Ho ripreso in mano unvecchio testo di geometria per le scuole superiori e come al solito ho lasciato correre un po' la fantasia.
Quanto segue sono i risultati.
Tuttavia prima di "partire in tromba" con quanto la mia "fantasia malata" ha "partorito", giusto per facilitare le cose, riporto alcune definizioni e nozioni di base che sono propedeutiche alla risoluzione del "neonato".
Spero che la cosa possa interessarvi.
1 - Alcune definizioni propedeutiche al problema
Dato un Triangolo:
- Si definisce Ortocentro (O) il punto d'intersezione delle sue tre altezze.
Si definisce Incentro (I) il punto d'intersezione delle bisettrici dei suoi tre angoli interni.
Si definisce Baricentro (Ba) il punto d'intersezione delle sue tre mediane.
2 - Alcune nozioni propedeutiche al problema
- In un triangolo scaleno i tre centri giacciono su una e una sola circonferenza definendola
In un triangolo isoscele i tre centri giacciono su una stessa retta
In un triangolo equilatero i tre centri sono coincidenti
Dati:
Dato un triangolo scaleno ABC i tre centri O,I e Ba costituiscono a loro volta i vertici di un triangolo.
Domande:
- Questo triangolo rispetto ai suoi lati è sempre scaleno?
In caso contrario come devono essere in rapporto i lati del triangolo ABC affinchè OIBa sia rispetto ai suoi lati Isoscele?
E se si vuole che OIba sia Equilatero?
Se si considera come base dei triangoli il lato minore del triangolo scaleno ABC e il lato diverso di quello Isoscele OIBa (ammesso che sia tale) che angolo formano le rette che contengono le due basi?
E se il triangolo OIBa è equilatero (ammesso che sia possibile) quanto misura l'angolo minimo formato dalle rette su cui giaciono la base di ABC e l'opportunamente scelta base di OIba?
P.S. "A spanne" e con "l'aiuto grafico" io direi che l'eventuale triangolo che ha per vertici i tre centri sia sempre scaleno come quello ABC che di fatto lo genera*, ma non riesco a formalizzare analiticamente il tutto.
*Con questo non voglio dire che siano triangoli simili, ma solo che sono due scaleni.