R: Approccio logico univoco all'Antinomia del Mentitore

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Ospite

R: Approccio logico univoco all'Antinomia del Mentitore

Messaggio da Ospite »

Ciao a tutti e complimenti per l'ottimo sito.

Vorrei qui proporre una discussione, circa una mia ipotesi di possibile approccio univoco (in termine di valore di verità) alla gestione delle antinomie di tipo semantico (cosiddette del Mentitore). Nel seguito vi espongo i primi spunti (ammetto, un po' aridi) dalle mie riflessioni.

Sarò grato a chiunque vorrà discutere qui sul tema.

Saluti,

Renato Ornaghi.
[email protected]

-------------------

LE ANTINOMIE DEL MENTITORE
Una semantica tetravalente

1. Premessa

Si vuole qui proporre, per le cosiddette Antinomie Semantiche (ovvero quelle della classe del “Mentitore”) una specifica logica tetravalente, a quattro valori di verità, tale da ricomprendere ad una interpretazione univoca le medesime antinomie, secondo una semantica in grado di soddisfare le proposizioni della logica del 1° ordini deducibili da un sistema di proposizioni non contradditorio.


2. Definizioni

Definiamo l’esistenza di due categorie di proposizioni del linguaggio naturale:

D.1 L’insieme composto dalle proposizioni Univocamente Vere: Uv
D.2 L’insieme composto dalle proposizioni Univocamente False: Uf


Ai fini dell’analisi delle antinomie di tipo semantico, si propone che l’intersezione tra i due insiemi di proposizioni sopra indicate non determini l’insieme vuoto. In quest’ottica, si rendono pertanto disponibili i seguenti quattro possibili valori di verità:

D.3 Definiamo il valore di verità Vero [V] come l’intersezione: Uv & -Uf, ovvero l’insieme delle proposizioni univocamente vere e non univocamente false:

D.4 Definiamo il valore di verità Falso [F] come l’intersezione: -Uv & Uf, ovvero l’insieme delle proposizioni univocamente false e non univocamente vere:

D.5 Definiamo il valore di verità Binomico come l’intersezione: Uv & Uf, ovvero l’insieme delle proposizioni univocamente false e univocamente vere:

D.6 Definiamo il valore di verità Antinomico [a] come l’intersezione: -Uv & -Uf, ovvero l’insieme delle proposizioni non univocamente false e non univocamente vere:



3. L’Antinomia del Mentitore

Tale particolare antinomia di tipo semantico (formulata inizialmente, secondo la tradizione dal cretese Epimenide), è esprimibile secondo diverse formulazioni, ma è sostanzialmente proponibile nella seguente forma:

P1 Questa frase è Falsa

Tale proposizione non raggiunge evidentemente, all’atto della sua interpretazione, alcun valore di verità univoco, non risultando né unicamente Vera né univocamente Falsa: qualora fosse Vera sarebbero infatti Falsa, e viceversa. Secondo la definizione D.6 sopra esposta, è proponibile per tale proposizione il valore di verità Antinomico [a], non univocamente Falsa e non univocamente Vera.


4. La negazione della Antinomia del Mentitore

L’analisi epistemologica dell’antinomia del mentitore si è lungamente soffermata, nei diversi secoli a partire dalla sua iniziale formulazione, sulle conseguenze semantiche paradossali legate all’impossibilità di una interpretazione univoca della proposizione P1.
E’ peraltro quantomeno singolare il fatto che raramente ci si sia soffermati a considerare il valore di verità della seguente proposizione, negazione della precedente:

P2 Questa frase è Vera

In realtà, l’interpretazione logica di tale proposizione è – se possibile - ancor più concettualmente affascinante della stessa antinomia del mentitore. Quale è il valore di verità di tale proposizione? Ad una prima analisi affrettata, si sarebbe tentati di definirla univocamente Vera: dichiarandosi Vera, all’atto dell’interpretazione essa infatti si verifica essere effettivamente tale.
Un analisi più accurata dimostra invece che la P2, oltre ad essere Vera, è anche Falsa: infatti all’atto della interpretazione, dichiarandosi Vera, mente di sé.

Si noti però come il valore di verità di tale proposizione scaturisca unicamente all’atto della sua interpretazione: a monte di questa, esso infatti fluttua indecidibilmente tra i valori di verità Vero e Falso, non assumendone alcuno. E’ solo il momento della verifica, della interpretazione logica che fa collassare il valore di verità su univocamente Vero od univocamente Falso.
In questa sede si vuole pertanto proporre per tale proposizione di verità il valore Binomico : univocamente Vero e univocamente Falso, secondo la definizione D.5.

Questa ancor più approfondita analisi, invero, fa emergere una straordinaria analogia tra tale situazione di valore di verità “fluttuante”, che collassa appunto su uno dei due valori Vero o Falso unicamente all’atto della verifica logica, ed il cosiddetto paradosso fondamentale della meccanica quantistica, il cosiddetto paradosso di Schrödinger (altrimenti detto “paradosso del gatto”).


5. Il paradosso di Schrödinger e la proposizione P2
Come noto, Erwin Schrödinger, uno dei padri fondatori della meccanica quantistica, suppose di mettere un gatto in un contenitore isolato, con una fialetta di veleno collegata ad un rilevatore di radiazioni, e al suo fianco uno e un solo atomo di un elemento radioattivo, il cui eventuale decadimento avrebbe causato l’apertura della fiala e la conseguente morte del gatto. Egli immaginò di sigillare il contenitore e dopo un certo tempo di porsi la domanda se il gatto fosse vivo o morto.
Il punto di dimezzamento, ovVero il tempo dopo il quale c’è la massima probabilità che il 50% degli atomi radioattivi siano decaduti, può essere valutato statisticamente, ma vale solo per un numero molto grande di atomi. Per un singolo atomo, la questione è viceversa assolutamente indecidibile. Esso può decadere dopo un millisecondo come fra qualche miliardo di anni. Essendo indecidibile, dopo un tempo qualsiasi c’è il 50% di probabilità che l’atomo sia decaduto, e il 50% che l’atomo sia ancora lì. Allora il poVero gatto nel contenitore ha il 50% di probabilità di essere vivo, e il 50% di essere morto.
E se ci obbligassero a prendere una decisione, sosterremmo che è VIVO e MORTO.
Come fare per stabilirlo univocamente? Devo aprire il contenitore, ma allora il gatto non è più nel contenitore sigillato, è aperto ora. Io posso dire se è vivo o morto, ma ho PERTURBATO il sistema. Perturbando il sistema, si forza il sistema stesso ad assumere UNO e uno solo degli stati possibili, così come è solo il processo di verifica e di interpretazione logica che consente di accertare se la proposizione P2 è Falsa o Vera, e ne fa collassare il valore di verità ad una configurazione logica univoca e specifica.


6. Semantica Tetravalente

Per la logica tetravalente appena proposta, definiamo una semantica costruita attraverso coppie di valori di verità univoche, nella formulazione:

D.7 Valore di verità: (Univocamente Vero, NON Univocamente Falso)

In questa impostazione, emergono quattro valori di verità distinti e specifici. In base alla definizione D.7 sopra identificata, sono infatti generabili le seguenti quattro coppie di valori semantici:


Vero [V]: coppia (V,V)
Falso [F]: coppia (F,F)
Antinomico [a]: coppia (F,V)
Binomico : coppia (V,F)


Proponiamo per i valori di verità così definiti le seguenti tavole di verità:

Negazione -p

p -p
V F
F V
a b
b a


Somma logica: p & q

p & q V F a b
V V F a b
F F F F F
a a F a F
b b F F b


Alternativa logica: p v q

p v q V F a b
V V V V V
F V F a b
a V a a V
b V b V b


Si dimostra agevolmente (ci limitiamo qui ad affermarlo) che tale semantica tetravalente soddisfa le proposizioni deducibili da una logica del 1° ordine, risultando pertanto una estensione coerente della semantica bivalente a due valori di verità Vero e Falso.
In altri termini, risultano con tale semantica riproponibili (ovviamente con significato diverso) i principi di “non contraddizione” e di “terzo escluso”.


7. Proposizioni “Antinomiche” – Sviluppi.

La semantica tetravalente sopra definita assolve il compito di ricomprendere le antinomie di tipo semantico in un ambito di verità che, pur ampliato, consente comunque di soddisfare le proposizioni desumibili da una logica assiomatica non contraddittoria del 1° ordine.
Avendo definito due nuovi valori di verità (Antinomico e Binomico), sorge il dubbio che l’utilizzo di tali valori definiti nel linguaggio naturale determini il sorgere di ulteriori antinomie di tipo semantico.

Ci proponiamo di verificare, nel seguito, che così (almeno apparentemente) non è. Consideriamo la proposizione:

P3 Questa frase è antinomica

Antinomico sta, nell’accezione della definizione D.6, ad una proposizione né univocamente Vera e né univocamente Falsa. Appare evidente che la proposizione P3 è Falsa, secondo la definizione D.4: infatti, dichiarandosi né univocamente Vera e né univocamente Falsa, mente di sé.


E’ importante precisare che la proposizione seguente

P4 Questa frase è binomica

Non è la negazione della P3. Essa è anch’essa univocamente Falsa, secondo la definizione D.4. Infatti, dichiarandosi binomica (univocamente Vera ed univocamente Falsa), mente di sé, risultando in realtà univocamente Falsa.


Le reali negazioni delle proposizioni P3 e P4 sono, in realtà:

-P3 Questa frase NON è antinomica

-P4 Questa frase NON è binomica

Che risultano, entrambe, univocamente Vere e non univocamente False.


E’ infine interessante verificare l’utilizzo dei congiuntivi per accertare il funzionamento delle tavole semantiche sopra definite, attraverso le seguenti proposizioni:


P5 Questa frase è Vera e Falsa [a] & =[F]

Non è univocamente Vera. Se lo fosse, sarebbe Vera e Falsa.
E’ univocamente Falsa. Infatti, definendosi Vera e Falsa, mente di sé.


P6 Questa frase è Vera o Falsa [a] v =[V]

E’ univocamente Vera. Essendo tale, essa infatti si verifica essere Vera o Falsa.


P7 Questa frase è Vera e antinomica & [F] =[F]

E’ univocamente Falsa. Infatti, definendosi Vera e antinomica, mente di sé.


P8 Questa frase è Vera e binomica & [F] =[F]

E’ univocamente Falsa. Infatti, definendosi Vera e binomica, mente di sé.


P9 Questa frase è Vera o antinomica v [F] =

E’ univocamente Vera. Infatti, definendosi Vera o antinomica, afferma il Vero di sé.
E’ univocamente Falsa. Infatti, definendosi Vera o antinomica, mente di sé.
Essa è pertanto Binomica, secondo la definizione D.6.


P10 Questa frase è Vera o binomica & [F] =[b]
E’ univocamente Vera. Infatti, definendosi Vera o binomica, afferma il Vero di sé.
E’ univocamente Falsa. Infatti, definendosi Vera o binomica, mente di sé.
Essa è pertanto Binomica, secondo la definizione D.6.


P11 Questa frase è Falsa e antinomica [a] & [F] =[F]

E’ univocamente Falsa. Infatti, definendosi Falsa e antinomica, mente di sé.


P12 Questa frase è Falsa e binomica [a] & [F] =[F]

E’ univocamente Falsa. Infatti, definendosi Falsa e antinomica, mente di sé.


P13 Questa frase è Falsa o antinomica [a] v [F] =[a]

Non è univocamente Vera. Infatti, se lo fosse, sarebbe Falsa o antinomica.
Non è univocamente Falsa. Infatti, se lo fosse, non sarebbe Falsa o antinomica.
Essa è quindi Antinomica, secondo la definizione D.5.


P14 Questa frase è Falsa o binomica [a] v [F] =[a]

Non è univocamente Vera. Infatti, se lo fosse, sarebbe Falsa o binomica.
Non è univocamente Falsa. Infatti, se lo fosse, non sarebbe Falsa o binomica.
Essa è quindi Antinomica, secondo la definizione D.5.


P15 Questa frase è binomica e antinomica [F] & [F] =[F]

E’ univocamente Falsa. Infatti, definendosi binomica e antinomica, mente di sé.


P16 Questa frase è binomica o antinomica [F] & [F] =[F]

E’ univocamente Falsa. Infatti, definendosi binomica o antinomica, mente di sé.

_Pasquale

Messaggio da _Pasquale »

Ce ne vuole un po' per digerire tutto, ma la sistemazione mi pare valida.
Sarebbe interessante esaminare qualche esempio di pratica applicazione commentata, per poter meglio fissare i concetti esposti e valutare eventuali strane conseguenze logiche.
_________________
Ciao (E' la somma che fa il totale - Totò)

_infinito

Messaggio da _infinito »

Confesso di non aver letto tutto il posto, ma mi faccio forza di «Sarò grato a chiunque vorrà discutere qui sul tema.»

Intanto la prima domanda che mi è venuta da farti dopo aver letto un po' è «Ma scivi per cercare di essere il più "comprensibile" o il più "incomprensibile" possibile?»



Poi non condivido molto di quello che hai scritto, perché il problema secondo me è del tutto diverso:
per esempio P1 «Questa frase è Falsa», non è una frase con un significato "reale", per lo meno non è più reale de «l'insieme di tutti gli insiemi».

Non ho capito (ma, non ho letto tutto con attenzione) che cosa ti proponi con l'accettare come frase quello che i matematici hanno rifiutato da tempo (per evitare contraddizioni).
Non credo di essere fra quelli che accettano tutto quello che fanno gli altri (penso che tu non mi conosca, ma anche qui su Base 5 ho sostenuto spesso tesi "strane"), ma quella di considerare prive di significato le espressioni come P1 mi pare che sia condivisibile, almeno come scelta "per la semplicità".
Se invece si vuole ercare di allargare l'orizzonte degli "enti che hanno significato", allora può essere interessante cercare di trovarlo, ma non mi pare che la tua scelta sia condivisibile (anche se Pasquale la ha condivisa ...), perché credo che se tu formalizzi bene le definizioni di «proposizione Univocamente Vera» e «proposizione Univocamente Falsa», ti accorgerai che
l'definite «D.1 L’insieme composto dalle proposizioni Univocamente Vere: Uv
D.2 L’insieme composto dalle proposizioni Univocamente False: Uf» l'intersezione dei due insiemi è sicuramente vuota.

(Si, lo so che non ho dimostrato molto, ma non ho molto tempo, ed ho solo voluto darti il mio contributo: buon lavoro.)

_Tino

Messaggio da _Tino »

Vorrei dire anch'io qualcosa: l'analisi fatta è molto interessante, ma ho delle perplessità:

Non so moltissimo di logica, ma riguardo la proposizione P2, "questa frase è vera", si verifica che è univocamente vera dicendo: supponiamo sia vera; allora certamente è vera perché dice di se una cosa vera. Si verifica che è univocamente falsa dicendo: supponiamo sia falsa; allora dicendo che è vera mentirebbe di se. Non ho raggiunto contraddizioni, e posso dire che P2 è vera e falsa. A parte non aver ancora digerito il fatto che il valore di verità si assegna al momento della interpretazione logica, mi domando ma cosa si intende ora per valore di verità? Si attribuisce a una proposizione P (soggetto verbo predicati) un valore di verità x quando questo non crea contraddizioni? Cioè quando supponendo che P valga x non si giunge a conclusioni diverse da "P vale x"?
E poi non ho capito bene somma e alternativa logica come si comportano nel caso da te esposto (uv, uf, a, b).

Ripeto, non ho mai studiato logica seriamente, magari tutto ciò è spiegato in quella che tu chiami "logica del primo ordine".

Comunque devo ammettere che tutto ciò è molto affascinante.

Ciao
_________________
Don't let somebody else's love life dictate your own

_infinito

Messaggio da _infinito »

Tino ...
ti rammento l'approccio con i radicali nidificati.

L'espressione «questa frase è vera»
semplicemnte non ha alcun significato, per il semplice fatto che non c'è la frase di cui si sta parlando: «Questa frase ...» quale frase?

Il tutto è davero analogo a «Sia I l'insieme di tutti gli insiemi» I non è definito, perché per poter definire «l'insieme di tutti gli insiemi» devo già avere gli insiemi che uso per definirlo.



Con tutto queso, però, non voglio dire che non sia interessante cimentarsi con tali concetti, come può essere interessante leggere Hatty Potter ..., ma a patto di non credere davvero che esuistano tutte le cose che vi sono scritte.

Ospite

Messaggio da Ospite »

Vi ringrazio per i contributi, anche critici ma semre stimolanti.

La proposizione "Questa frase è vera" a mio avviso non può essere semplicemente liquidata con un "quella frase non esiste". Ed il quesito primo che pongo è? Quale sarebbe il valore di verità di questa proposizione?

Stiamo parlande di proposizioni dei linguaggi naturali, non riconducibili a proposizioni univocamente vere o false, che però paradossalmente rispettano le tautologie logiche.

Faccio un esempio: le figure retoriche del linguaggio anturale.

Considerate la metafora. La metafora è una figura del linguaggio anturale usatissima, che apporta notevole valore semantico alle nostre proposizioni. Ecco, la metafora è una proposizione nella quale la mia semantica a 4 valori di verità si applica perfettamente. Considerate la proposizione:

P1 "Andreotti è una volpe"

Essa è manifestamente falsa. Però sapete benissimo che essa è anche vera qualora sia letta come contrazione di una similitudine: "Andreotti è come una volpe".

Che valore di verità ha P1? Sia Vero che Falso, quinid attribuiremo ad essa il valore di verità coppia ordinato (Falso, Vero) che definiamo Antinomico per brevità.

Consideriamo ora la negazione della P1:

-P1 "Andreotti non è una volpe"

Essa è specularmente Falsa e Vera per i medesimi motivi sopra esposta, attribuiremo alla -P1 il valore di verità (Falso, Vero) che definiamo Binomico per brevità.

Abbiamo a questo punto quattro valori di verità:

il Vero - definito dalla coppia (Vero, Vero),
il Falso - definito dalla coppia (Falso, Falso),
l'Antinomico - definito dalla coppia (Falso, Vero),
il Binomico - definito dalla coppia (Vero, Falso).

Tenete presente che, la proposizione P1 può assumere i valori Falso e Vero, sarebbe infatti falsa se ad esempio io politico Andreotti rimbambisse totalmente (e quindi la similitudine con la volpe cadrebbe), oppure potrebbe essere anche vera, se fossimo allo zoo e ci riferissimo ad una volpe in gabbia chiamata Andreotti.

La cosa più affascinante è che questa semantica allargata rispetta tutte le tautologie della logica degli enunciati del primo ordine.

Esempio - il terzo escluso: "Andreotti è o non è una volpe" - E' vera

Perchè è utile una semantica allargata a quattro valori di verità? Perchè il nostro linguaggio quotidiano è di fattu basato su una semantica di questo tipo, non esistono proposizioni vere o false. Oso anzi dire che le proposizioni più "ricche" del linguaggio naturale sono proprio le antinomie, o meglio le metafore se vogliamo definirle così.

Saluti a tutti!

Daniela
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 456
Iscritto il: lun nov 21, 2005 9:40 am

Messaggio da Daniela »

recupero completato
Daniela
"L'essenza della libertà è la matematica"

Rispondi