Quinto.
Una soluzione del tutto generale si può ottenere,con certe ipotesi,prescindendo
dalla seconda parte del quesito che scaturirà invece come conseguenza.
Tentiamo allora un procedimento risolutivo ponendo :
(1) $\displaystyle a_{r+1}=qa_r+s$.
Sostituendo nell'espressione indicata ,che chiameremo E,si ha:
$\displaystyle E=a_r^2+2qa_r+2s+1$
La E diventa un quadrato esatto,non importa se di razionali o di interi o più
in generale di reali ,se si pone :
$\displaystyle 2s+1=q^2$.
Pertanto la (1) diventa :
(2) $\displaystyle a_{r+1}-qa_r=\frac{q^2-1}{2}$
che è una ricorsiva a coefficienti costanti.Come detto in altro post,
tali equazioni si risolvono sviluppando prima una soluzione della
omogenea associata e poi addizionando con una soluzione particolare dell'equazione completa.
In questo caso si è fortunati e la soluzione particolare si può trovare ponendo nella (2)
$\displaystyle a_{r+1}=a_r$ che ,con qualche calcolo, porta a :
(3)$\displaystyle a_r=- \frac{q+1}{2}$
La soluzione dell'equazione omogenea associata che è
(4) $\displaystyle a_{r+1}-qa_r=0$
si trova ponendo :
$\displaystyle a_r= A \lambda^r$ con A costante.
Sostituendo nella (4) otteniamo $\displaystyle \lambda=q$ e dunque:
(5) $\displaystyle a_r=Aq^r$
Sommando (3) e (5) otteniamo la soluzione generale :
(6) $\displaystyle a_r=Aq^r-\frac{q+1}{2}$
Al variare di A e q si ottengono le possibili soluzioni.In particolare, ponendo A=q,si ha :
(7) $\displaystyle a_r=q^{r+1}-\frac{q+1}{2}$
che risponde alla seconda parte del quesito.Se si vogliono solo soluzioni intere basta scegliere nella (6) A intero e q dispari e nella (7) q dispari.

Bello, Karl


Volendo, si poteva anche partire da qui:

$\large q^{r+1}\,-\,a_{r}\,=\, k$

per ottenere:

$\large (q^{r+1}-k)^2+2\/(q^{r+2}-k)+1\, =$

ossia:

$\large q^{2\/(r+1)}-2\/ k\cdot q^{r+1}+2\/q\cdot q^{r+1}+(k-1)^2\,=$

dove si può porre, per garantire il quadrato:

$\large -k + q\,=\, k-1$

da cui deduciamo:

$\large a_r\,=\,(2k-1)^{r+1}-k$.


Con ragionamenti decisamente meno impeccabili
e soprattutto meno istruttivi dei tuoi, ho trovato
anch'io (come via alternativa) un'espressione
equivalente a quella che hai ricavato tu e come
hai fatto tu da lì sono passato alla seconda parte
del quesito