Una successione ripetibile

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

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David
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Una successione ripetibile

Messaggio da David »

Paolone telefona a Luigino:

"Ciao Luigino devi assolutamente aiutarmi,oggi Renatino mi ha propinato uno dei suoi soliti enigmi matematici che mi spaccano la testa e abbiamo scommesso come sempre un gelato.Se riuscirò a risolverlo entro stasera allora domani mi pagherà un gelato altrimenti dovrò offrirglielo io a lui.
Siccome ultimamente ho dovuto sganciare un sacco di euro in gelati per onorare queste scommesse, oggi vorrei vincere io e allora ti domando gentilmente una mano, senti un pò si tratta di ottenere una sequenza di numeri naturali che si ripete indefinitamente, la sequenza, prendi nota è questa:

2,3,1,5,4,0,2,7,1,1,4,4

dobbiamo quindi trovare una funzione f(n) tale che restituisca per ogni numero naturale succesisivo a partire da n=0 i valori che to ho esposto, avremo allora:

f(0)=2 ; f(1)=3 ; f(2)=1 e così via fino a f(11)=4 per poi ripetersi con f(12)=2 ; f(13)=3 eccetera.

Luigino sorride e afferma: " non ti preoccupare Paolone lo so io come quel furbastro di Renatino trova queste serie ripetute!"

Determinare una possibile funzione f(n) scritta da Luigino che generi:

2,3,1,5,4,0,2,7,1,1,4,4,2,3,1,5,4,0,2,7,1,1,4,4,2,3,1,5,4,0,2,7,1,1,4,4,2,3,1,5,4,0,2,7,1,1,4,4......

Pasquale
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da Pasquale »

Non è roba per me, ma penso che una somma di funzioni circolari opportunamente sfasate, possa raggiungere lo scopo.
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E' la somma che fa il totale (Totò)

fabtor
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da fabtor »

Pasquale ha scritto:Non è roba per me, ma penso che una somma di funzioni circolari opportunamente sfasate, possa raggiungere lo scopo.
é la prima cosa che era venuta in mente anche a me, "ma non sarebbe da David", e poi verrebbe tutto troppo complicato... Secondo me la soluzione va ricercata dando una interpretazione differente alla serie data... ma per ora è ancora buio totale.
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...

Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

David
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da David »

Una piccola lanterna nelle tenebre....

3[n (mod 5)]+[n+3 (mod 5)] -> 3,7,6,10,14,3,7,6,10,14....

( Un esempio a caso)

La via trigonometrica sarebbe un pò più ostica (ma poi non troppo)

bye David

Bruno
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da Bruno »

Sono di corsa, però mi è venuta un'idea veloce veloce
e ovviamente senza pretese :D

$f(n)\,=\,\lfloor \frac {256984\cdot 10^{n+1}}{1109889}\rfloor-\lfloor \frac {256984\cdot 10^n}{1109889}\rfloor\cdot 10\;\; (n \ge 0).$

La genesi di questa funzione si può comprendere (penso)
senza difficoltà.

Naturalmente, lo sappiamo bene, la questione si può
affrontare in molti altri modi, come giustamente lascia
intendere David.



Piesse per Fabtor.
Partecipo a questo forum da parecchi anni, anche se
non sempre in maniera continuativa, tu (come David)
sei arrivato da poco. Secondo me qui non vengono di
solito posti quesiti banali o quesiti che possano o no
essere considerati "da David" o "da Enrico" o "da Carlo"
etc., inoltre devo dirti che ciascuno di noi si è sempre
dedicato alle questioni affrontandole alla propria
maniera e a volte pure inventandole alla propria maniera
(non per questo imponendo la personale impronta alla
risoluzione) :wink:
Quando ho visto la sequenza di David, per esempio,
ho visto semplicemente una sequenza numerica per la
quale si chiedeva una funzione capace di riprodurla,
perché penso che David possa proporre problemi di
questo tipo, prevedendo anche idee come quella
abbozzata da Pasquale, e avrei cercato comunque di
prendere una via non complicata o piena di calcoli e
di scoprire un'eventuale scorciatoia, anche se a
sottoporci quella fila di numeri fosse stato qualcun
altro.
Le questioni banali, forse, non esistono. Di fatto,
a me è capitato spesso di divertirmi trattando problemi
a volte già noti nella loro formulazione, ma ricorrendo
magari a metodi che non erano altrettanto usuali o
scolastici oppure di routine, anche nel déjà vu si può
nascondere qualche novità.
Davanti a un problema, normalmente, non mi chiedo
se la mia idea sarà banale o meno, se sarà migliore
o peggiore di quelle degli altri (come ha scritto David
in un altro post, qui non si gareggia per la palma di
miglior matematico - io certamente non lo sono e non
corro questo rischio :mrgreen: ), penso invece a divertirmi e
a imparare qualcosa, perché credo che il vero
divertimento permetta sempre di imparare qualcosa :D
Dunque, buon divertimento anche a te :wink:

Piesse per David. Grazie per le tue narrazioni matematiche :wink:
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

fabtor
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da fabtor »

Bruno ha scritto:


Piesse per Fabtor.
Partecipo a questo forum da parecchi anni, anche se
non sempre in maniera continuativa, tu (come David)
sei arrivato da poco. Secondo me qui non vengono di
solito posti quesiti banali o quesiti che possano o no
essere considerati "da David" o "da Enrico" o "da Carlo"
etc., inoltre devo dirti che ciascuno di noi si è sempre
dedicato alle questioni affrontandole alla propria
maniera e a volte pure inventandole alla propria maniera
(non per questo imponendo la personale impronta alla
risoluzione) :wink:
Quando ho visto la sequenza di David, per esempio,
ho visto semplicemente una sequenza numerica per la
quale si chiedeva una funzione capace di riprodurla,
perché penso che David possa proporre problemi di
questo tipo, prevedendo anche idee come quella
abbozzata da Pasquale, e avrei cercato comunque di
prendere una via non complicata o piena di calcoli e
di scoprire un'eventuale scorciatoia, anche se a
sottoporci quella fila di numeri fosse stato qualcun
altro.
Le questioni banali, forse, non esistono. Di fatto,
a me è capitato spesso di divertirmi trattando problemi
a volte già noti nella loro formulazione, ma ricorrendo
magari a metodi che non erano altrettanto usuali o
scolastici oppure di routine, anche nel déjà vu si può
nascondere qualche novità.
Davanti a un problema, normalmente, non mi chiedo
se la mia idea sarà banale o meno, se sarà migliore
o peggiore di quelle degli altri (come ha scritto David
in un altro post, qui non si gareggia per la palma di
miglior matematico - io certamente non lo sono e non
corro questo rischio :mrgreen: ), penso invece a divertirmi e
a imparare qualcosa, perché credo che il vero
divertimento permetta sempre di imparare qualcosa :D
Dunque, buon divertimento anche a te :wink:
Guarda che il mio commento voleva essere un complimento per David, non un attacco a lui o a Pasquale (con il quale è capitato di sentirci anche in pm).

Mi spiego: da quando sono arrivato, senza nulla togliere agli altri, ho trovato i problemi proposti da David particolarmente piacevoli e stimolanti poichè mai banali e che per risolverli più che una totale conoscenza del mondo matematico occorre far funzionare le celluline grige (e purtroppo le mie sono alquanto arruginite e necessitano di molta ginnastica).
Per questo la via trigonometrica, che anche io avevo inizialmente ipotizzato e poi scartato, non mi convince: mi pare implichi una maggiore laboriosità di calcolo che va a discapito di quell'eleganza che normalmente ho riscontrato in quanto proposto da David, tutto qui.

Ciao ;)
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Bruno
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da Bruno »

Caro Fabtor, è indiscutibile che tu non volessi attaccare
nessuno e penso che nessuno abbia mai avuto questo
sospetto :wink:

Il nostro forum è un mondo pieno di quesiti stimolanti, a
cui ogni partecipante ha dato i suoi contributi meritevoli,
al di là di concetti come banalità o eleganza che spesso
restano nei paraggi dei gusti personali.

Comunque, l'importante è divertirsi :D


Piesse. Ah ah... non sono tanto abituato a scrivere su
Base5 delle considerazioni personali, ma adesso che mi
hai anche duplicato con una "citazione" mi sembro quasi
logorroico :mrgreen:
(Bruno)

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Pasquale
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da Pasquale »

Vabbè! La buonanima di Mike avrebbe detto: "Allegria!"

Ebbravo Bruno (come al solito)! Elementare Watson; potremmo quindi tradurre anche così:

f(n) = $\text INT \{ \[\frac{231540271144}{999999999999}\cdot 10^n - INT\(\frac{231540271144}{999999999999}\cdot 10^n \)\] \cdot 10 \}$

(scusate, ho avuto qualche problema con le parentesi)
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Bruno
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:Vabbè! La buonanima di Mike avrebbe detto: "Allegria!"
:mrgreen:



Mi è venuta un'altra idea, se ho tempo la
metto a punto e la riporto :wink:
(Bruno)

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fabtor
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da fabtor »

Io invece mi sto scervellando sulla soluzione modulare... ma per il momento ho ottenuto tante di quelle assurdità da fare quasi un programma politico... :mrgreen:
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...

Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
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fabtor
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da fabtor »

Pasquale ha scritto:Vabbè! La buonanima di Mike avrebbe detto: "Allegria!"

Ebbravo Bruno (come al solito)! Elementare Watson; potremmo quindi tradurre anche così:

f(n) = $\text INT \{ \[\frac{231540271144}{999999999999}\cdot 10^n - INT\(\frac{231540271144}{999999999999}\cdot 10^n \)\] \cdot 10 \}$

(scusate, ho avuto qualche problema con le parentesi)
Io sono giunto a questa formula che anche se non ho verificato credo possa essere un'altra possibile traduzione di quelle riportate da Bruno e Pasquale precedentemente:

f(n) $\equiv\text INT \[\frac{231540271144}{999999999999}\cdot 10^{n+1}\](mod 10) con n\in N$

Tuttavia voglio sottoporvi un quesito che mi lascia un po' perplesso riguardo questo tipo di soluzioni:

Se prendiamo la congruenza $y \equiv (x^2 +1)(mod 3)$ con $x\in N$

si ottengono i seguenti valori in tabella:

x : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...

y: 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1...

(vabbè non riesco ad incolonnarle ma credo che sia cmq chiaro)

Però applicando il sistema che ho utilizzato io partendo da solo i dati in tabella (cioè nell'ipotesi che non si abbia la congruenza di partenza) si ricava la seguente congruenza:
$z\equiv\text INT \[\frac{122}{999}\cdot 10^{x+1}\](mod 10) con x\in N$

Ora la mie domande sono le seguenti (premetto che magari sono domande stupide le cui risposte agli esperti sono arcinote):

Anche se le due formule danno lo stesso risultato solo pe $x\in N$ esiste un metodo per passare da z a y e viceversa?

E se si a quali condizioni?

Se le due formule dessero le stesse soluzioni anche con $x\in R$ le cose sarebbero più semplici?
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da Bruno »

Bravo, Fabtor, così hai combinato mod e floor :wink:

Riguardo alla tua perplessità, in maniera
piuttosto sommaria, tenuto conto che
l'esponente di $\,10\,$ e il valore $\,x\,$ differiscono
di $\,1\,$, penso che nell'ambito dei numeri
naturali non sia difficile passare da una
scrittura all'altra:

$\lfloor\frac{256984\cdot 10^{x+1}}{1109889}\rfloor \; \pmod {10} \;\Rightarrow\; \{{\lfloor 0,\overline {122}\cdot 10^{\tiny 3k+1}\rfloor\; \equiv \; 1\; \pmod {10} \\ \lfloor 0,\overline {122}\cdot 10^{\tiny 3k+2}\rfloor\; \equiv \; 2\; \pmod {10} \\ \lfloor 0,\overline {122}\cdot 10^{\tiny 3k+3}\rfloor\; \equiv \; 2\; \pmod {10} \\ \, \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ \,}$

$x^{\tiny2}+1 \; \pmod {3} \;\Rightarrow\; \{{ (3k)^2+1\,\,\;\;\;\equiv \,1 \; \pmod 3 \\ (3k+1)^2+1\,\equiv \,2 \; \pmod 3 \\ (3k+2)^2+1\,\equiv \,2 \; \pmod 3 \\ \, \\ \cdot \\ \cdot \\ \cdot \\ \,}$

In entrambi i casi i valori si ripetono ciclicamente
e in maniera reciprocamente ordinata.

Ma era poi questo ciò che intendevi dire? :roll:


Ora però devo andare... a presto (spero) :wink:
(Bruno)

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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da fabtor »

Mmmh, mi sembra di capire che il tuo sistema implichi la conoscenza di entrambe le scritture o sbaglio?
Io in realtà cercavo un modo di partire da una forma ed arrivare a trovare l'altra inizialmente del tutto ignota se non per i dati di tabella.
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Re: Una successione ripetibile

Messaggio da Bruno »

Sì, è così, non ti avevo capito.

Mah... vedo se mi viene in mente
qualcosa :roll:
(Bruno)

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