Divisione di un segmento

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Alex
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Divisione di un segmento

Messaggio da Alex »

Ciao a tutti,
è da lungo tempo che non partecipo al forum e anche in futuro avrò poco tempo per seguire le discussioni del forum.
Colgo quindi l'occasione per salutarvi e proporvi un simpatico problema che avevo proposto tempo fa a Tino in un messaggio privato, ma senza mai ricevere la soluzione.
Tranquilli, non è difficile (sono riuscito a risolverlo perfino io); l'unica difficoltà è quella di riuscire ad intuire il giusto approccio per affrontare il problema.
Finisco con le premesse e vi espongo il problema:

Divisione di un segmento

Su un segmento viene scelto casualmente un punto (con distribuzione casuale uniforme).
Successivamente, sul segmento vengono scelti altri (n-1) punti;
considerato che:
1) la scelta di ogni punto è indipendente dalla scelta degli altri punti,
2) ogni scelta ha distribuzione casuale uniforme sul segmento,

¿Qual'è la probabilità che il primo punto si trovi all'interno del più lungo tra gli "n" intervalli in cui risulta diviso il segmento dagli altri (n-1) punti?

(n è un qualsiasi numero intero positivo)

delfo52
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Messaggio da delfo52 »

alcune considerazioni; auspicabilmente propedeutiche, forse banali,...magari sbagliate.
Se la scelta dei punti non è influenzata dai punti scelti precdentemente, la cosa vale anche per il primo punto. E' più comodo pertanto, immaginare il problema, invertendo i tempi: prima mettiamo gli (n-1) punti a caso, poi "spariamo" quello che Alex ha messo per primo.
Ipotesi estreme:
A- tutti i sub-segmenti sono uguali; pertanto tutti sono "il più lungo"; pertanto la probabilità è 100%
B-tutti i punti si raggruppano alle due estremità, delimitando un solo segmentone; probabilità 100%
dato che la probabilità che avvenga A o B è infinitamente piccola, la cosa non ci interessa.
Quello che bisogna calcolare è l'intervallo più lungo in una situazione "media".
Il problema ricorda per certi aspetti, uno analogo che postai tempo fa, avendo notato "anomale" distribuzioni dei nuemri del super-enalotto: mi chiedevo, dati 5 (o sei) numeri estratti a caso fra 1 e 90, quale era la distanza massima che ci si poteva attendere "in media", e quando si poteva parlare di estrazione "strana".
Enrico

panurgo
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Messaggio da panurgo »

Sono moralmente convinto che la probabilità che l'ennesimo punto (o il primo, che è lo stesso) cada nel range degli altri $n - 1$ sia $P = \frac {n - 2}{n}$ ma non lo so dimostrare :evil:
il panurgo

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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

piccolo esperimento quasi serio.
Semplifico e schematizzo in modo esagerato le condizioni sperimentali.
Abbiamo ora un segmento di lunghezza 4, su cui spariamo il primo punto; per motivi che so solo io e che non vi dico (=per semplicità) tale punto può cadere (a caso) solo in quttro punti predefiniti ed equidistanti : 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5
"perchè non : 1; 2 ; 3 ; ?"
perchè mi mpiace di più nell'altro modo, che mi sembra più "casuale" (!?)
Orbene, andiamo aventi con l'esperimento.
La probabilità che il primo punto caschi in ognuno dei quattro punti di cui sopra, è 1/4
Se ora lanciamo il secondo punto, questa volta con licenza di cadere su tutta la lunghezza del segmento , la probabilità che caschi sulla parte più lunga, sarà uguale a
(7/32)+(5/32)+(5/32)+(7/32) = 24/32

E' interessante notare che se avessimo scelto di lasciar cadere il primo punto solo in 1,2 o 3 il conto sarebbe stato complicato dalla presenza di una divisione in due parti uguali in un terzo degli esperimenti; se ci dessimo la regola che, a parità, si considera più lungo il segmento più a destra, il risultato sarebbe 2/3

Questi due risultati sono troppo belli per essere casuali...
Enrico

panurgo
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Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:Sono moralmente convinto che la probabilità che l'ennesimo punto (o il primo, che è lo stesso) cada nel range degli altri $n - 1$ sia $P = \frac {n - 2}{n}$ ma non lo so dimostrare :evil:
Il quesito posto da Alex può essere riformulato in questo modo (preferisco $n + 1$ valori per un motivo che sarà chiaro in seguito): "è dato un campione di $n$ valori indipendenti e identicamente distribuiti (i.i.d.) campionati da una distribuzione uniforme tra $0$ e $1$. Qual è la probabilità che un ulteriore valore campionato dalla stessa distribuzione cada nel range dei precedenti $n$ valori?"

Le informazioni di cui disponiamo sono

$I \equiv {\rm sono dati }n{\rm valori i}{\rm .i}{\rm .d}{\rm . campionati da una distribuzione uniforme tra 0 e 1}$

formuliamo tre ipotesi: una sul range dei valori campionati

$R \equiv {\rm il range degli }n{\rm valori vale }r$

e due, alternative sull'appartenenza di un nuovo valore a tale range

$A \equiv {\rm il valore i}{\rm .i}{\rm .d}{\rm . }\left( {n + 1} \right){\rm-esimo campionato dalla medesima distribuzione appartiene a }r \\ \overline A \equiv {\rm il valore i}{\rm .i}{\rm .d}{\rm . }\left( {n + 1} \right){\rm-esimo campionato dalla medesima distribuzione non appartiene a }r$

Poiché le ipotesi $A$ e $\overline A$ sono complementari, si ha che

$\displaystyle P\left( {A|I} \right) + P\left( {\overline A |I} \right) = 1$

Consideriamo il primo termine. Dato che non comprende esplicitamente ipotesi e parametri su r la probabilità deve essere una probabilità marginale

$\displaystyle P\left( {A|I} \right) = \int {dr\,P\left( {A\,R|I} \right)}$

Applicando la regola del prodotto

$\displaystyle P\left( {A\,R|I} \right) = P\left( {R|I} \right)P\left( {A|R\,I} \right)$

si ottiene

$\displaystyle P\left( {A|I} \right) = \int {dr\,P\left( {R|I} \right)P\left( {A|R\,I} \right)}$

ma

$\displaystyle P\left( {A|R\,I} \right) = r$

poiché tutti i valori tra $0$ e $1$ sono equiprobabili e quindi la probabilità di appartenere a $r$ dipende solo dall'ampiezza di $r$ stesso e non dalla sua posizione all'interno del segmento $\left[ {0;1} \right]$ mentre

$\displaystyle P\left( {R|I} \right) = p\left( {r|I} \right)$

non è altro che la distribuzione di campionamento di $r$ quindi

$\displaystyle P\left( {A|I} \right) = \int {dr\,r\,p\left( {r|I} \right) = \left\langle {r | I} \right\rangle }$

La probabilità dell'ipotesi $A$ è quindi pari al valore atteso (expectation) del range. Naturalmente, per l'ipotesi complementare si dimostra che

$\displaystyle P\left( {\overline A |I} \right) = 1 - P\left( {A|I} \right) = 1 - \left\langle {r | I} \right\rangle$

Il problema è spostato quindi a quello di stabilire il valore atteso del range di $n$ valori i.i.d. campionati da una distribuzione uniforme tra $0$ e $1$.

Il valore atteso di $r$ dipende da $n$: infatti, la frequenza dei valori estremi è pari a quella dei valori medi e, per la legge dei grandi numeri, possiamo attenderci che, al crescere di $n$ insiemi di dati senza valori estremi siano sempre meno probabili; nel limite di $n \to \infty$ il range varrà $1$.

Nel caso di $n = 2$, il range è semplicemente

$\displaystyle r = \left| \delta \right| = \left| {x_1 - x_2 } \right|$

La differenza di due valori campionati da una distribuzione uniforme ha una distribuzione triangolare. Supponiamo di lanciare due dadi, uno rosso e uno blu, e di sottrarre il valore del dado rosso da quello del dado blu: otteniamo la seguente tabella

$\displaystyle \begin{array}{ccccccc} {} & | & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & | & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & | & { - 1} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & | & { - 2} & { - 1} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & | & { - 3} & { - 2} & { - 1} & 0 & 1 & 2 \\ 5 & | & { - 4} & { - 3} & { - 2} & { - 1} & 0 & 1 \\ 6 & | & { - 5} & { - 4} & { - 3} & { - 2} & { - 1} & 0 \\ \end{array}$

L'analogo per una distribuzione uniforme è

$\displaystyle p\left( {\delta |\,I} \right) = \left\{ \begin{array}{cc} \delta + 1 & \forall \delta \in \left[ { - 1;0} \right] \\ 1 - \delta & \forall \delta \in \left[ {0;1} \right] \\ 0 & \forall \delta \notin \left[ {-1;1} \right] \\ \end{array} \right.$

E' facile vedere che, per il range

$\displaystyle p\left( {r|\,I} \right) = \left\{ \begin{array}{cc} 2\left(1 - r\right) & \forall r \in \left[ {0;1} \right] \\ 0 & \forall r \notin \left[ {0;1} \right] \\ \end{array} \right.$

e il valore atteso vale

$\displaystyle \left\langle {r | I} \right\rangle = 2\int_0^1 {dr\,r\left( {1 - r} \right) = \left[ {r^2 - \frac{2}{3}r^3 } \right]_0^1 = \frac{1}{3}}$

A questo punto ho deciso di fare un po' di simulazioni ed ecco un risultato

Immagine

La prima curva, in nero, è la distribuzione triangolare che avevamo ricavato prima; le altre curve sono delle distribuzioni Beta.

Sovrapponiamo le opportune distribuzioni Beta in figura

Immagine

Come si vede, l'accordo è pressoché perfetto.

La distribuzione Beta è una distribuzione con due parametri

$\displaystyle Beta\left( {a,b} \right) = \left\{ {\begin{array}{cc} {\frac{{\Gamma \left( {a + b} \right)}}{{\Gamma \left( a \right)\Gamma \left( b \right)}}x^{a - 1} \left( {1 - x} \right)^{b - 1} } \hfill & {\forall x \in \left[ {0;1} \right]} \hfill \\ 0 \hfill & {\forall x \notin \left[ {0;1} \right]} \hfill \\ \end{array}} \right.$

Le distribuzioni che ci interessano sono le $Beta\left( {n - 1,2} \right)$ cioè, tenendo conto che $\Gamma \left( n \right) = \left( {n - 1} \right)!\quad \forall n \in N$

$\displaystyle Beta\left( {n - 1,2} \right) = \left\{ {\begin{array}{cc} {n\left( {n - 1} \right)r^{n - 2} \left( {1 - r} \right)} \hfill & {\forall r \in \left[ {0;1} \right]} \hfill \\ 0 \hfill & {\forall r \notin \left[ {0;1} \right]} \hfill \\ \end{array}} \right.$

Il valore atteso di questa distribuzione vale

$\displaystyle \left\langle {r | I} \right\rangle = n\left( {n - 1} \right)\int_0^1 {dr\,r^{n - 1} \left( {1 - r} \right)} = n\left( {n - 1} \right)\left[ {\frac{{r^n }}{n} - \frac{{r^{n + 1} }}{{n + 1}}} \right]_0^1 = n\left( {n - 1} \right)\frac{{n + 1 - n}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}}$

e quindi

$\displaystyle P\left( {A|I} \right) = \frac{{n - 1}}{{n + 1}}$

ovvero, facendo la sostituzione $n \leftarrow n - 1$,

$\displaystyle P\left( {A|I} \right) = \frac{{n - 2}}{n}$

Ricapitolando, so che la probabilità cercata è il valore atteso del range, so che il range è distribuito secondo una $Beta\left( {n - 1,2} \right)$, ma (come Mimì)... perchè, non so! :evil:
il panurgo

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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Oh ragazzi, qui andiamo sul difficile e fuori dalla mia portata, ma vorrei comunque avanzare alcune considerazioni, così se ne avete voglia potete evidenziare tutte le c.... che dico.

Fra gli n intervalli ce n'è uno più grande, ma potrebbero esservene anche più di uno: direi intuitivamente che al crescere di n aumenta la probabilità di ottenerne più di uno e che per n tendente all'infinito tutti gli intervalli tendono ad essere uguali.
Poniamo che per un n relativamente piccolo uno solo sia l'intervallo più grande: direi che la probabilità affinché un punto scelto a caso vada a cadere all'interno di esso, posti k la lunghezza del segmento intero ed x la lunghezza dell'intervallo più grande, debba essere $\frac {x}{k}$: come dire, se fosse possibile dirlo, il rapporto fra il numero di punti contenuti nell'intervallo più grande ed il numero di punti contenuti nell'intero segmento.
Se n è abbastanza grande, possiamo assumere che l'intervallo più grande sia ampio all'incirca quanto gli altri e cioè $\frac {k}{n}$: quindi in questo caso la probabilità sarebbe $\frac {k}{n}: k = \frac {1}{n}$.

Per n=2, il primo punto può cadere da qualsiasi parte e se cade vicino alla metà, la probabilità che il secondo punto cada nell'intervallo più grande è vicina al 50%, mentre se il primo punto cade vicino ad un estremo, la probabilità si avvicina al 100%; quindi tutte le probabilità fra 50% e 100% sono da considerare valide: sembrerebbe però secondo questo ragionamento che la collocazione di ogni punto sia dipendente dalla collocazione del punto precedente, contrariamente all'ipotesi, e dunque se così non deve essere, allora il secondo punto deve cadere indifferentemente nel primo o nel secondo intervallo, con una probabilità quindi di $\frac {1}{2}$.
Allora, se n=3, per la stessa ragione la probabilità deve essere di $\frac {1}{3}$ .......!!!!!
Sempre $\frac {1}{n}$ ? Boh!

Ad ogni buon fine, sempre in via approssimativa ed ai fini di una simulazione, si potrebbe assumere l'intero segmento come costituito da un numero discreto di punti equidistanti, sufficientemente grande rispetto ad n...cosa che al momento non ho il tempo di fare.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

panurgo
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Messaggio da panurgo »

panurgo ha scritto:Il quesito posto da Alex può essere riformulato in questo modo: "è dato un campione di $n$ valori indipendenti e identicamente distribuiti (i.i.d.) campionati da una distribuzione uniforme tra $0$ e $1$. Qual è la probabilità che un ulteriore valore campionato dalla stessa distribuzione cada nel range dei precedenti $n$ valori?"
Gente, non so che dire: o che non sono più capace di leggere, o che sono sotto stress oppure boh... :oops:

Chiedo venia, fate finta che io abbia scritto: "Non c' azzecca 'ppe' ggnente con quello che chiede Alex ma mi è venuta in mente 'sta roba e mi sembra carina, quindi ve la dico!" :roll:
il panurgo

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panurgo
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Messaggio da panurgo »

Al contrario di quello che credevo di aver risolto, il quesito vero e proprio non mi pare per nulla semplice: per esempio, si assume che tutti gli intervalli siano diversi o che almeno il maggiore sia strettamente maggiore? Questo è ragionaevole per n piccolo ma, al crescere di n, diventa meno sostenibile. Nel limite di $n \rightarrow \infty$ tutti gli intervalli diventano uguali e la probabilità di cadere nel maggiore diviene pari a 1.
Per $n = 2$, $p = \frac 3 4$, per $n = 3$, $p = \frac {11} {18}$...
il panurgo

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Messaggio da delfo52 »

qualcosa di embrionalmente simile a quanto dice Panurgo, avevo cercato di esprimere un po' più su.
Come sempre quando dei punti devono cadere a caso (o degli spaghetti si devono rompere) la definizione pratica di casualità complica assai le cose.
propongo a chi ha dimestichezza con la programmazione di simulare un migliaio di estrazioni di n numeri tra 1 e 99 (con n uguale a 2-5-10-20) e di estrarre per ogni simulazione il valore intervallare massimo tra due estratti (minimo/massimo/medio)
Così avremo la risposta al quesito
poi troveremo il perchè e il percome
(potrete mai perdonarmi l'approccio bruto e brutale ?)
Enrico

panurgo
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Messaggio da panurgo »

Già fatto: appena avrò un minuto metterò i dati e i diagrammi a disposizione :wink:
il panurgo

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Alex
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Messaggio da Alex »

D'accordo il quesito non è semplice, ma non è nemmeno troppo difficile.
I risultati trovati da Panurgo per i casi n=2 e n=3 sono esatti e già questi risultati permettono uniti al caso n=1 di immaginare la soluzione.
Qual'è la serie che comincia con: 1, 3/4, 11/18, ... ?



Per Delfo52:

mi interessa il tuo problema sul super-enalotto,
a me viene distanza massima "media" = 41 numeri con 5 estrazioni
e distanza massima "media" = 37 numeri con 6 estrazioni
non so cosa intendi con estrazione "strana".

Quali erano stati i risultati della discussione sul super-enalotto da te proposta?
Assomigliano ai risultati che ho trovato io?

Grazie

Alex

delfo52
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Messaggio da delfo52 »

non ricordo i particolari, in sincerità, ma la sostanza era questa:
Avevo notato come in una data sestina vincente ci fosse un "anomalo" affollamento dei numeri (tipo: 22;25;30;32;40;44) e mi chiedevo, coinvolgendo il forum, in base a quali criteri si potesse definire anomala una tale serie.
la mia proposta era di misurare le distanze tra i termini (considerandoli disposti in circolo, con l'uno che segue il novanta) e di prendere in considerazione l'intervallo maggiore in ogni sestina. Va da sè che l'intervallo medio non può cambiare e che l'esistenza di intervalli corti, o cortissimi è, entro certi limiti, fisiologica.
Ragionando in modo previo, cioè senza fare calcoli nè simulazioni, facevo delle proposte/supposizioni (o supposte/proposizioni), del tipo che ritenevo molto improbabile una sestina in cui la distanza fosse costantemente 15, e parimenti una in cui tutti gli estratti fossero concentrati in 6 posizioni consecutive. con un intervallo massimo di 84.
Mi spingevo a sostenere rarissime e perciò "anomale" anche i casi in cui la massima distanza fosse di poco maggiore (fino a 20?) o al contrario abnormemente lunga (oltre 70?).
A questo punto non restavano che tre strade di ricerca:
1)analisi teorica
2)ricognizione storica
3)simulazione al PC
per giungere a stabilire, sulla gaussiana risultante (e se non sarà una gaussiana sulla cugina della gaussiana), i limiti dei due percentili minimo e massimo (o altro parametro a scelta), con licenza di chiamare anomale le sestine "eccezionali"
Enrico

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Messaggio da 0-§ »

Gente,scusate le stupidaggini ma invero stento a seguirvi.
Donc,il quesito,se ho capito bene,chiede:
Siano dati N valori $a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_N$ distribuiti casualmente all'interno di un range [B,C].Chiamiamo $D_0,D_1,D_2,D_3,...,D_{N+1}$ i sotto-range(mamma che brutto termine,come si potrei esprimermi meglio?) compresi rispettivamente tra B e $a_0$,tra $a_0$ e $a_1$,tra $a_1$ e $a_2$,...,tra $a_N$ e C.Qual'é la probabilità,in funzione di N, che un nuovo valore,posto casualmente all'interno del range,sia interno al più lungo dei detti sotto-range?
In questa versione "statistica",quella preferita a quanto pare,il quesito mi sembra molto più intrigante,ma non meno difficile.Potreste essere così gentili da spiegarmi esattamente perché,con N=1,la probabilità é di un terzo?E con N=2 di undici diciottesimi?
Scusate ancora ma é davvero una domanda tosta.
Ciao!
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Alex
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Messaggio da Alex »

panurgo ha scritto:Già fatto: appena avrò un minuto metterò i dati e i diagrammi a disposizione :wink:
:D
Spero che Panurgo trovi presto il tempo di mettere dati e diagrammi a disposizione;
anche perché (ribadisco il fatto che il quesito non è tanto difficile quanto sembra)
con dati e diagrammi sono certo che arriverete rapidamente alla soluzione.

Alex

CID

Messaggio da CID »

Il problema "Numeri di serie" mi è piaciuto assai, mi ha fatto venir voglia di ritornare su questo forum;
(benché in questo mese la matematica ricreativa mi aveva già coinvolto con tanti altri problemi:
... con katane laser che sezionano ipercubi di Rubik, con l'analisi di un gioco del poker (non d'azzardo) e di un gioco del Lasca raffigurato in una situazione impossibile)
... per cui ora a fine mese torno a fare visita a questo Forum deciso ad inserirvi un altro mio intervento.

Ritengo che la soluzione del problema "Divisione di un segmento" sia la seguente:

-------------------SOLUZIONE------------------

La probabilità che il primo punto si trovi all'interno del più lungo tra gli "n" intervalli
in cui risulta diviso il segmento dagli altri (n-1) punti vale:

valor medio della somma dei primi "n" termini della serie armonica


-------------------DIMOSTRAZIONE------------------

La probabilità cercata equivale alla probabilità che un punto scelto a caso si trovi all'interno del più lungo tra gli "n" intervalli.
Ciò equivale a cercare la probabilità che un intervallo scelto a caso sia il più lungo.
Infine, ciò equivale a cercare il valor medio della probabilità che un intervallo sia più lungo di tutti i precedenti intervalli.
Probabilità che il primo intervallo sia il più lungo tra i primi 1 intervalli = 1
Probabilità che il secondo intervallo sia il più lungo tra i primi 2 intervalli = 1/2
Probabilità che il terzo intervallo sia il più lungo tra i primi 3 intervalli = 1/3
...
...
Probabilità che l'intervallo n-esimo sia il più lungo tra i primi n intervalli = 1/n

Valor medio della probabilità = (1/n)*(1+1/2+1/3+...+1/n)

C.V.D.

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