Ciao a Tutti
Nel mio pellegrinare su intenet ho trovato due metodi alquanto interessanti per calcolare la radice quadrata ;, forse li conoscete già.
Con questi algoritmi è possibile trovare la radice quadrata con “ la precisione “ di cifre che si vuole dopo la vigola e, a differenza del metodo canonico che ci viene( meglio” ci veniva”) insegnato in seconda media ci sono solo da eseguire le quattro operazioni (+ , x, -, : ).
Passo subito a proporveLe.

La prima è la seguente(metodo di Cardano)
$\sqr{N}=x+y$
Dove N è il numero di cui si vuole calcolare la radice quadrata
x è la parte intera della radice quadrata e y è la parte decimale .
Allora usando ricorsivamente la formula
$y_1=(N-x^2)/(2x+y_0)$
si ottiene la radice di N( ripetendola fino ad ottenera la precisione desiderata).
La seconda è la seguente (metodo di Newton)(Anche questa formula è da usare ricorsivamente)
$x_1=1/2(x_0+N/x_0)$
Come sopra N è il numero di cui si cerca la radice quadrata mentre Xn è la radice.
Domanda (se ho capito bene il testo che ho letto)
Perché la seconda formula è “più” convergente della Prima ?
Ossi perchè la seconda si "avvicina" prima alla radice quadrata del numero cercato?
Quanto sopra lo trovate all’indirizzo
http://www.matematicamente.it/appunti/a ... 810294624/" target="_blank
pagine in fondo
P.S. Se eventualmente ho equivocato sul fatto che la seconda formula sia più convergente della prima esiste un metodo per stabilire se ciò è vero oppure no?
Ciao e grazie
PS del PS siccome ho avuto difficoltà nell'inserire i pedici nella formula leggi il pedice 1 come n e 0 come n-1
Riciao

ronfo, per inserire pedici (e apici) più lunghi di un carattere bisogna racchiudere l'espressione tra parentesi graffe:

x_n-1 $\Longrightarrow x_n-1$

ma

x_{n-1} $\Longrightarrow x_{n-1}$

Non ho una risposta "analitica" alla tua domanda ma ho fatto un grafico che aiuta un po';
è il calcolo della radice di 100 con i due metodi partendo da un valore di primo tentativo uguale ad 1:

Come si vede, se successive iterazioni col metodo di Carcano oscillano sopra e sotto il valore esatto mentre col metodo di Newton l'avvicinamento è molto più rapido ed avviene per riduzione continua dell'errore.

ciao

P.S. Interessanti comunque, non li conoscevo; se si parte da un valore di prima approssimazione realistico (ad esempio 2 per la radice di 5), il metodo di Newton fornisce un risultato preciso al decimo decimale in sole 5 iterazioni.

Grazie Panurgo me ne ricorderò...(spero)
Franco non voglio sperticarmi in complimenti ma sei veramente eccezionale ... i tuoi grafici sono di una chiarezza e limpidezza fuori dal comune.
Penso che questo modo di "fare matematica" sia quello giusto affinchè si capisca cosa si sta facendo.
Ciao a tutti e grazie ancora.

Il secondo metodo descritto prende il nome di procedimento di Newton-Raphson ed è iterativo, esso usa l'approssimazione per tangente per convergere in maniera molto buona alla ricerca delle soluzioni di f(x)=0.
Per arrivare alla formula di ricorrenza supponiamo che dopo k-1 passaggi dell'iterazione, l'ultima approssimazione della soluzione di f(x)=0 sia $u_k$
ora usiamo l'approssimazione per tangente di f(x) in $u_k$ per determinare il valore di x per cui f(x)=0 e assumiamo questa valutazione come successiva approssimazione $u_{k-1}$
L'approssimazione per tangente in $(u_k, f(u_k))$ ha equazione:
$y=f(u_k)+f'(u_k)(x-u_k).$
Mentre molte volte è impossibile risolvere l'equazione f(x)=0 con esattezza(questa è la ragione per cui ci serviamo dei metodi numerici),
In genere non vi è difficoltà nel risolvere:
approssimazione lineare di f(x)=0
Ossia nel nostro caso:
$f(u_k)+f'(u_k)(x-u_k)=0$ che ha soluzione $x=u_k-\frac{f(u_k)} {f'(u_k)}$
Conseguentemente la formula di ricorrenza con tale metodo diviene:
$u_{k+1}=u_k-\frac{f(u_k)} {f'(u_k)}$

Nel vostro caso si è scritta la formula di ricorrenza relativa all'equazione:
$x^2-n=0$
ove il valore di x da trovare è la radice quadrata di n.

Altro esempio con $x^3-n=0$ si ricava la radice cubica del numero n, essa sarà data da:

$u_{k+1}=u_k-\frac{u^3_k-n} {3u^2_k}= \frac{2u^3_k+n} {3u^2_k}$

Bye David

Non vorrei dire una sciocchezza ma il metodo di newton mi sembra di ricordare che sia proprio quello utilizzato dalle calcolatrici... Qualcuno ne sa di più?