * PC

dove w è la velocità angolare di A.

Nel nostro caso è evidente che il centro d'istantanea rotazione di A rispetto a B (e di B rispetto ad A) è collocato sempre nel punto di contatto, poichè nel punto di contatto la velocità relativa fra i due corpi è sempre nulla (avendo parlato di rotolamento e non strisciamento e inoltre pochè le due monete restano a contatto).

Inoltre, se A rotola attorno a B, possiamo esprimere la velocità del centro Oa di A come:

w0 * OaOb

dove Ob è il centro di B e w0 è la velocità angolare relativa al moto circolare del centro di A attorno a B. Ad esempio, se w0 è sempre costante, e la moneta impiega un tempo T per compiere un giro attorno a B, allora w0 =2*pi/T.

Ma il centro Oa è anche un punto di A e quindi la sua velocità può essere espressa anche utilizzando il centro d'istantanea rotazione:

w * OaC

In definitiva:

w0 * OaOb = w * OaC

da cui:

w = w0 * OaOb/OaC

Il numero di rotazioni della moneta A nel tempo T sono date da:

w * T / 2 / pi = (2 * pi/T * OaOb/OaC) * T / 2 / pi = OaOb/OaC


Tutte queste considerazioni valgono anche nel caso in cui entrambe le monete rotolino, perchè allora si considererà il moto relativo di una rispetto all'altra.

_Cesarone

Messaggio da _Cesarone »

Se ti interessa quello che vede un osservatore solidale con un corpo, cioè ti interessa un moto relativo, allora puoi tranquillamente operare l'inversione cinematica, cioè consideri fisso a telaio quel corpo e quindi studi il moto relativo degli altri corpi... cioè ricadiamo nel caso precedente.

Prima avevamo una moneta fissa e una che gli rotolava intorno. Ora abbiamo due monete che rotolano una sull'altra, ma siamo osservatori solidali con una moneta, cioè in altri termini vediamo ferma quella moneta.
Allora pensiamo fissa quella moneta e studiamo il moto relativo dell'altra moneta. In definitiva ricadiamo nel problema precedente, anche se ora stiamo parlando di velocità relative e non più assolute.

_panurgo

Messaggio da _panurgo »

Viceversa, un osservatore solidale con la moneta B misurerebbe, per esempio contando i giri di una bussola, una rotazione (di B) in meno rispetto al caso precedente
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panurgo

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_0-§

Messaggio da _0-§ »

Mi lancio: se una moneta percorre rotolando all'esterno un qualsiasi percorso chiuso formato da monete identiche a quella rotante,ruoterà su sé stessa di un angolo pari al doppio della somma degli angoli degli archi di moneta percorsi.
Fiuu!
Questa l'ho letta sempre da Martin Gardner,che forse ne dava anche una dimostrazione.
Non so cosa succeda se la moneta percorre all'interno,ma mi sembra che ci sia una differenza.
Saluti!
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La matematica é il grande inganno.Fate un esame di coscienza e rispondete:quando é stata l'ultima volta che avete sentito il bisogno di calcolare una mantissa?(D.Luttazzi)[/b]

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