Due numeri primi

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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David
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Due numeri primi

Messaggio da David »

Salve boys
Uno dei classici rompicapo made Renatino!

Ricordandosi di un problema postogli il giorno prima da Renatino,Luigino riflette:
"Allora considero un quadrato di lato unitario (L1=1), lo suddivido in n*n quadrati ove n è un numero primo.
Della griglia quadrata così formata calcolo il perimetro ( es se dividessi il quadrato in 2*2=4 quadrati lo sviluppo perimetrale della griglia sarebbe uguale a 6)
Indico tale misura con L2 e dunque costruisco un quadrato di lato L2.Lo suddivido in k*k quadrati ove k è un primo diverso da n.
Misuro il perimetro della griglia quadrata che ne deriva e indico tale misura come L3.
Costruisco un quadrato di lato L3 e stavolta lo suddivido creando una griglia quadrata di 2(n-1)*2(n-1) quadrati.
Trovo ancora una volta il perimetro della griglia che avrà misura L4.
Costruisco un ultimo quadrato di lato L4.
Ora confronto tale quadrato con un quadrato che invece ha lato n.
Se verifico che il lato del quadrato da me costruito è esattamente 20160 volte più grande del lato del quadrato di lato n,
quali sono i numeri primi n e k?"

"Quanti,gatti e numeri"

Bye David

bautz
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Re: Due numeri primi

Messaggio da bautz »

L1 = 1
L2 = 2(n+2)
L3 = 2(k+2)L2 = 4(n+2)(k+2)
L4 = 2[(2(n-1)+2]L3 = 4n*4(n+2)(k+2) = 16n(n+2)(k+2)

e deve essere

L4 = 20160n

quindi

16n(n+2)(k+2) = 20160n

semplifico

(n+2)(k+2) = 1260

Se n e k fossero dispari, (n+2) e (k+2) sarebbero sempre dispari, e moltiplicati non potrebbero dare un numero pari, cioè 1260.
Quindi uno dei due deve essere il numero primo pari, cioè 2.
n e k sono poi interscambiabili, quindi

Se n=2, allora

4(k+2) = 1260

quindi

k = 313 (numero primo!)

viceversa se k =2


quindi le soluzioni sono 2:

n=2 e k=313
oppure
n=313 e k=2
la matematica è un opinione

David
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Re: Due numeri primi

Messaggio da David »

Probabilmente si è generato un equivoco dalla tua formula si nota che L2=2(n+2), ossia per n=2 si avrebbe L2=8 mentre il perimetro della griglia che si forma in tal caso è pari a 6.(il perimetro esterno 1*4+il perimetro della croce interna 0.5*4)
Mi scuso se non sono stato abbastanza chiaro nell'esposizione.

Ciao

bautz
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Re: Due numeri primi

Messaggio da bautz »

Ops errore! Sei stato chiaro, sono io che ho sbagliato
L2 = 2(n+1)L1
(n+1 è il numero di linee verticali, e di linee orizzontali, moltiplicate per la lunghezza delle linee, ovvero del lato del quadrato originale)
quindi, dato L1 = 1
L2 = 2(n+1)
è la versione corretta

Ci riprovo...

L1 = 1
L2 = 2(n+1)L1 = 2(n+1)
L3 = 2(k+1)L2 = 4(n+1)(k+1)
L4 = 2[(2(n-1)+1]L3 = 2(2n-1)*4(n+1)(k+1) = 8(2n-1)(n+1)(k+1)

e deve essere

L4 = 20160n

quindi

8(2n-1)(n+1)(k+1) = 20160n

semplifico

(2n-1)(n+1)(k+1) = 2520n

e qui per ora mi fermo...
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bautz
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Re: Due numeri primi

Messaggio da bautz »

Provo a proseguire...

(2n-1)(n+1)(k+1) = 2520n

esplicito k

k = [2520n/(2n-1)(n+1)]-1

e posso provare tutti gli n che sono numeri primi...

n=2, k=559 niente da fare

n=3, k=125 niente da fare

n=5, k=232,333 niente da fare

n=7, k=168,615 niente da fare

n=11, k=109 bingo!

Ciò non esclude che ci siano altre coppie di numeri primi che soddisfano l'equazione
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0-§
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Re: Due numeri primi

Messaggio da 0-§ »

Lo escludo io. Il difficile, adesso, è dimostrarlo (senza un computer!), se possibile trovando il modo di risolvere la tua equazione in n e k senza andare per (troppi) tentativi.
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

David
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Re: Due numeri primi

Messaggio da David »

Risposta esatta boys.
Per dimostrare che 11 e 109 sono gli unici primi potrebbe aiutarvi scrivere la relazione cosi?

$\Large \ k=\frac{n(2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7)}{(2n+2)(2n-1)}-1$

Bye David

bautz
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Re: Due numeri primi

Messaggio da bautz »

David ha scritto:Per dimostrare che 11 e 109 sono gli unici primi potrebbe aiutarvi scrivere la relazione cosi?

$\Large \ k=\frac{n(2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7)}{(2n+2)(2n-1)}-1$
$\Large k=\frac{n(2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7)}{(2n+2)(2n-1)}-1$

$\Large k=\frac{n7!}{(2n+2)(2n-1)}-1$

poi per ora niente altro...
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bautz
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Re: Due numeri primi

Messaggio da bautz »

Provo ad andare avanti... altra strada

$\Large k=\frac{n7!}{(2n+2)(2n-1)}-1$

$\Large k=\frac{2520n}{(n+1)(2n-1)}-1$

analizzo la funzione...

$\Large \frac{2520n}{(n+1)(2n-1)}$

deve certamente essere un numero intero, quindi deve essere perfettamente divisibile per

$(n+1)(2n-1)$

posso poi tranquillamente dire che

$n+1$

e

$2n-1$

non saranno mai divisibili per $n$, quindi

$(n+1)(2n-1)$

possono al massimo essere pari a 2520, quindi

$(n+1)(2n-1)\le2520$

anzi, se dessero 2520, allora k sarebbe pari (sarebbe infatti n+1), quindi posso ridurre l'equazione a

$(n+1)(2n-1)<2520$

svolgo un pò di conti e trovo che n deve essere

$-36,004401136 < n < 35,004401136$

scarto i valori negativi e i numeri non primi e trovo che n deve essere

$n \le 31$

ovvero ho ridotto n a 11 valori possibili:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31

e qui per ora mi rifermo...
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Pasquale
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Re: Due numeri primi

Messaggio da Pasquale »

Ripartendo dalla relazione (2n-1)(n+1)(k+1) = 2520n , abbiamo:

$(2n^2+n-1)(k+1) = 2520n$

Poiché k è primo, pongo k+1 = 2j

$(2n^2+n-1)2j =2520n$

$j = \frac{1260n}{2n^2+n-1}$

Il denominatore non può assumere i valori 1 o n , che renderebbero n non intero, nè altri divisori di n, essendo questo primo; quindi deve essere un divisore di 1260, affinché j sia intero, altrimenti non sarebbe intero nemmeno k.

Allora:

$2n^2+n-1 \le 1260$

$2n^2+n-1261\le 0$

la diseguaglianza si verifica per:

$-25,36 \le n \le 24,85$

o meglio, considerate le premesse:

$2 \le n \le 23$

In conclusione, si riducono a 9 i valori fra cui scegliere n: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e scelgo a primo colpo 11, perché sta giusto al centro (ih, ih).
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$\text { }$ciao Immagine ciao
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fabtor
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Re: Due numeri primi

Messaggio da fabtor »

Pasquale ha scritto:
In conclusione, si riducono a 9 i valori fra cui scegliere n: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e scelgo a primo colpo 11, perché sta giusto al centro (ih, ih).
Beh, battute a parte, butto lì una quasi curiosità:

Secondo voi è solo un caso che 11 oltre ad essere la soluzione è anche la mediana del gruppo ed il valore che più si avvicina al valor medio del gruppo stesso?
Ah, se i portieri avessero sulla maglia: $|e^{-i\pi}|$...

Pongo $y = x^{2}$ quindi $y=\frac {x^{2}}{pongo}$
[tratto da un compito in classe di uno studente di prima superiore]

Il vero gnomone aureo: http://thumbs.dreamstime.com/z/gnomo-de ... 526933.jpg

Pasquale
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Re: Due numeri primi

Messaggio da Pasquale »

Beh, i numeri sono pochi e sono i primi della sequenza, quelli più ravvicinati; c'è più d'una coppia a distanza 2; è quasi una successione ed 11 è quasi la media, se è questo il senso della domanda; se invece intuisci o hai meditato che la soluzione dell'equazione debba essere il valore medio fra i possibili candidati, allora hai trovato il modo di dare una ragione valida alla mia soluzione scherzosa, che tale resta, perché per me l'11 è stata la soluzione più gradevole, in quanto così mi ha detto la testa guardando quei 9 numeri; alla fine ho voluto dare una vaga giustificazione con la posizione occupata (quindi più mediana che valore medio, anche se i due valori sono vicini).
Fabtor (non so se sia la contrazione di fabbricatore), sei arguto e curioso, studioso e pensatore ed è perciò che mi piaci.
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