Scarabbocchiando con carta e penna ho disegnato su di un foglio a quadretti un quadrato,diciamo di n² quadretti,di fianco ho tracciato un quadrato di misura differente di m² quadretti.

Poi sotto ho raffigurato un rettangolo di area equivalente alla somma delle aree dei 2 quadrati con un lato che differiva di 7 unita' {per difetto} dal lato del primo quadrato n².

Ho constatato che variando le misure del primo quadrato n² e lasciando inalterate quelle del secondo m², potevo raffigurare altri 7 differenti casi in cui il rettangolo risultante aveva un lato diminuito di 7, rispetto al quadrato n² di volta in volta diverso.

Effettivamente il quadrato di lato m e' il piu' piccolo che genera 8 soluzioni diverse. {ove i 2 quadrati sono sempre diversi fra loro}

Dire quanto vale m e quali sono gli 8 rettangoli che soddisfano le condizioni prospettate.

immagino che le soluzioni che hai in mente, richiedano che anche la seconda misura del rettangolo valga un numero intero di quadretti....

Si proprio così, tutti i lati hanno misure intere.

Qui ci vorrebbe Bruno, il mago delle equazioni diofantee, comunque usando un foglio elettronico ho trovato che con m=9:

Rettangolo1 = 1x145; n=8
Rettangolo2 = 2x81; n=9
Rettangolo3 = 5x45; n=12
Rettangolo4 = 10x37; n=17
Rettangolo5 = 13x37; n=20
Rettangolo6 = 26x45; n=33
Rettangolo7 = 65x81; n=72
Rettangolo8 = 130x145; n=137

M'interessa però sapere qual è il metodo corretto, matematico, per ottenere la soluzione.

In realtà per generare il rettangolo 2 abbiamo usato n=9 e m=9, e la condizione che i 2 quadrati debbano essere sempre diversi non viene rispettata.
Ad ogni modo il metodo di risoluzione si basa sui principi di divisibilità integrati da un piccolo stratagemma algebrico,con un pò di fantasia non ti sarà difficile scovarlo...
Grazie per la risposta

Hai ragione, benché sia partito con m e n diversi non ho poi controllato se i nuovi valori di n erano ancora diversi da m.
Vedrò di dare un'occhiata ai miei libri, ma non son sicuro di riuscire a impostare l'equazione corretta partendo dai dati del problema.

Posti i lati del rettangolo x ed n-7:

$x(n-7) = n^2+m^2$

pongo:

n-7=k, da cui: n=k+7

sostituisco nell'equazione:

$xk = (k+7)^2 + m^2$

$x = k+14+\frac{m^2+49}{k}$

deve essere: k>0 e $\frac{m^2+49}{k}$ intero, affinché anche x sia intero

quindi per j intero:

$m^2+49 = kj$

$m=sqrt{kj-49}$, in cui il radicando deve essere un quadrato perfetto

Con un po' di lavoro, o affidandosi ad un semplice programmino di calcolo, si trova che per:

kj=50, m=1
kj=53, m=2
kj=58, m=3
.
.
.
kj=130, m=9
.
.
.

Appare comunque evidente che con k o j uguali ad 1, si trova sempre un valore del loro prodotto per cui è possibile ottenere il radicando quadrato e pervenire ad un m intero; dal valore di k si ottiene poi anche n aggiungendo 7 e quindi si calcolano anche i lati del rettangolo.

Il problema richiede però di individuare il più piccolo valore di m per il quale è possibile costruire 8 diversi rettangoli; quindi appurato che tutti gli m sono esistenti, procedo per tentativi, partendo dal più piccolo, impostando la stessa equazione di cui sopra, ma attribuendo ad m il valore da testare, come ad esempio m=1:

$x(n-7) = n^2 + 1$;

pongo quindi:

n-7=k; da cui:

$xk = (k+7)^2 +1$;

$x = k+14+\frac{50}{k}$

i valori di k possibili sono tanti quanti i divisori di 50, che sono però inferiori ad 8

Provando allora con gli altri valori di m, bisogna giungere ad m=9 per ottenere la frazione 130/k, in cui i divisori k di 130 sono 8 e precisamente:

1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130

da cui, poiché n=k+7, gli 8 valori di n:

8, 9, 12, 17, 20, 33, 72, 137

Come fa osservare David, il secondo quadrato di lato n è uguale a quello di lato m e dunque bisogna continuare la ricerca per valori di m>9.
E' sufficiente arrivare fino ad m=11, con cui si genera la frazione 170/k, ove i divisori di 170 sono:

1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170 cui corrispondono 8 quadrati di lato n=k+7, tutti diversi da quello di lato 11:

8, 9, 12, 17, 24, 41, 92, 177

Avremo in definitiva 8 rettangoli i cui lati, con una certa simmetricità, sono:

1,185
2,101
5,53
10,41
17,41
34,53
85,101
170,185

Perfetto Pasquale un'analisi degna di nota.

Grazie, purché non vi prendiate l'abitudine, perché il mio standard è ben diverso.