scelte di marinai

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ronfo
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scelte di marinai

Messaggio da ronfo »

Dopo averne sentito molto parlare ho acquistato il libro "l'uomo che sapeva contare" di Malba Tahan. E' stata per me una lettura gradevole e non troppo impegnativa ... però ho notato che in alcuni problemi si parte dalla soluzione ... un caso particolare è quello del capitolo 19 "scelte di marinai "... nel quale si racconta di tre marinai che ricevettero, come ricompensa per aver salvato un veliero , una cassetta contenente un numero di monete compreso tra 200 e 300.
Durante la notte , uno dei tre marinai si svegliò e per non dover discutere con i suoi compagni si recò nella cassetta , divise le monete in tre parti ne prese una ma rimase una moneta e pensò" meglio gettarla in mare se no finirà che litigheremo per una stupida moneta ... poi mise le due restanti parti di monete nella cassetta e tornò a dormire ;
poco dopo si svegliò anche il secondo marinaio e fece la stessa cosa del primo : divise le monete restanti in tre parti ne prese una e siccome avanzava una moneta la gettò in mare mise le due parti restanti nella cassetta...
La stessa cosa fece il terzo marinaio divise quel che restava delle monete in tre parti ne prese una e anch'egli si trovò con una moneta in più che getto in mare e mise il gruzzolo di monetre restanti nella cassetta. Quando arrivarono al porto un funzionario incaricato divise quel che restava delle monete in tre parti e ne diede una ciascuna ai tre marinai avanzò una monete che si tenne come ricompensa per la spartizione eseguita.!!!
La domanda del problema è quante monete c'erano all'inizio nella cassetta e quante ne ricevette ciascun marinaio.
Nella storia "l'uomo che contava " da la seguente risposta "... il numero di monete tra 200 e 300 doveva essere 241 infatti
primo marinaio
241:3 = 80 monete col resto di 1
nella cassetta restano 241- 81 =160 monete
secondo marinaio
160:3 = 53 monete col resto di 1
nella cassetta restano 160- 54 = 106 monete
terzo marinaio
106:3 = 35 monete col resto 1
nella cassetta restano 106-36= 70 monete
infine il funzionario
70: 3 = 23 monete col resto di 1 moneta come suo compenso
quindi al primo marinaio vanno (80+23) 103 monete al secondo(53+23) 76 al terzo(35+23) 58 più tre in mare e una al funzionario per un totale di 241 monete...
ma come dico qui si è partiti dal risultato ...
Un problema analogo devo averlo letto su qualche articolo del grande Martin Gardner ( che come ho appreso da questo sito purtroppo è scomparso) ma riguardava dei naufraghi ( 5) e delle noci di cocco.
Non mi dilungo oltre come si risolve il problema non conoscendo a priori la soluzione ?

fabtor
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Re: scelte di marinai

Messaggio da fabtor »

Premetto che questa è solo la prima idea che mi è venuta in mente e la soluzione l'ho ottenuta con l'ausilio di excel utilizzando quello che normalmente chiamo "il metodo della scimmia" e che ci sono sicuramente dei sistemi molto più sintetici ed eleganti per giungere alla soluzione del problema (su alcuni dei quali ci sto ancora lavorando) che altri sapranno raggiungere prima e meglio di me. (Non ho tantissimo tempo ultimamente, non sono poi così bravo, e questa è solo la soluzione più rapida che mi è venuta in mente per non darti una risposta in tempi geologici ;)).

Per farla breve, io ho creato una tabella 101 x 5 dove sulla prima colonna ho messo i possibili valori della quota iniziale
(da 200 a 300) che in seguito saranno riportati come Cx.

Nella seconda colonna (Dx) ho messo la seguente formula =SE(RESTO(Cx;3)=1;INT(Cx/3)*2;"no")
Nella Terza colonna (Ex) ho messo la seguente formula: =SE(Dx<>"no";(SE(RESTO(Dx;3)=1;INT(Dx/3)*2;"no"));"no")
Le due colonne sucessive sono analoghe alla terza.

Di fatto così facendo ho creato un crivello che ad ogni passaggio "faceva passare" solo i valori (opportunamente aggiornati) che nella divisione per 3 avevano resto 1 così all'ultima colonna ho ottenuto un'unica soluzione numerica proprio in corrispondenza di Cx = 241. (Va da se che è fondamentale per l'unicità della soluzione, l'intervallo dato).

Spero di riuscire a postare di meglio ;)
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...

Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

Pasquale
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Re: scelte di marinai

Messaggio da Pasquale »

Il risultato sarebbe stato lo stesso anche se fosse stato indicato un range fra 161 e 321:

FOR m=161 TO 321
LET w=(m-1)/3
IF w=INT(w) THEN
LET x=(2*w-1)/3
IF x=INT(x) THEN
LET y=(2*x-1)/3
IF y=INT(y) THEN
LET z=(2*y-1)/3
IF z=INT(z) THEN PRINT m
END IF
END IF
END IF
NEXT M
END


Il bello è che la media aritmetica fra 161 e 321 è proprio 241

Se il range fosse stato fra 242 e 402, il risultato sarebbe stato 322, anch'esso media fra 242 e 402
Nel range 323/483, abbiamo risultato e media 403.

La cosa continua così all'infinito: i range comprendono 161 numeri, compresi gli estremi, e sono della grandezza massima possibile, affinché comprendano un solo numero con le caratteristiche descritte; il numero cercato in ogni range è la media degli estremi; la distanza fra l'estremo inferiore di un range e quello del range successivo e di 81 e così dicasi fra gli estremi superiori e naturalmente fra le medie.
In sostanza i numeri che consentono il gioco descritto hanno fra loro distanza 81.

Se indichiamo con w,x,y,z le quote distribuite in successione ai marinai con le operazioni descritte nel testo e le indichiamo in funzione del numero cercato m=monete iniziali, troviamo che:

w=(m-1)/3
x=(2w-1)/3 = (2m-5)/9
y=(2x-1)/3 = (4m-19)/27
z=(2y-1)/3 = (8m-65)/81

Si perviene quindi nell'ultimo passaggio ad un'operazione modulo 81, che spiega la distanza 81 di cui sopra.
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infinito
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Re: scelte di marinai

Messaggio da infinito »

Io, anche se non mi piace troppo (è solo “calcolo”) farei come spiego sotto.

Come in altri giochini analoghi, partirei dalla fine, cioè dal valore “a” dall'esito dell'ultima divisione (quella del funzionario).
Chiaramente prima di tale divisione il “malloppo” era b=3a+1.

E prima di tale divisione era c = 3/2·b+1 = 3/2·(3a+1)+1 ;
infatti il terzo marinaio ha trovato un malloppo c, ne ha tirato via una moneta e lo ha diviso per 3, poi ne ha tolto (cioè “preso”) una parte e ne ha lasciato disponibili 2/3, che è il malloppo b;
cioè 2/3·(c-1)=b, da cui (c-1)=3/2·b ed infine c=3/2·b+1 , che è l'uguaglianza sopra.

Analogamente ancora prima il secondo marinaio aveva trovato un malloppo d che era d=3/2·c+1 cioè d = 3/2·(3/2·(3a+1)+1)+1 .

Analogamente il primo marinaio aveva trovato la somma iniziale (il cui valore numerico era) S tale che S=3/2·d+1 cioè
S = 3/2·(3/2·(3/2·(3a+1)+1)+1)+1

ora è un banale calcolo:

S = (81a+27+18+12+8)/8 = (81+65)/8 = 10a +8 +(a+1)/8

S è un numero naturale, quindi i valori di a sono tali che (a+1) sia un multiplo di 8, perciò, poiché anche a è un numero naturale, a è un elemento di
A={7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, …, 8·n-1, 8·n-1+8, …}
e poiché l'espressione trovata sopra per S ( S = 10a +8 +(a+1)/8 ) è crescente, basta cercare per quali elementi a' appartenenti A l'espressione 10a' +8 +(a+1)/8 è compresa nell'intervallo richiesto, cioè fra 200 e 300.

Sempre calcolando si vede che
...
15 → 10·15 +8 +(15+1)/8 = 160 troppo piccolo
23 → 10·23 +8 +(23+1)/8 = 241 buono
31 → 10·31 +8 +(31+1)/8 = 322 troppo grande



Dai valori “possibili” per a (non considerando l'intervallo) si vede che le somme “possibili” formano una progressione geometrica di ragione 81, per cui si capisce anche il perché di ciò di cui parlava Pasquale (a proposito: ciao Paqua', finite le ferie, eh? Ora si torna a fare il pensionato in tempo di lavoro!!), cioè che la media fra i valori limite per gli estremi dell'intervallo è sempre il valore cercato.



L'ho fatta lunga (parlo della spiegazione, che cosa avete capito!!?) perché mi sono dilungato a dimostrare “tutto”.
Penso che molto probabilmente l'autore dava per ovvio che il valore S cresceva al crescere del valore a della somma calcolata dal funzionario, per cui bastava iniziare a fare i calcoli con S=200, poi S=201, e poi via via per tutti i numeri naturali fino a 300, accettando solo quelli buoni.
In questo senso la verifica numerica (partendo dal risultato) ha un senso, anche se non dimostra che il valore trovato è unico.

Saluti, ecc.
Gaspero

Pasquale
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Re: scelte di marinai

Messaggio da Pasquale »

Eh, eh, Gaspero, ciao, ciao: purtroppo le ferie non me le da più nessuno e mi tocca sempre lavorare, distribuendo le mie attenzioni ora ad una Musa, ora all'altra.
Adesso il mio motto per giovare alla salute è : "Cantare, suonare, ballare, fischiare, non correre per prendere il treno, tanto arriva in ritardo, tapparsi le orecchie quando la moglie strilla, abbassare il colesterlo, la glicemia, l'azotemia, le transaminasi, la pressione, ecc., ecc.; alzare il tono muscolare e quant'altro alzabile, rimescolare i neuroni, avviare una coltura di cellule staminali per future necessità";
via sigarette, sigari e pipe, calare peso, bere acqua, te verde, tisane vario tipo, latte e frullati, inebriarsi di BASE CINQUE.
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infinito
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Re: scelte di marinai

Messaggio da infinito »

Pasquale ha scritto:...
via sigarette, sigari e pipe, calare peso, bere acqua, te verde, tisane vario tipo, latte e frullati, inebriarsi di BASE CINQUE.
Mi fa venire in mente una barzelletta (sì, lo so: sono in totale OT, ma mi pare non ci si faccia molto caso, e la barzelletta è carina, anche se un pochettino "spinta"):




Un vecchietto (come Pasquale?) ascolta le prescrizioni del suo dottore: «Allora, vista la situazione, deve dire addio alle sigarette e all'alcool (sì, anche al mezzo bicchiere di vino al giorno); poi deve rinunciare ai grassi animali e limitare gli zuccheri, quindi niente fritti, ma anche affettati, burro e dolci vari, e ovviamente birra e bibite varie, ...»
Al che il vecchietto gli risponde: «Ma a donne posso andarci?»
Il dottore rimane un po' perplesso e gli risponde: «Beh, sì, se ne è in grado sì. Ma perché, alla sua età va ancora a donne?»
E il vecchietto: «Veramente sono tanti anni che non ci pensavo nemmeno più ..., ma se mi toglie tutto quello che mi ha detto sopra non mi rimane altro che provare a ricominciare!»
Gaspero

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