Problemi vari
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Re: Problemi vari
1) con i tre punti nel cerchio, la probabilità si abbassa intorno al 56,3%
3) all'inizio sta "sotto".... che significa? Si sa in che direzione si muove? Mi sa che manca qualche dato
3) all'inizio sta "sotto".... che significa? Si sa in che direzione si muove? Mi sa che manca qualche dato
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Problemi vari
Quesito 1)
Ho fatto una simulazione in excel e mi viene una cifra pericolosamente vicina al 25%.
Naturalmente mi sono dovuto limitare a poche migliaia di terne di punti ma l'indicazione mi sembra molto significativa e conferma quello che mi ero immaginato facendo un po' di teoria.
La simulazione si basa su questa figura:
Chiamo PAB l'intercetto sull'asse y della retta congiungente A e B e QC l'intercetto sull'asse y della parallela ad AB passante per C.
Le coordinate sono:
PAB: (0, pAB)
QC: (0, qC)
Allo stesso modo definisco i punti PBC, PCA, QA e QB.
Il triangolo ABC contiene l'origine degli assi quando le tre quantità
pAB*qC
pBC*qA
pCA*qB
sono tutte minori o uguali a zero. (Con riferimento al disegno sopra, le due rette rosse devono intersecare l'asse y una in campo positivo ed una in campo negativo).
Basta a questo punto generare una serie di sestine casuali comprese fra -0,5 e +0,5 che rappresentino le coordinate di A, B e C per fare la simulazione.
Per quanto riguarda il ragionamento "teorico" ho bisogno di tempo per metterlo in bella
ciao
Ho fatto una simulazione in excel e mi viene una cifra pericolosamente vicina al 25%.
Naturalmente mi sono dovuto limitare a poche migliaia di terne di punti ma l'indicazione mi sembra molto significativa e conferma quello che mi ero immaginato facendo un po' di teoria.
La simulazione si basa su questa figura:
Chiamo PAB l'intercetto sull'asse y della retta congiungente A e B e QC l'intercetto sull'asse y della parallela ad AB passante per C.
Le coordinate sono:
PAB: (0, pAB)
QC: (0, qC)
Allo stesso modo definisco i punti PBC, PCA, QA e QB.
Il triangolo ABC contiene l'origine degli assi quando le tre quantità
pAB*qC
pBC*qA
pCA*qB
sono tutte minori o uguali a zero. (Con riferimento al disegno sopra, le due rette rosse devono intersecare l'asse y una in campo positivo ed una in campo negativo).
Basta a questo punto generare una serie di sestine casuali comprese fra -0,5 e +0,5 che rappresentino le coordinate di A, B e C per fare la simulazione.
Per quanto riguarda il ragionamento "teorico" ho bisogno di tempo per metterlo in bella
ciao
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
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Re: Problemi vari
1) Con il cerchio è più immediato. Scegliamo un punto qualsiasi $P$ e tracciamo il diametro per $P$
Scegliamo quindi un altro punto qualsiasi $Q$ e tracciamo il diametro per $Q$: il terzo punto produce un triangolo contenente il centro se cade dalla parte opposta di $Q$ rispetto al diametro per $P$ e dalla parte opposta a $P$ rispetto al diametro per $Q$, ovvero nel settore evidenziato
Non è necessario calcolare la superficie del settore utile perché, per qualsiasi punto $Q$ nel semicerchio $\beta$ vi è un punto $Q'$ nel semicerchio $\alpha$, simmetrico di $Q$ rispetto al centro, per il quale il settore utile è supplementare a quello di $Q$
Per ogni coppia $Q,Q'$ abbiamo
$p \left ( T \/ \middle| \/ Q \/ I \right) \/ = \/ p \\ p \left ( T \/ \middle| \/ Q' \/ I \right) \/ = \/ \frac 12 \/ - \/ p$
e dato che
$p \left ( Q \/ \middle| \/ I \right) \/ = p \left ( Q' \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ \frac 12$
abbiamo
$p \left ( T \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ p \left ( Q \/ \middle| \/ I \right) \/ p \left ( T \/ \middle| \/ Q \/ I \right) \/ + \/ p \left ( Q' \/ \middle| \/ I \right) \/ p \left ( T \/ \middle| \/ Q' \/ I \right) \/ = \/ \frac 12 p \/ + \/ \frac 12 \left ( \frac 12 \/ - \/ p \right) \/ = \/ \frac 14$
Questo ragionamento vale non solo per il cerchio ma per tutte le figure geometriche dotate di un asse di simmetria di ordine $2k$: i poligoni regolari con numero di lati pari, i parallelogrammi ma anche figure diverse come
Quel che conta è che una retta qualsiasi passante per il centro divida la figura in due parti di area uguale, cosa che non accade per esempio per il triangolo equilatero...
Scegliamo quindi un altro punto qualsiasi $Q$ e tracciamo il diametro per $Q$: il terzo punto produce un triangolo contenente il centro se cade dalla parte opposta di $Q$ rispetto al diametro per $P$ e dalla parte opposta a $P$ rispetto al diametro per $Q$, ovvero nel settore evidenziato
Non è necessario calcolare la superficie del settore utile perché, per qualsiasi punto $Q$ nel semicerchio $\beta$ vi è un punto $Q'$ nel semicerchio $\alpha$, simmetrico di $Q$ rispetto al centro, per il quale il settore utile è supplementare a quello di $Q$
Per ogni coppia $Q,Q'$ abbiamo
$p \left ( T \/ \middle| \/ Q \/ I \right) \/ = \/ p \\ p \left ( T \/ \middle| \/ Q' \/ I \right) \/ = \/ \frac 12 \/ - \/ p$
e dato che
$p \left ( Q \/ \middle| \/ I \right) \/ = p \left ( Q' \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ \frac 12$
abbiamo
$p \left ( T \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ p \left ( Q \/ \middle| \/ I \right) \/ p \left ( T \/ \middle| \/ Q \/ I \right) \/ + \/ p \left ( Q' \/ \middle| \/ I \right) \/ p \left ( T \/ \middle| \/ Q' \/ I \right) \/ = \/ \frac 12 p \/ + \/ \frac 12 \left ( \frac 12 \/ - \/ p \right) \/ = \/ \frac 14$
Questo ragionamento vale non solo per il cerchio ma per tutte le figure geometriche dotate di un asse di simmetria di ordine $2k$: i poligoni regolari con numero di lati pari, i parallelogrammi ma anche figure diverse come
Quel che conta è che una retta qualsiasi passante per il centro divida la figura in due parti di area uguale, cosa che non accade per esempio per il triangolo equilatero...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Problemi vari
Dunque, ho commesso un errore concettuale, ma quale (mi riferisco al 2° algoritmo)?
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Re: Problemi vari
Scusa Pasquale, ma non mi invoglia molto il districarmi in un programma in basic. Tirando ad indovinare, il problema è dato dalla complessità delle condizioni che poni per decidere se il triangolo contiene o no il centro. Eccoti un suggeriento:Pasquale ha scritto:Dunque, ho commesso un errore concettuale, ma quale (mi riferisco al 2° algoritmo)?
Il punto $\text O$ si trova nel triangolo $\text PQR$ se la distanza tra ciascun vertice e la corrispondente intersezione della retta vertice-centro con il lato opposto del triangolo è maggiore della distanza di detto vertice dal centro
$\left { \overline {\text PO} \/ \leq \/ \overline {\text PI} \\ \overline {\text QO} \/ \leq \/ \overline {\text QJ} \\ \overline {\text RO} \/ \leq \/ \overline {\text RK} \right.$
...continua...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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Re: Problemi vari
Grazie Pan, fa niente, non chiedevo di esaminare il programma basic, ma i concetti che ne erano a fondamento e che avevo individuato nei punti di intersezione di segno opposto fra uno degli assi cartesiani e due lati del triangolo.
Se quell'idea era giusta, allora l'errore sta nella traduzione in Basic, la cui ricerca resta un mio onere, ma se era errata la premessa, l'errore ne consegue naturalmente.
Se quell'idea era giusta, allora l'errore sta nella traduzione in Basic, la cui ricerca resta un mio onere, ma se era errata la premessa, l'errore ne consegue naturalmente.
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Re: Problemi vari
...segue...panurgo ha scritto:...continua...
Qule che volevo dire è che lavorare con le coordinate dei punti è molto più complesso che lavorare con le distanze perchè queste ultime sono sempre positive indipendentemente dalla posizione di punti stessi.
Facciamo intersecare la retta ${\text PO}$ e la retta ${\text QR}$ nel punto $\text I$
$\left\{ x_{\script \text I} \/ = \/ \frac {y_{\script \text R} \left( x_{\script \text Q} - x_{\script \text R} \right) - x_{\script \text R} \left( y_{\script \text Q} - y_{\script \text R} \right)} {y_{\script \text P} \left( x_{\script \text Q} - x_{\script \text R} \right) - x_{\script \text P} \left( y_{\script \text Q} - y_{\script \text R} \right)} \/ x_{\script \text P} \\ y_{\script \text I} \/ = \/ \frac {y_{\script \text R} \left( x_{\script \text Q} - x_{\script \text R} \right) - x_{\script \text R} \left( y_{\script \text Q} - y_{\script \text R} \right)} {y_{\script \text P} \left( x_{\script \text Q} - x_{\script \text R} \right) - x_{\script \text P} \left( y_{\script \text Q} - y_{\script \text R} \right)} \/ y_{\script \text P} \right.$
La distanza $\overline{\text PO}$ deve essere minore della distanza $\overline{\text PI}$ perché il triangolo contenga il centro: consideriamo la grandezza
$\frac 12 \left( 1 \/ + \/ \frac {\overline{\text PI} - \overline{\text PO}} {\left| \overline{\text PI} - \overline{\text PO}\right|} \right) \/ = \/ \left\{ \begin{array}{ccc}\\1&\qquad&\overline{\text PI} - \overline{\text PO}\/>\/0\\ 0&\qquad&\overline{\text PI} - \overline{\text PO}\/<\/0\\ \end{array}\right.$
facendo lo stesso con $\text Q$ e $\text R$ possiamo calcolare in un solo colpo la grandezza
$\frac 18 \left( 1 \/ + \/ \frac {\overline{\text PI} - \overline{\text PO}} {\left| \overline{\text PI} - \overline{\text PO}\right|} \right) \/ \left( 1 \/ + \/ \frac {\overline{\text QJ} - \overline{\text QO}} {\left| \overline{\text QJ} - \overline{\text QO}\right|} \right) \/ \left( 1 \/ + \/ \frac {\overline{\text RK} - \overline{\text RO}} {\left| \overline{\text RK} - \overline{\text RO}\right|} \right)$
che è uguale a $1$ quando il triangolo ${\text PQR}$ contiene il centro e a $0$ in caso contrario. E questo senza IF...
il panurgo
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Re: Problemi vari
OK Pan, grazie per il tempo dedicatomi.
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Re: Problemi vari
Non per sminuirmi (non sia mai detto!) ma non l'ho dedicato solo a te... l'ho dedicato anche a mePasquale ha scritto:OK Pan, grazie per il tempo dedicatomi.
il panurgo
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Re: Problemi vari
Pan (e tutti gli altri), hai dato un'occhiata alla nuova pre-release di Geogebra?
(http://www.geogebra.org" onclick="window.open(this.href);return false; al link "Sviluppo")
Per un uomo della probabilità (e statistica) come te dovrebbe essere un ghiotto boccone!
Ciao
S.
(http://www.geogebra.org" onclick="window.open(this.href);return false; al link "Sviluppo")
Per un uomo della probabilità (e statistica) come te dovrebbe essere un ghiotto boccone!
Ciao
S.
mathmum
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
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Re: Problemi vari
D'accordo, ora il primo problema, che come prevedevo è parso da subito il più interessante, è stato risolto (mancherebbe il caso del triangolo... Pan, che puoi dirci a riguardo?), ma rimangono gli altri 7, non lasciate ammuffire questo povero topic
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
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Re: Problemi vari
Poniamo $g(x) = \frac {x - 3}{x + 1}$, avremo che $g(g(x)) = \frac {3 + x}{1 - x}$ e $g(g(g(x))) = x$;0-§ ha scritto:5 ) Trovare tutte le $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tali che $\forall x \notin \left{-1, 1 \right}$$\displaystyle f\left( {\frac{{x - 3}}{{x + 1}}} \right) + f\left( {\frac{{3 + x}}{{1 - x}}} \right) = x$
a) $f(g(x)) + f(g(g(x))) = x$
b) $f(g(g(x))) + f(x) = g(x)$
c) $f(x) + f(g(x)) = g(g(x))$
b)+c)-a) dà $f(x) = \frac {g(x) + g(g(x)) - x}{2}=\frac{x^3+7x}{2(1-x^2)}$
Una soluzione al giorno...
P.S. Wow, il mio trecentotrentatreesimo messaggio! Posso esprimere un desiderio?
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
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Re: Problemi vari
Ciao a tutti,
Prime proposte per il n. 3)
Versione 1.
Conosco il punto di partenza del sommergibile e il verso della velocità ma non la velocità.
Fisso l'origine delle ascisse nel punto di partenza del sommergibile.
- se v=1, al passo 1 il sommergibile è sul punto 1
- se v=2, al passo 2 il sommergibile è sul punto 4
- se v=3, al passo 3 il sommergibile è sul punto 9
- se v=4, al passo 4 il sommergibile è sul punto 16
- se v=5, al passo 5 il sommergibile è sul punto 25
...
- se v=n, al passo n il sommergibile è sul punto n^2
Conclusione:
In questo caso, mi gioco la sequenza 1, 4, 9, 16, 25, ..., n^2, ... e sono sicuro di individuare il sommergibile al tentativo v-esimo.
Versione 2.
Conosco il punto di partenza del sommergibile ma non il verso della velocità (che può essere positivo-destra o negativo-sinistra) né la velocità.
Fisso l'origine delle ascisse nel punto di partenza del sommergibile.
- se v=1, al passo 1 il sommergibile è sul punto 1
- se v=-1, al passo 2 il sommergibile è sul punto -2
- se v=2, al passo 3 il sommergibile è sul punto 6
- se v=-2, al passo 4 il sommergibile è sul punto -8
- se v=3, al passo 5 il sommergibile è sul punto 15
- se v=-3, al passo 6 il sommergibile è sul punto -18
...
- se v=n, al passo 2n-1 il sommergibile è sul punto (2n-1)n
- se v=-n, al passo 2n il sommergibile è sul punto -2n^2
Conclusione:
In questo caso, mi gioco la sequenza 1, -2, 6. -8, 15, -18, ..., (2n-1)n, -2n^2, ... e sono sicuro di individuare il sommergibile al tentativo |2v|-esimo.
Saluti
Gianfranco
Prime proposte per il n. 3)
Risolvo due versioni semplificate del problema.3) Un sottomarino nemico si muove lungo la retta dei reali. All'inizio si trova sotto un certo intero n e in seguito si muove con una velocità (che chiaramente vi è ignota, come pure la posizione iniziale) costante e di modulo intero. A ogni movimento del sottomarino potete sganciare un siluro su un numero intero, sperando di cogliere il sottomarino (che deve essere esattamente lì). Avete tutto il tempo e i siluri che volete, ma avete bisogno di una strategia per affondare il sottomarino.
Versione 1.
Conosco il punto di partenza del sommergibile e il verso della velocità ma non la velocità.
Fisso l'origine delle ascisse nel punto di partenza del sommergibile.
- se v=1, al passo 1 il sommergibile è sul punto 1
- se v=2, al passo 2 il sommergibile è sul punto 4
- se v=3, al passo 3 il sommergibile è sul punto 9
- se v=4, al passo 4 il sommergibile è sul punto 16
- se v=5, al passo 5 il sommergibile è sul punto 25
...
- se v=n, al passo n il sommergibile è sul punto n^2
Conclusione:
In questo caso, mi gioco la sequenza 1, 4, 9, 16, 25, ..., n^2, ... e sono sicuro di individuare il sommergibile al tentativo v-esimo.
Versione 2.
Conosco il punto di partenza del sommergibile ma non il verso della velocità (che può essere positivo-destra o negativo-sinistra) né la velocità.
Fisso l'origine delle ascisse nel punto di partenza del sommergibile.
- se v=1, al passo 1 il sommergibile è sul punto 1
- se v=-1, al passo 2 il sommergibile è sul punto -2
- se v=2, al passo 3 il sommergibile è sul punto 6
- se v=-2, al passo 4 il sommergibile è sul punto -8
- se v=3, al passo 5 il sommergibile è sul punto 15
- se v=-3, al passo 6 il sommergibile è sul punto -18
...
- se v=n, al passo 2n-1 il sommergibile è sul punto (2n-1)n
- se v=-n, al passo 2n il sommergibile è sul punto -2n^2
Conclusione:
In questo caso, mi gioco la sequenza 1, -2, 6. -8, 15, -18, ..., (2n-1)n, -2n^2, ... e sono sicuro di individuare il sommergibile al tentativo |2v|-esimo.
Saluti
Gianfranco
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Problemi vari
Sono di nuovo qui.
Non ho tempo scrivere al computer tutta la soluzione, ma per gli uomini e le donne di buona volontà, lascio questo disegno.
0-§, dove hai trovato questo problema?
Ciao
Gianfranco
OK. Ci sono, però il merito è tutto di Georg Cantor.3) Un sottomarino nemico si muove lungo la retta dei reali. All'inizio si trova sotto un certo intero n e in seguito si muove con una velocità (che chiaramente vi è ignota, come pure la posizione iniziale) costante e di modulo intero. A ogni movimento del sottomarino potete sganciare un siluro su un numero intero, sperando di cogliere il sottomarino (che deve essere esattamente lì). Avete tutto il tempo e i siluri che volete, ma avete bisogno di una strategia per affondare il sottomarino.
Non ho tempo scrivere al computer tutta la soluzione, ma per gli uomini e le donne di buona volontà, lascio questo disegno.
0-§, dove hai trovato questo problema?
Ciao
Gianfranco
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Problemi vari
Siccome anche io ho lasciato un po' ammuffire il topic, provvedo a due o tre domande rimaste senza risposta...
A presto per il 7.
E salutissimi, naturalmente!
GM
* Nota di Zerinf.
0-§ ha scritto:6 ) Abbiamo un insieme ${a_1, a_2, ..., a_n}$ dove ogni elemento è pari a 1 o a -1 e sappiamo che $\sum^n_{i = 1} a_i a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3}=0$, dove $a_{n+1}=a_1$ e così via. Dimostrare che n è multiplo di 4
Ho cercato di rendere fedelmente l'originale.Arthur Engel ha scritto:Se cambiamo segno a uno qualsiasi degli $a_i$, la somma [NdZ*:
quella sopra posta pari a zero, che di qui in avanti chiameremo, con grande fantasia, S] non cambia mod 4 poichè quattro termini ciclicamente adiacenti cambiano segno. Infatti, se due di essi sono positivi e due negativi, non cambia nulla. Se uno o tre hanno lo stesso segno, S cambia di $\pm 4$. Infine, se tutti hanno lo stesso segno, S cambia di $\pm 8$.
Inizialmente abbiamo S=0 che implica $S \equiv 0 \bmod {4}$. Ora cambiamo uno alla volta tutti i segni meno in segni più. Ciò non cambia il valore di S mod 4; alla fine avremo sempre $S \equiv 0 \bmod {4}$, ma ora S=n, cioè $4|n$
A presto per il 7.
E salutissimi, naturalmente!
GM
* Nota di Zerinf.
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
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