I 5 punti

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

David
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I 5 punti

Messaggio da David »

Si dispongano 5 punti all'interno (è compreso pure il perimetro) di un rettangolo 2x1, in maniera tale che fra i punti più vicini la distanza sia massima.

esempio: se si mettono 4 punti sui vertici e uno al centro del rettangolo, i punti più vicini sono distanti 1.
Sarà possibile aumentare tale distanza minima?

delfo52
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Re: I 5 punti

Messaggio da delfo52 »

se disponiamo le biglie a "M" con tre palle sul bordo "in basso" e due sul bordo "in alto" equamente intervallate, la distanza tra le due file (tre sotto e due sopra) è maggiore di 1-
ma è 1 la distanza della biglia in basso in mezzo dalle due agli estremi.
Basta alzare "un poco" la biglia a metà bordo inferiore per allungare tale distanza.
Eventualmente si possono spostare le due biglie superiori verso gli angoli.
Esercizio: disegnare l'area entro cui può stare la biglia che possiamo chiamare "centrale".
Enrico

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Re: I 5 punti

Messaggio da Info »

Ho ragionato pensando ogni volta di aggiungere una biglia.....

con 2 biglie chiaramente le metto sui vertici di una diagonale
D=(1^2+2^2)=5

con 3 biglie le metto una nel vertice inferiore destro, una nel superiore sinistro e una sul lato alto a circa 1.38 dal vertice con la biglia

D=(1^2+0.62^2) circa 1.38 come il resto del lato

aggiungendone un'altra si disporranno a trapezio, con 2 nei vertici inferiori, e i vertici superiori distanziati da circa 1.17 con distanza dai lati di circa 0.415 (2-1.17)/2

D=(1^2+0.415^2) circa 1.17 come la base superiore del trapezio

aggiungendo una quinta pallina quasi certamente andra`a disporsi ad m dove le biglie sul lato superiore del rettangolo vanno ad allargarsi riducendo le distanze e il vertice della m si alzera` dal lato inferiore del rettangolo fino a minimizzare le distanze.....

il problema rimane: come minimizzare le distanze in una m?

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Re: I 5 punti

Messaggio da Info »

La soluzione e`pensare di posizionare 3 punti in un quadrato 1*1 in modo da avere un triangolo equilatero, per i 5 punti basta posizionare i due rimanenti simmetricamente rispetto ai primi nel secondo quadrato

d=1.0717

quindi un punto e`sul vertice in basso a destra, gli altri due sul perimetro del quadrato, uno sul lato alto a circa 0.2678 da sinistra, uno sul lato a destra del quadrato (il centro del rettangolo) a circa 0.2680 dal basso

in questo modo si ha (1+0.2680^2) circa uguale a (1+0.2678^2) circa uguale a ((1-0.2678)^2+(1-0.2680)^2)

Gianfranco
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Re: I 5 punti

Messaggio da Gianfranco »

Ciao a tutti,
non ho nulla da aggiungere alla soluzione di Info, già iniziata da Delfo52.
Però, visto che ci avevo lavorato un po' su, allego il disegno.

Il cerchio rosso ha raggio = 1
I cerchi blu hanno raggio = $\sqrt {(2-\sqrt{3})^2+1} = 1.035...$ e tale raggio è la distanza minima fra una qualunque coppia fra i punti A, B, C, D, E.
ABC è un triangolo equilatero inscritto nel quadrato.
Info ha scritto:d=1.0717
Credo che manchi una radice quadrata...


Ciao
Gianfranco
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Re: I 5 punti

Messaggio da Info »

Gianfranco ha scritto:Credo che manchi una radice quadrata...
Ciao
Gianfranco
Ehm..... non ne ho scritta neanche una.... rileggero`i messaggi prima di postarli....

David
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Re: I 5 punti

Messaggio da David »

Bene, i ragionamenti seguenti il filo della logica portano alla soluzione corretta, ovviamente con l'aumento del numero dei punti le cose si fanno via via più complicate, ad esempio se il numero dei punti sale a 7, di primo acchito la soluzione con disposizione a doppio quadrato come nel disegno sembrerebbe ottimale, ma ovviamente bisognerà ponderare altre vie che possono elargire risultati migliori.

Nella figura la separazione massima dei punti più vicini (linee rosse) vale circa 0.707, ma non è la migliore, come si può giungere ad un risultato più efficiente?
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delfo52
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Re: I 5 punti

Messaggio da delfo52 »

la mia soluzione istintiva vede due palle sulla sponda di sinistra, a circa 12/100 della lunghezza del lato partendo dalle due buche.
altre due biglie sulle sponde inferiore e superiore a distanza di 76/100 dalle prime due. Significa, a occhio 75/100 di lato(corto) dalla buca.
Partendo da queste due si tracciano le due diagonali verso le buche negli angoli opposti, la quinta biglia va sull'intersezione, la sesta e la settima alle buche.
la distanza precisa delle prime due palle va calcolata con più precisione-

aggiungo: dato 10 il valore del lato corto del biliardo, la distanza è minore di 8, ma maggiore di 7,83.
SE&O
Enrico

Pasquale
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Re: I 5 punti

Messaggio da Pasquale »

Concordo con Delfo:

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Gianfranco
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Re: I 5 punti

Messaggio da Gianfranco »

Complimenti all'oracolo di "Delfo" e a Pasquale.

Io ho provato a far risolvere il problema al computer con una Darwin Machine cioè un algoritmo che genera soluzioni casuali e lascia sopravvivere soltanto quella migliore.
Se, col passare del tempo, le soluzioni migliori si avvicinano a una qualche struttura, allora i campi di scelta delle variabili casuali possono essere via via ridotti.
Ho letto della Darwin Machine anni fa soltanto nel sito di Livio Zucca, che ora non è più in rete (credo).

In questo caso, è molto facile implementare una Darwin Machine: basta far estrarre 7 punti a caso nel rettangolo di lati 2 e 1.

Nelle immagini allegate, vedete l'evoluzione della soluzione in 3 fasi successive.
Il miglior risultato ottenuto è 0,77.
Come si vede, la struttura tende alla soluzione data da Pasquale.

Una Darwin Machine consuma molta energia. Infatti bisogna farla lavorare indisturbata per ore o anche per giorni interi.
Il risultato, comunque, si può raccogliere in qualunque momento: lo troverete nello stadio evolutivo a cui è giunto in quel preciso istante.

Purtroppo, i normali linguaggi di programmazione hanno un gravissimo difetto: i numeri casuali che generano non sono veramente casuali e per di più la loro sequenza si ripete periodicamente, con un ciclo più o meno lungo, che dipende dal generatore.
Perciò è del tutto inutile far funzionare una Darwin Machine per un numero di estrazioni maggiore di tale ciclo.

Ciao
Gianfranco Bo
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Gianfranco

Pasquale
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Re: I 5 punti

Messaggio da Pasquale »

Ciao Gianfranco, bello e divertente l'approccio con sistemazione casuale (o pseudo) dei punti.
Il fatto che l'algoritmo si sia avvicinato parecchio ad un risultato migliore è una cosa notevole ed interessante.
Certamente, nel caso specifico, anche se il programma, una volta trovata una soluzione migliore della migliore precedente, non ripropone più le soluzioni peggiori, penso che però casualmente ci ricaschi sopra e quindi perda tempo, come hai d'altra parte evidenziato.
Considerata poi l'infinità delle posizioni, può facilmente accadere che il programma non trovi mai la giusta dislocazione dei 7 punti, come è accaduto.
Ad ogni modo, vedo che la migliore soluzione trovata dall'algoritmo è geometricamente identica alla mia, o di Delfo se preferiamo, ribaltando la destra con la sinistra.
Tuttavia, esaminando la soluzione, si potrebbe migliorare ad occhio il risultato, portanto il punto C in 0; voglio cioè dire che le limitazioni da te descritte non è detto che debbano sconsigliare l'utilizzazione dell'approccio informatico, se la soluzione trovata può essere oggetto di ulteriore approfondimento.
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delfo52
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Re: I 5 punti

Messaggio da delfo52 »

che ne dite di provare con una "macchina magnetica" ?
basterebbe costruire sette bilie magnetiche con la stessa carica e mollarle sul panno verde....
Se il rotolamento costituisce un problema, ci può tentare con un biliardo ghiacciato e sette dischi da hockey...
Premetto (anzi post-metto) che la mia ignoranza in materia di elettromagnetismo è colossale, per cui non mi stupirei di aver detto una emerita....
Enrico

Gianfranco
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Re: I 5 punti

Messaggio da Gianfranco »

Per Pasquale
- sì, il programma può ricascare su una soluzione peggiore, anzi è quello che fa nella maggior parte dei casi;
- sì, il programma si avvicina alla soluzione migliore ma è assai improbabile che la raggiunga;
- per di più, se la raggiunge, non sa di averla raggiunta;
- la Macchina di Darwin dà un'idea della soluzione, ma è necessario l'intervento umano e proprio qui sta il bello;

Per Enrico
- forse intendi sette bilie caricate elettricamente con la stessa carica, quindi si respingono tutte con la stessa forza (a parità di distanza);


Per curiosità, ho applicato la Macchina di Darwin al caso di 8 punti e ho trovato la seguente struttura.
d minima = 0.6937...
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Gianfranco

Pasquale
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Re: I 5 punti

Messaggio da Pasquale »

Ritornando al precedente caso, con un semplice programmino di calcolo di cui vi faccio grazia, applicato alla stessa disposizione geometrica, si trova che il valore cercato tende a 0,78829.
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Pasquale
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Re: I 5 punti

Messaggio da Pasquale »

A riguardo degli 8 punti, studiando il risultato della Darwin Machine, si trova anche un risultato di 7 (considerando un rettangolo di 10x20).

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