Allora, in questo caso vi proporrò un quesito che è già stato risolto, infatti la soluzione è nota, quello che vorrei invece sapere è come arrivarci a tale soluzione perchè è decisamente al disopra della mie capacità.

Allora ecco qua:

Uno schema di sudoku 9x9 (il classico) per essere univoco, cioè avere un'unica soluzione corretta, deve avere inseriti almeno 15 numeri fissi. Come dimostrarlo?

Qui di seguito invece aggiungo altre questioni collegate che mi sono venute in mente mentre scrivevo:

• 1) se al posto delllo schema classico si avesse uno schema nxn generico dove l'unico vincolo strutturale è che n =$x^{2}$ con x $\in$ all'insieme dei numeri naturali quanti dovrebbero essere come minimo i numeri fissi?
  
  2) in uno schema classico 9x9 se inserisco solo 14 numeri fissi quante varianti risolutive ci sono?
  
  3) e se ne inserisco solo k con k<15?
  
  4) in uno schema classico 9x9 quante combinazioni di quindici numeri fissi iniziali ci sono che mi portano allo stesso schema finale (chiamiamole pure combinazioni gemelle)?
  
  5) C'è un modo per pronosticarle tutte partendo però soltanto da una di queste combinazioni senza passare prima per la risoluzione dello schema?

Vi passo la palla... anzi il quadrato

Non sono mai riuscito ad appassionarmi al sudoku.
Mentre sono caduto, per un po', nelle maglie del kenken, che si presenta come il puzzle più "addictive", nel senso che genera dipendenza, come una droga.
POtete provare qui
http://kenken.com/" target="_blank

la griglia quadrata è divisa in pezzetti irregolari di forma e dimensioni variabili (la maggioranza di 3-6 quadretti, ma anche da 1 solo o più grandi). Per ogni settore è indicato un segno (+-:x)e un numero che è il totale che si ottiene applicando l'operazione ai numeri presenti nelle caselle.
In ogni riga e in ogni colonna, come nel sudoku, devono apparire tutte le cifre da 1 a n (n=lato del quadrato)
Col quadrato di ordine 4 è banale; col 5 si impiega meno di 2 minuti; per risolvere i quadrati di ordine 8 e 9 ocoorre un po' di tempo (tipo sudoku), col 6 e 7 mi sembra che si massimizza il divertimento.
Per chi insegna: è un ottimo strumento per impratichirsi nella scomposizione in fattori

Questo sudoku di 15 è impossibile (o meglio a molteplici soluzioni) da completarsi.
Specifica meglio la domanda!

A me sembra chiara: 15 numeri sono necessari ma, come mostra il tuo esempio, non sufficienti.
Fabtor, hai qualche sudoku solubile con 15 numeri?

Allora, cerco di charirmi un po'.

Premetto che il dato del quindici l'avevo trovato in letteratura senza alcuna dimostrazione.

Quello che ho capito io è che 15 numeri garantiscono l'unicità dello schema, non la giocabilità dello stesso dove per giocabilità si intende risovibile con semplici passaggi logici senza fare dei tentativi "a caso" (anche se tale definizione mi sembra un po' campata in aria) quindi teoricamente stando alla definizione anche lo schema di massimo per via di blocchi, linee orizzontali e verticali dovrebbe avere un'unica soluzione anche se non facilmente rintracciabile.

Al momento non so dirvi altro.

Partendo con 27 numeri inseriti (3 quadratini da 3x3 in linea, quindi 3 quadratini e 3 righe già risolte), il sudoku sarebbe facilmente risolvibile?

Aggiungo questa news che ho trovato per la rete proprio stamane:

[...] Nel numero di giugno 2007 del notiziario della Società Americana di Matematici, Agnes Herzberg e Ram Murty della Queens University (Canada) hanno pubblicato uno studio su queste complesse questioni. Il paper si chiama “Sudoku e polinomi cromatici" http://www.ams.org/notices/200706/tx070600708p.pdf . I due autori sono riusciti a dimostrare che un Sudoku, per avere una sola soluzione, deve presentare all'inizio del gioco almeno 8 dei 9 numeri. Se ne sono presenti solo 7, allora il puzzle ha almeno due soluzioni. [...]



P.S. Sto cercando il testo che fissava a 15 il numero, tuttavia questa condizione sopra riportata dovrebbe essere ancora più stringente: quindici numeri suddivisi in 7 a e 8 b (per esempio) dovrebbe non essere risolvibile.

P.S.S. Cmq l'articolo riporta anche il caso di una sudoku che partiva con 17 caselle compilatead unica soluzione e uno che partiva con addirittura con 29 caselle compilate che invece ne ha 2 quindi è chiaro che il dato 15 da me riportato è errato quindi la domanda 2 e la domanda 3 possono essere accantonate, mentre le altre andrebbero riformulate per avere un senso.
Tuttavia, visto che quella degli almeno 8 numeri distinti mi pare di capire sia solo una condizione necessaria, può essere che anche quella delle 15 caselle lo sia e che "fortuitamente" si sia in uno di quei rari casi in cui due necessarie facciano una sufficiente...
... ma questo rimane tutto da dimostrare.