Funzione diversa del pi greco

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Carlo Gravina
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Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Carlo Gravina »

il numero 3,14159265.... è l'altezza di ogni cilindro il cui volume sia uguale alla lunghezza della circonferenza moltiplicata per un quarto della circonferenza stessa.
Carlo Gravina

Pasquale
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Pasquale »

Vediamo se ho capito:

ho una circonferenza da 12, il cui quarto è 3; poi c'è un cilindro il cui volume è 36; quindi l'altezza del cilindro, cioè $\pi$, è data da $\frac{36}{\pi \cdot r^2}$:

$\pi = \frac{36}{\pi \cdot r^2}$; $\pi^2 = \frac {36}{r^2}$; $\pi = \frac{6}{r}$

Quando moltiplico la circonferenza per il suo quarto, $2\pi r \frac{2\pi r}{4} = \pi^2 r^2$; $h = \frac{\pi^2 r^2}{\pi r^2} = \pi$

L'unica cosa che mi lascia un po' perplesso è che utilizzo pigreco per cercare pigreco, ma evidentemente c'è qualcosa che mi sfugge.
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Carlo Gravina
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Carlo Gravina »

Ho inteso segnalare che il pi greco non è solamente il moltiplicatore nel calcolo della circonferenza ma anche l'altezza dei cilindri come descritto nel precedente messaggio.

Quelo
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Quelo »

Vi segnalo alcune statistiche sui decimali di $\pi$

Statistical Distribution Information

e vi propongo quanto segue:

1) esprimere $\pi$ come rapporto di 2 quadrati di numeri interi preciso alla 5 cifra decimale

2) esprimere $\pi$ come rapporto di 2 potenze di numeri interi preciso alla 4 cifra decimale
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Bruno
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Bruno »

1) $\; \frac{6769^2}{3819^2}\,=\, 3,14159$14871... (questo e altri casi si trovano facilmente anche con un foglio elettronico, ma sono un po' di corsa e non ho ricontrollato che sia il minimo);

2) $\; \frac{7^7}{4^9}\,=\,3,1415$67230... (questo invece è un risultato noto, non riconducibile al già visto rapporto di quadrati).

Aspetto i tuoi risultati, Quelo, e quelli di altri amici, sicuramente più ponderati :wink:
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Edmund
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Edmund »

Ecco qualche esempio

$\frac{8474628307543122751647568863738343568197717358003679702461055217661223186182374027684601290620526480109252237051641509681890285295261089786^2}{4781297015554781114774762101477774787878541101014511144477788996652333010104477777777771888841796701222547889612010001101454101471234567890^2}$

con 139 cifre decimali esatte

$\frac{453416497820815107338605806^8}{23214324543564678^{13}}$

con 25 cifre decimali esatte.

Ma è facile ricavarne esempi con numeri molto più grandi, e con maggiore precisione delle cifre decimali del p greco.

Edmund

Bruno
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Bruno »

Sì, Edmund, è naturale, si può andare anche nella tua direzione.
Tuttavia Sergio proponeva una precisione minore (5 cifre decimali sul primo punto e 4 sul secondo).


1) $\; \frac{296^2}{167^2}\,=\, 3,14159$70454... (un controllo un pelino meno grezzo mi ha portato a questo ulteriore risultato).
(Bruno)

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Quelo
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Quelo »

Bravo Bruno, è lo stesso risultato a cui sono arrivato io insieme a

$\frac{7^7}{8^6}$ che è lo stesso di $\frac{7^7}{4^9}$
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Admin
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Admin »

Salve a tutti,
torno al quesito di Carlo, a cui avevo promesso una risposta (anzi mi scuso per il ritardo).

Dunque, ovviamente la tua uguaglianza è vera, ma non è un modo diverso per definire pi greco.
Perchè nel tuo caso si fa in modo che l'altezza del clindro sia uguale esattamente al rapporto tra Circonferenza e diametro;
Ossia:

indichiamo con $C$ la circonferenza alla base del cilindro, con $r$ il raggio, con $h$ la sua altezza e con $V$ il volume; si ha:

$\large{V\/=\/\frac{C\cdot r}{2}\cdot h }$

Quindi $\large{h]$ vale:

$\large{h\/=\/\frac{2}{C\cdot r}\cdot V }$

Posto $\large{V\/=\/C\cdot\frac{C}{4}}$, si ha:

$\large{h\/=\/\frac{2}{\cancel{C}\cdot r}\cdot \frac{\cancel{C}\cdot C}{4}\/=\/\frac{C}{2\cdot r}\/=\/\frac{C}{d}}$

Quindi, in realtà, è $\large{\frac{C}{d}}$ ad essere uguale a $\large{{\pi}}$.

Ad ogni modo, mi era del tutto nuova questa uguaglianza.
Grazie per aver postato la questione.

Saluti e benvenuto sul forum dei Basecinquini. :)
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Pasquale
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Pasquale »

Bene, bene, che eravate così bravi si sapeva già e dunque, già che ci siamo, avanzerei la seguente proposta:

trovare un $\pi$ approssimato alla quinta cifra decimale, operando su due numeri primi, quanto più piccoli possibile.

Il primo classificato (con la minore somma dei due primi) vince una bottiglia di acqua fresca con spremuta di limone, che lo salvaguarderà da "Caron Dimonio".
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Quelo
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Quelo »

Questo è il migliore risultato con la 5 cifra decimale giusta, che però diventa sbagliata con l'arrotondamento

$\large\frac{16063}{5113}\normal=3.14159\tiny984353608$

Qui invece è sbagliata la quinta cifra ma diventa gusta con l'arrotondamento

$\large\frac{18061}{5749}\normal=3.14158\tiny98417116$

Qui invece la quinta cifra è giusta con e senza arrotondamento

$\large\frac{30841}{9817}\normal=3.14159\tiny111744932$
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Carlo Gravina
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Carlo Gravina »

Ciao Admin, grazie per il commento.
Non ha senso calcolare il pi greco, è già stato fatto. Io stesso, più di 30 anni fa, ho messo a punto una formuletta che mi dava 3,14159265358. Più in la non sono andato perché la mia calcolatrice aveva 12 cifre. Dopo essermi detto bravo ho riposto la formuletta da qualche parte senza occuparmene più.
Recentemente mi sono chiesto se il pi greco potesse essere qualche altra cosa oltre che un moltiplicatore. Ho notato che nei parallelepipedi con base quadrata se il volume è pari al perimetro moltiplicato per un quarto del perimetro stesso, l'altezza è sempre 4. Ho controllato se altri solidi avessero la stessa proprietà e sono arrivato al cilindro con altezza pari a pi greco. Non so che valore attribuire a ciò ma dipende da cosa si vuole sapere del pi greco.

Pasquale
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Pasquale »

OK Sergio, intendevo dire esatto fino alla quinta cifra decimale (3,14159).....mmmmm......in questo senso si può fare di meglio.
Aggiungo come ulteriore premio ed incentivo un efficace scongiuro sciamanico, acché il digitale terrestre non faccia brutti scherzi durante la finale degli europei.
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Pasquale »

Sulla questione del pigreco e del cilindro, sto cercando ancora di capire, per capire, senza per questo assumere una posizione netta, ma avanzando dei dubbi, sui quali chiedo lumi.
Si parte da un calcolo, perché così viene dichiarato (il volume del cilindro è uguale alla lunghezza della circonferenza per un quarto della stessa) ed ecco i dubbi:

1) il prodotto di due lunghezze rappresenta una superficie o un volume?

$2\pi r \cdot \frac{2\pi r}{4} = \pi^2 r^2$, per costruzione, è l'area di un quadrato di lato $\pi r$, ma numericamente l'espressione può essere rappresentata come $\pi r^2\cdot \pi$, cioè l'area di una superficie circolare per un moltiplicatore $\pi$, il quale può essere considerato come un'entità geometrica? Ho davvero costruito un cilindro? Possono essere la stessa cosa una superficie piana ed un solido?
Per meglio spiegare quello che voglio intendere, diciamo che le misure sono dimensionate in centimetri; allora il prodotto di cui sopra, da un punto di vista dimensionale, lo scrivo:
$\text cm 2\pi r \cdot cm \frac{2\pi r}{4} = cm^2 \pi^2r^2 e non cm^3 \pi^2r^2$; anche $\pi r^2\cdot \pi$ lo scrivo come $cm^2 \pi r^2 \cdot \pi = cm^2 \pi^2r^2$ e non $cm^3 \pi^2r^2$, perché $\pi$ non ha dimensioni geometriche

2) le due lunghezze iniziali contengono in se stesse un $\pi$ già definito e calcolato, mi pare, altrimenti come si fa a rilevare che quel volume è pari a quel prodotto? Voglio dire che mi sembra come se, una volta costruito un cilindro di altezza $\pi$ già nota, mi accorgessi che l'altezza è $\pi$

Forse non riesco a spiegare bene ciò che voglio dire e non so nemmeno se dico cose giuste, per cui resto nel dubbio, ma nulla toglie che l'osservazione di Carlo è numericamente giusta ed anch'io gli do il benvenuto con un sonoro.......Ciao! :D
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Quelo
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Re: Funzione diversa del pi greco

Messaggio da Quelo »

Secondo me si potrebbe adottare un altro punto di vista:

Tutti i cilindri di altezza $\pi$ hanno un volume pari a un quarto del quadrato della circonferenza

$h=\pi$ è il dato di partenza e di conseguenza si ha l'uguaglianza $V=\large\frac{C^2}{4}$


Per quanto riguarda $\pi$ come risultato di un'operazione su due numeri primi non sono ancora riuscito a trovare un risultato migliore di quelli già segnalati, operando invece su 3 numeri primi ho trovato questo risultato notevole:

$\large\frac{821^{\small5}}{653^{\small5}}\normal=3,141592\small7008$

In attesa di ulteriori sviluppi, complice il caldo che induce in frivolezze, rilancio con il seguente:

Esprimere $\pi$ preciso alla quinta cifra decimale come rapporto di due numeri palindromi.
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