Ciao a tutti,

Gaspero ha scritto:Mi ricordo che sul "Guiness dei primati" ho visto riportata l'approssimazione più ... (grave, importante, ... , non mi ricordo la dizione):
in un comune americano venne apporvato che, per legge, pigreca fosse approssimata a 4.

Ho trovato questa dimostrazione che darebbe ragione agli amici statunitensi.
E' molto convincente, ma chi sa trovare l'errore?

A livello intuitivo, direi che l'operazione di taglio spigoli non fa convergere la figura perimetrale verso una circonferenza.
In sostanza, il perimetro del poligono irregolare descritto, o spezzata che sia, resta sempre 4 e quindi sostanzialmente resta sempre il quadrato iniziale che era e dunque non la circonferenza inscritta che deve avere misura minore.
Nel procedimento di Archimede (poligoni inscritto e circoscritto), man mano che aumentano il numero dei lati, i due perimetri iniziali, rispettivamente, aumentano e diminuiscono, perché in un triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo e/o un lato è minore della somma degli altri due; dunque le due figure tendono verso un qualcosa di diverso, con misure diverse da quelle iniziali (non ricordo bene e non so se è esatto, ma direi che abbiamo due serie convergenti e se così è, non possono convergere verso la stessa quantità iniziale, ma verso una intermedia).
Insomma non l'avrò detto bene, ma penso che praticamente sia così.

Salve a tutti,

con lo stesso ragionamento si potrebbe affermare che la somma della lunghezza dei cateti (l) di un triangolo rettangolo è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa (d) (vedi figura allegata);

$l+l=d$

ma per quanto si possa suddividere il cateto di lunghezza l in n parti, la sommatoria delle parti farà sempre l:

$\sum_{n=1}^{\infty}n{\frac{l}{n}}=l$

https://www.base5forum.it/upload/trian1.png" target="_blank

Edmund

Ho reso visibile l'immagine postata da Edmund.

Oggetti di questo tipo sono frattali?

Non mi pare che si tratti di frattale, da quel poco che so dovrebbero avere lunghezza infinita mentre nel nostro caso la lunghezza si mantiene costante.

Edmund

Grazie Edmund,

altra domanda:se disegniamo un poligono a gradini INSCRITTO in una circonferenza di diametro d=1, come illustrato nelle figure qui sotto, e immaginiamo di aumentare indefinitamente il numero dei gradini,...
a quale valore tende la lunghezza del perimetro del poligono?

Ogni lato del quadrato tenderà ad allungarsi fino a raggiungere il diametro della circonferenza, quindi la risposta è 4!

Edmund.

Generalizzo la risposta, cioè suppongo che il poligono inscritto alla circonferenza di diametro d abbia n lati; la lunghezza del perimetro del poligono ottenuto secondo la costruzione di Gianfranco è data da


$\fs{5} P=nd[1+sin(\frac{\pi}{n})-cos(\frac{\pi}{n})]$

Edmund

Ciao a tutti,

@Pasquale

Pasquale ha scritto:A livello intuitivo, direi che l'operazione di taglio spigoli non fa convergere la figura perimetrale verso una circonferenza.

Parlo anch'io a livello intuitivo, senza riferirmi ad alcun teorema di Analisi.
Le due linee spezzate, sia quella interna, sia quella esterna si possono avvicinare indefinitamente alla linea circonferenza.
Cioè, data una distanza $\Large \varepsilon$ piccola a piacere, si può trovare una spezzata "a gradini" che non si allontani dalla circonferenza di più di $\Large \varepsilon$.
E questo non equivale forse a dire che la spezzata converge alla circonferenza? O no?
Il fatto che una successione di linee converga a una linea però non implica che anche le lunghezze delle varie linee debbano avere come limite la lunghezza della linea finale. O no?

@Edmund
Confermo che la lunghezza dei poligoni a gradini tende a 4 diametri ma devo ragionare ancora un po' sulla tua formula.

Con il “gioco” dei “gradini” si può mostrare anche che, in un triangolo rettangolo, diventa sempre meno possibile distinguere la scala dall’ipotenusa e la nostra intuizione parrebbe dirci che, procedendo all’infinito nella suddivisione, la scala si confonda con l’ipotenusa del triangolo… è evidentemente assurdo (come ha già sottolineato Pasquale, in un triangolo la somma della lunghezza di due lati è maggiore della lunghezza del terzo lato), ma di cose di questo tipo è capace la nostra intuizione se vogliamo applicarla ai processi infinitari, trasferendo le nostre esperienze dal finito all’infinito…

Giusto, Ivana, a questo punto non possiamo tirarci più indietro, dobbiamo studiare la geometria del taxi (non euclidea) di Hermann Minkowski!
Un buon punto di partenza è: http://www.mat.uab.cat/matmat/PDFv2007/v2007n04.pdf
Ivana, che programma usi per fare le tue bellissime gif animate?

Interessante ..... nel mondo delle teste quadre, sarebbe una vera pacchia