Radicali nidificati

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Luciano
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Radicali nidificati

Messaggio da Luciano »

Lo posto più che altro per provare la potenza di Tex (non Willer: quella è ultranota!).

Quanto vale questo radicale continuo?

$x = \sqr{\frac{1}{2^1}-\sqr{\frac{1}{2^3}-\sqr{\frac{1}{2^7}-...-\sqr{\frac{1}{2^{2^n-1}}-...}$

Comunque, già che ci siete, provateci (ehmmm, senza pc).

Ciao.

Tino
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Messaggio da Tino »

In base 2:

$x=\sqr{\frac{1}{10^{1}}-\sqr{\frac{1}{10^{11}}-\sqr{\frac{1}{10^{111}}-\sqr{\frac{1}{10^{1111}}-...}}$

quindi se raccolgo $\sqr{\frac{1}{10}}$, tolgo 1 all'esponente della prima radice, 10 all'esponente della seconda, 100 all'esponente della terza e così via:

$x=\sqr{\frac{1}{10}}\sqr{1-\sqr{\frac{1}{10^{1}}-\sqr{\frac{1}{10^{11}}-\sqr{\frac{1}{10^{111}}-...}}$

ovvero, simpaticamente:

$x=\sqr{\frac{1}{10}}\sqr{1-x}$

Tornando in base dieci:

$x=\sqr{\frac{1}{2}}\sqr{1-x}$

$2x^{2}=1-x$

$x=\frac{1}{2}, x=-1$

Poiché x è positivo, la soluzione è $x=\frac{1}{2}$

Non so se è giusto ma mi sono divertito troppo con questo Tex :)

Ciao ciao
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Luciano
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Messaggio da Luciano »

Risposta esatta!!!

Bravo Tino. Mi è piaciuto anche il modo con cui l'hai trovata.

Ciao.

Luciano
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Messaggio da Luciano »

Tino, visto che ti ci sei messo, puoi calcolare anche questo?

$x=\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+...}}$

Ciao.

Tino
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Messaggio da Tino »

Per quello che riesco a vedere io, il grado di difficoltà è analogo a quello del problema del coseno di 20, bisogna sempre risolvere una equazione polinomiale di terzo grado a prima vista inaccessibile:

$x^{3}-3x-1=0$

E al solito, con la formula di Cardano non si facilita il problema.

Mah... ci devo pensare

Ciao
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Pasquale
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Re:

Messaggio da Pasquale »

Luciano ha scritto:Tino, visto che ti ci sei messo, puoi calcolare anche questo?

$x=\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+...}}$

Ciao.
in riferimento all'equazione risolutiva indidicata da Tino a suo tempo:

x^3 -3x -1 = 0

utilizzando il risolutore di Base5, delle 3 radici reali possibili, quella che determina il risultato più preciso (16 zeri dopo la virgola prima di un decimale significativo) è: $x_3 = - 0.34729635533386066$

L'equazione risolutiva è stata ricavata con il seguente procedimento:

1) elevazione al cubo di ambedue i membri:

$x^3 = 1 +3\cdot\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+3\cdot\sqr[3]{1+...}}$

2) sostituzione della sequenza iniziale con l'incognita x:

$x^3 = 1 + 3x$

da cui:

$x^3 - 3x - 1 = 0$
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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