Avevo dimenticato questo:
per n intero positivo, $s_n = (n+13)(n+77)$ e $t_n = n(n+91)$; $S = s_1 + s_2 + .... + s_{2002}$ e $T = t_1 + t_2 + .... + t_{2002}$.
Dire e dimostrare se è più grande S o T.
Confronto
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Re: Confronto
Sviluppo $\text t_n ed s_n :$
$t_n = n^2 + 91n$
$s_n = n^2 + 90n + 1001$
sottraggo:
$t_n - s_n = n - 1001$
Quindi sviluppo T - S e calcolo $t_n - s_n$ per tutti gli n da 1 a 2002:
1 - 1001 = -1000
2 - 1001 = -999
.
.
.
1000 - 1001 = -1
1001 - 1001 = 0
1002 - 1001 = 1
1003 - 1001 = 2
.
.
.
2001 - 1001 = 1000
la somma di tutti i precedenti valori è zero e resta da calcolare soltanto:
2002 - 1001 = 1
Da cui si deduce che T è maggiore di S di una unità.
$t_n = n^2 + 91n$
$s_n = n^2 + 90n + 1001$
sottraggo:
$t_n - s_n = n - 1001$
Quindi sviluppo T - S e calcolo $t_n - s_n$ per tutti gli n da 1 a 2002:
1 - 1001 = -1000
2 - 1001 = -999
.
.
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1000 - 1001 = -1
1001 - 1001 = 0
1002 - 1001 = 1
1003 - 1001 = 2
.
.
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2001 - 1001 = 1000
la somma di tutti i precedenti valori è zero e resta da calcolare soltanto:
2002 - 1001 = 1
Da cui si deduce che T è maggiore di S di una unità.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Confronto
Siano $K_1=1+2+.....+n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}$, $K_{2}=1^{2}+2^{2}+.....+n^{2}=\frac{n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)}{6}$, $S_{n}=s_{1} +s_{2}+.....+s_{n}$,$T_{n}=t_{1} +t_{2}+.....+t_{n}$.
Da $s_{n}=n^{2}+90n+1001$ si ricava $S_{n}=K_{2}+90K_{1}+1001=\frac{2n^{3}+273n^{2}+271n+6006}{6}$, da $t_{n}=n^{2}+91n$ si ricava $T_{n}=K_{2}+91K_{1}=\frac{n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n+137\right)}{3}$.
Ne risulta $T_{n}-S_{n}=\frac{n^{2}+n-2002}{2}$ quindi $T_{n}-S_{n}>0$ per $n>\frac{\sqrt{8009}-2}{2}$ cioè $n\geq45$.
In particolare essendo 2002>45 risulta $T_{2002}>S_{2002}$ . Risulta inoltre $T_{2002}-S_{2002}=2004002$ (palindromo).
Da $s_{n}=n^{2}+90n+1001$ si ricava $S_{n}=K_{2}+90K_{1}+1001=\frac{2n^{3}+273n^{2}+271n+6006}{6}$, da $t_{n}=n^{2}+91n$ si ricava $T_{n}=K_{2}+91K_{1}=\frac{n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n+137\right)}{3}$.
Ne risulta $T_{n}-S_{n}=\frac{n^{2}+n-2002}{2}$ quindi $T_{n}-S_{n}>0$ per $n>\frac{\sqrt{8009}-2}{2}$ cioè $n\geq45$.
In particolare essendo 2002>45 risulta $T_{2002}>S_{2002}$ . Risulta inoltre $T_{2002}-S_{2002}=2004002$ (palindromo).
Vittorio
Re: Confronto
Mi pare che ci sia un errore nei calcoli di Vittorio.Dovrebbe essere:
$\large S_n=K_2+90K_1+1001\cdot n$
Pertanto segue che :
$\large T_n-S_n=\frac{n}{2}\cdot (n-2001)$
Risulta allora $T_n\geq S_n$ per $n\geq 2001$
In particolare si ha:
$T_{2002}=S_{2002}+1001$
che sarebbe poi il risultato suggerito da Pasquale se anche lui non avesse scritto che 2002-1001=1 ...
Questi numeri 2002 e 1001 non sembrano proprio numeri portafortuna !
$\large S_n=K_2+90K_1+1001\cdot n$
Pertanto segue che :
$\large T_n-S_n=\frac{n}{2}\cdot (n-2001)$
Risulta allora $T_n\geq S_n$ per $n\geq 2001$
In particolare si ha:
$T_{2002}=S_{2002}+1001$
che sarebbe poi il risultato suggerito da Pasquale se anche lui non avesse scritto che 2002-1001=1 ...
Questi numeri 2002 e 1001 non sembrano proprio numeri portafortuna !
Re: Confronto
Scusate il lapsus (meglio, l'errore).
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Confronto
L'errore è molto più grave, quasi imperdonabile.
Il fatto è che manca un $K_0=1+1+....+1=n$. A quel punto la correzione di Karl è esatta: lo ringrazio e mi scuso con tutti.
Il fatto è che manca un $K_0=1+1+....+1=n$. A quel punto la correzione di Karl è esatta: lo ringrazio e mi scuso con tutti.
Vittorio