Stabile qual è la più grande fra due potenze con base diversa, senza fare uso della calcolatrice , non
sempre è facile.
Ad esempio il confronto tra:
$2^{\frac{1}{5}}$ e $3^{\frac{3}{7}}$
non presenta difficoltà . Infatti:
2<3 ; ${\frac{1}{5}}$<${\frac{3}{7}}$
quindi il primo termine è minore: $2^{\frac{1}{5}}$ < $3^{\frac{3}{7}}$

Però se scambiamo gli esponenti alle due potenze il confronto diventa più difficile:
Tra $2^{\frac{3}{7}}$ e $3^{\frac{1}{5}}$ chi è più grande?

Eseguo mentalmente alcune operazioni che non richiedono l'uso della calcolatrice perché semplicissime:
riduco gli esponenti a frazioni aventi per denominatore
il m.c.m.(5,7 =35) e quindi le potenze da confrontare sono:
$2^{\frac{15}{35}}$ e $3^{\frac{7}{35}}$.
in pratica occorre confrontare:
$2^{15}$ e $3^{7}$.
Questo è un confronto piuttosto semplice, grazie al fatto che:
$2^{15}$<$2^{14}$=$4^7$>$3^7$ .
quindi: $2^{\frac{3}{7}}$ > $3^{\frac{1}{5}}$
E quando le cose non sono semplici come ci si regola?
Ad esempio fra
a) $2^{15}$ e $3^9$
b)$5^8$ e $6^7$
come si stabilisce qual è più grande senza usare la calcolatrice?

Gironzolando (e curiosando...) mi sono imbattuto in alcuni quesiti veramente intriganti.

(1) stabilire per quali valori interi positivi di N risulta $99^{N}+100^{N}$> e $101^N$
(2) stabilire il più grande fra $100^{300}$ e $300!$
(3) stabilire il più grande fra $1.000001^{1000000}$ e 2
(4) stabilire il più' grande fra $1000^{1000}$ e $1001^{999}$
Grazie.

Peppe, dove le vai a cercare? E' una parola! Non vedo come fare senza strumenti.
Ad ogni modo, con riferimento al quesito n.4, non mi servirò di una calcolatrice, come richiesto, ma di un foglio di carta, una penna ed una tavola logaritmica ( vedi qui ).

Ipotizzo che sia:

$\text 1000^{1000} < 1001^{999}$

se è vero, è vero anche che:

$\text Log 1000^{1000} < Log 1001^{999}$ (Log = logaritmo in base 10)

$\text 1000Log 1000 < 999Log 1001$

$\text \frac {1000}{999} < \frac{Log 1001}{Log 1000}$

Dalla tavola logaritmica apprendiamo che $Log 1001 = 3,00043$, mentre sappiamo che $Log 1000 = 3$; quindi, utilizzando carta e penna, andiamo a verificare se:

1,001... < 1,0001...

NO, è maggiore e quindi:

$\text 1000^{1000} > 1001^{999}$

^^^^^^^^^^^^^^^^
In modo similare, avremmo potuto scrivere:


1000^1000 > 1001^999

1000*1000^999 > 1001^999

1000 > (1001/1000)^999

1000 > 1,001^999

Log 1000 > 999Log 1,001

e usando le tavole:

3 > 0,433…

è vero

Per quanto riguarda il problema principale esposto da peppe, prendendo carta e penna mi pare che esso sia riconducibile per vie traverse al problema che riporto qui sotto.

Determinare il polinomio generico P(a,b,n-1) tale che sia un fattore della scomposizione

a^n +b^n in (a + b)* P(a,b,n-1) con a, b, n generici e n intero positivo.

Non so se tale problema sia risolvibile, quello che so è che:

• Al momento la sua soluzione generale è al di sopra delle mie capacità (inoltre per alcuni valori di n può non esserci soluzione, almeno in R... Con tutto ciò che ne consegue)
  l'eventuale sua soluzione dovrebbe contenere la risposta al problema di peppe anche per i casi non banali da lui citati

Vorrei poter essere d'aiuto maggiore, ma ammesso e non concesso che la mia ipotesi sia corretta, devo studiare ancora troppa matematica per esserne in grado.

Pur oberato dagli impegni, visito ancora il forum.
Al volo: uso la disuguaglianza di Bernoulli, $(1 + x)^r > 1 + rx$, per $r \geq 2$ e $x \geq -1, x\neq 0$
Per la 3: $\displaystyle 1.000001^{1000000}=(1+10^{-6})^{10^6}>1+10^6*10^{-6}=2$
Per la 4, più in generale: $\displaystyle \frac{a^a}{(a+1)^{a-1}}=\left(\frac{a}{a+1}\right)^{a-1} \cdot a=\left(1+\frac{1}{a}\right)^{1-a} \cdot a \geq \left(1+\frac{1-a}{a}\right) \cdot a=1$ e dunque $a^a>(a+1)^{a-1$
Buonanotte,
GM

Ringrazio Pasquale,Fabtor e 0§ per l'attenzione.
Pasquale, ai logaritmi ci avevo pensato,ma data la natura dei quesiti,non è possibile utilizzare neppure la relativa tavola.

La soluzione di Giovanni è veramente elegante,e mi sa tanto che nelle intenzioni di chi ha elaborato
i quesiti è proprio questo il metodo da usare,perché non richiede l'uso di alcun strumento.
Giovanni ha utilizzato la disuguaglianza di Bernoulli...previa ricerca del binomio adeguato.
La vera difficoltà,secondo me,consiste proprio nella ricerca del binomio.

Io ad esempio,anche se ho verificato che è vera,non sarei mai riuscito a trovare questa uguaglianza:
$\left(\frac{a}{a+1}\right)^{a-1} \cdot a=\left(1+\frac{1}{a}\right)^{1-a} \cdot a \$

In fondo si tratta di semplice algebra,probabilmente ci sarà qualche metodo banale da usare,tuttavia io
trovo difficoltà a capire come ci si arrivi.Se qualcuno meno impegnato di Giovamni me lo spiega mi fa una
grossa cortesia.Ancora grazie.Saluti peppe

Si Peppe, hai ragione: anch'io mi ero complimentato con Zeroinf, ma non trovo il mio intervento; si vede che l'avevo scritto e invece doi dare l'invio, avevo spento il p.c.

In particolare avevo detto che anch'io ci avevo provato, senza riuscirci, partendo dalla sua relazione finale.

peppe ha scritto: b)$5^8$ e $6^7$
come si stabilisce qual è più grande senza usare la calcolatrice?

Ma la formula di 0inf (bernulli)vale anche per la domanda iniziale? e soprattutto, se sì come?

Io sono convinto che non è possibile stabilire,senza l'aiuto di strumenti di calcolo,chi delle due potenze
è più grande.
Il quesito del confronto delle due potenze con esponente frazionario,faceva parte di una serie di
domande (TEST) di un pre-corso di matematica.
Quindi è stato possibile proporre di cercare la soluzione senza fare uso della calcolatrice perché, a
priori,chi ha elaborato la domanda sapeva già che le due potenze erano scomponibili in altre due
di facile e inequivocabile confronto.
Mi spiego con l'esempio già citato nel primo intervento:

Questo è un confronto piuttosto semplice, grazie al fatto che:
$2^{15}$<$2^{14}$=$4^7$>$3^7$ .
quindi: $2^{\frac{3}{7}}$ > $3^{\frac{1}{5}}$

Chi ha scritto il TEST sapeva già che $2^{\frac{3}{7}}$ era scomponibile in $2^{15}$ e
$3^{\frac{1}{5}}$ in $3^7$.
La difficoltà (o bravura) consiste solo nell'avere l'intuito che a sua volta $2^{15}$ è più grande di $2^{14}$
ma,soprattutto, che $2^{14}$ = $4^7$.
A questo punto diventa un gioco da ragazzini,stabilire che $4^7$>$3^7$. Può darsi che mi sbagli ma penso che le cose stiano così.

La diseguaglianza di Bernoulli citata da 0§ mi ha fatto ricordare che si dimostra ricorrendo al principio di induzione.
Una dimostrazione chiara si trova qui.
Mentre a questo indirizzo si trova una dispenza in formato .PDF con altre dimostrazioni.In particolare suggerisco quella relativa alla divisione
del piano con rette parallele:per la sua bellezza e chiarezza meriterebbe di essere esposta in una "vetrina matematica".

Ma non è della divisione del piano che intendo parlare.Nella suddetta dispensa ci sono altre due dimostrazioni abbastanza
chiare,fra di loro collegate:

1) per ogni n>2 , n^2 > 2n+1

2) per ogni n>4 , 2^n > n^2

La 2) può essere utilizzata per stabilire un confronto immediato fra alcune categorie di potenze:
quelle con base 2 ed esponente n e quelle con base n ed esponente 2. Infatti si ha:

2^0 > 0^2 perché 1>0
2^1 > 1^2 perché 2>1
2^2 = 2^2 perché 4=4
2^3 < 3^2 perché 8<9
2^4 = 4^2 perché 16=16

Da questo punto in poi si avrà,(come è facile verificare anche mentalmente) sempre:

2^5 > 5^2 perché 32>25
2^6 > 6^2 perché 64>36
2^7 > 7^2 perché 128>49
E anche quando i calcoli richiedono l'uso della calcolatrice,si può stabilire che:

2^99 > 99^2
2^999 > 999^2
E ora una di quelle domande che piacciono a Pasquale:
Chi è più grande: $e^{\pi}$ oppure $\pi^{e}$?
--
PS:
questa uguaglianza pi^(e)= e^(e*log(pi)) è vera?

Ho scritto:

...Io ad esempio,anche se ho verificato che è vera,non sarei mai riuscito a trovare questa uguaglianza:
$\left(\frac{a}{a+1}\right)^{a-1} \cdot a=\left(1+\frac{1}{a}\right)^{1-a} \cdot a \$...

Forse ci sono ed è veramente banale.
(1-a) si ottiene da -(a-1). In pratica si considera la stessa potenza ma con esponente negativo.
Ciò significa considerare il reciproco della base.Infatti da a^(-n)=(1/a)^n.
Nel caso in esame:
$\left(\frac{a}{a+1}\right)^{a-1}=\left(\frac{a+1}{a}\right)^{-(a-1)}=\left(\frac{a+1}{a}\right)^{1-a}=\left(1+\frac{1}{a}\right)^{1-a}$

Certe volte mi "annego" in mezzo bicchiere d'acqua!
---
Per farmi perdonare:
Dimostrare (per approssimazioni successive) senza l’uso della calcolatrice e con le sole operazioni di potenza e radice che
$\pi^{e}$<24 Ciao.

peppe ha scritto:Ho scritto:

...Io ad esempio,anche se ho verificato che è vera,non sarei mai riuscito a trovare questa uguaglianza:
$\left(\frac{a}{a+1}\right)^{a-1} \cdot a=\left(1+\frac{1}{a}\right)^{1-a} \cdot a \$...

Forse ci sono ed è veramente banale.
(1-a) si ottiene da -(a-1). In pratica si considera la stessa potenza ma con esponente negativo.
Ciò significa considerare il reciproco della base.Infatti da a^(-n)=(1/a)^n.
Nel caso in esame:
$\left(\frac{a}{a+1}\right)^{a-1}=\left(\frac{a+1}{a}\right)^{-(a-1)}=\left(\frac{a+1}{a}\right)^{1-a}=\left(1+\frac{1}{a}\right)^{1-a}$

Certe volte mi "annego" in mezzo bicchiere d'acqua!
---
Per farmi perdonare:
Dimostrare (per approssimazioni successive) senza l’uso della calcolatrice e con le sole operazioni di potenza e radice che
$\pi^{e}$<24 Ciao.

Non valgono le tavole logaritmiche, vero?

Ciao a tutti,

E quando le cose non sono semplici come ci si regola?
Ad esempio fra
a) $2^{15}$e $3^9$
b) $5^8$ e $6^7$
come si stabilisce qual è più grande senza usare la calcolatrice?

a)
$2^5>3^3$

$(2^5)^3>(3^3)^3$

b)
$5^8 =625*625>360000$

$6^7 = 216*216*6<360000$

$5^8>6^7$

Ciao
Gianfranco

Ciao a tutti,

(2) stabilire il più grande fra $100^{300}$ e $300!$

Usando l'approssimazione di Stirling (http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling):

$300!\approx\sqrt{2 \cdot 3.14 \cdot 300}\cdot\left (\frac{300}{e}\right )^{300}>40\cdot100^{300}>100^{300}$

Gianfranco

Ringrazio tutti per le risposte che trovo molto interessanti .
Rileggendo mi sono accorto che è rimasto in sospeso questo quesito:

Dimostrare (per approssimazioni successive) senza l’uso della calcolatrice e con le sole operazioni di potenza e radice che $\pi^e<24$

Siccome $e=2,718...$, $\pi=3,14...$ allora, arrotondando per eccesso ,$e=2,72$, $\pi=3,15$, avremo che
$\pi^e$ diventa minore di $(3,15)^{2,72}$

$\pi^e<(3,15)^{2,72}$

arrotondo 2,72 a 2,75 per eccesso:
$\pi^e<(3,15)^{2,75}$


siccome $2,75=2+\frac{3}{4}$

allora $(3,15)^{2,75}$ diventa $(3,15)^2(3,15)^{\frac{3}{4}}$ e quindi:

$\pi^e<(3,15)^2(3,15)^{\frac{3}{4}}$ ossia:

$\pi^e<(3,15)^2(\sqr[4]{(3,15)^3})$

$\pi^e<(9,92)*(\sqr[4]{31,2})$

Con un ulteriore arrotondamente per eccesso (da 9,92 a 10 e da 31,2 a 32),avremo:
$\pi^e<10*(\sqr[4]{(32)})$

$\pi^e<10*(\sqr[4]{2^5})$

$\pi^e<10*(\sqr[4]{2^4.2})$

$\pi^e<10.2.(\sqr[4]{2})$

$\pi^e<20.(\sqr{\sqr{2}})$

siccome $\sqr{2}=1,41...$ arrotondando per eccesso diventa $\sqr{2}=1,42$ quindi:

$\pi^e<20.\sqr{1,42}$ e a maggior ragione arrotondanto sempre per eccesso 1,42 a 1,44:

$\pi^e<20.\sqr{1,44}$
siccome $\sqr{144}=12$ sarà:$\sqr{1,44}=1,2$ quindi:

$\pi^e<20*(1,2)$

$\pi^e<24$ c.v.d.
---
Questo quesito è stato discusso nella:
lezione-2007-01.swf 04-Oct-2007 10:11 13M
che si trova qui

Peppe, grazie per l'esposizione e la segnalazione.
Mi piace perché usa soltanto matematica elementare e si capisce al volo.
Tenendo condo che:
$\pi^e = 22.459...$
è una buona approssimazione.
Chissà che non si possa trovare anche un'approssimazione per difetto.


Buona Festa dei Lavoratori!

Ciao
Gianfranco.