1) con i tre punti nel cerchio, la probabilità si abbassa intorno al 56,3%

3) all'inizio sta "sotto".... che significa? Si sa in che direzione si muove? Mi sa che manca qualche dato

Quesito 1)

Ho fatto una simulazione in excel e mi viene una cifra pericolosamente vicina al 25%.
Naturalmente mi sono dovuto limitare a poche migliaia di terne di punti ma l'indicazione mi sembra molto significativa e conferma quello che mi ero immaginato facendo un po' di teoria.

La simulazione si basa su questa figura:


Chiamo PAB l'intercetto sull'asse y della retta congiungente A e B e QC l'intercetto sull'asse y della parallela ad AB passante per C.
Le coordinate sono:
PAB: (0, pAB)
QC: (0, qC)

Allo stesso modo definisco i punti PBC, PCA, QA e QB.

Il triangolo ABC contiene l'origine degli assi quando le tre quantità
pAB*qC
pBC*qA
pCA*qB
sono tutte minori o uguali a zero. (Con riferimento al disegno sopra, le due rette rosse devono intersecare l'asse y una in campo positivo ed una in campo negativo).

Basta a questo punto generare una serie di sestine casuali comprese fra -0,5 e +0,5 che rappresentino le coordinate di A, B e C per fare la simulazione.

Per quanto riguarda il ragionamento "teorico" ho bisogno di tempo per metterlo in bella

ciao

1) Con il cerchio è più immediato. Scegliamo un punto qualsiasi $P$ e tracciamo il diametro per $P$



Scegliamo quindi un altro punto qualsiasi $Q$ e tracciamo il diametro per $Q$: il terzo punto produce un triangolo contenente il centro se cade dalla parte opposta di $Q$ rispetto al diametro per $P$ e dalla parte opposta a $P$ rispetto al diametro per $Q$, ovvero nel settore evidenziato



Non è necessario calcolare la superficie del settore utile perché, per qualsiasi punto $Q$ nel semicerchio $\beta$ vi è un punto $Q'$ nel semicerchio $\alpha$, simmetrico di $Q$ rispetto al centro, per il quale il settore utile è supplementare a quello di $Q$



Per ogni coppia $Q,Q'$ abbiamo

$p \left ( T \/ \middle| \/ Q \/ I \right) \/ = \/ p \\ p \left ( T \/ \middle| \/ Q' \/ I \right) \/ = \/ \frac 12 \/ - \/ p$

e dato che

$p \left ( Q \/ \middle| \/ I \right) \/ = p \left ( Q' \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ \frac 12$

abbiamo

$p \left ( T \/ \middle| \/ I \right) \/ = \/ p \left ( Q \/ \middle| \/ I \right) \/ p \left ( T \/ \middle| \/ Q \/ I \right) \/ + \/ p \left ( Q' \/ \middle| \/ I \right) \/ p \left ( T \/ \middle| \/ Q' \/ I \right) \/ = \/ \frac 12 p \/ + \/ \frac 12 \left ( \frac 12 \/ - \/ p \right) \/ = \/ \frac 14$

Questo ragionamento vale non solo per il cerchio ma per tutte le figure geometriche dotate di un asse di simmetria di ordine $2k$: i poligoni regolari con numero di lati pari, i parallelogrammi ma anche figure diverse come



Quel che conta è che una retta qualsiasi passante per il centro divida la figura in due parti di area uguale, cosa che non accade per esempio per il triangolo equilatero...

Dunque, ho commesso un errore concettuale, ma quale (mi riferisco al 2° algoritmo)?

Pasquale ha scritto:Dunque, ho commesso un errore concettuale, ma quale (mi riferisco al 2° algoritmo)?

Scusa Pasquale, ma non mi invoglia molto il districarmi in un programma in basic. Tirando ad indovinare, il problema è dato dalla complessità delle condizioni che poni per decidere se il triangolo contiene o no il centro. Eccoti un suggeriento:



Il punto $\text O$ si trova nel triangolo $\text PQR$ se la distanza tra ciascun vertice e la corrispondente intersezione della retta vertice-centro con il lato opposto del triangolo è maggiore della distanza di detto vertice dal centro

$\left { \overline {\text PO} \/ \leq \/ \overline {\text PI} \\ \overline {\text QO} \/ \leq \/ \overline {\text QJ} \\ \overline {\text RO} \/ \leq \/ \overline {\text RK} \right.$

...continua...

Grazie Pan, fa niente, non chiedevo di esaminare il programma basic, ma i concetti che ne erano a fondamento e che avevo individuato nei punti di intersezione di segno opposto fra uno degli assi cartesiani e due lati del triangolo.
Se quell'idea era giusta, allora l'errore sta nella traduzione in Basic, la cui ricerca resta un mio onere, ma se era errata la premessa, l'errore ne consegue naturalmente.

panurgo ha scritto:...continua...

...segue...

Qule che volevo dire è che lavorare con le coordinate dei punti è molto più complesso che lavorare con le distanze perchè queste ultime sono sempre positive indipendentemente dalla posizione di punti stessi.

Facciamo intersecare la retta ${\text PO}$ e la retta ${\text QR}$ nel punto $\text I$

$\left\{ x_{\script \text I} \/ = \/ \frac {y_{\script \text R} \left( x_{\script \text Q} - x_{\script \text R} \right) - x_{\script \text R} \left( y_{\script \text Q} - y_{\script \text R} \right)} {y_{\script \text P} \left( x_{\script \text Q} - x_{\script \text R} \right) - x_{\script \text P} \left( y_{\script \text Q} - y_{\script \text R} \right)} \/ x_{\script \text P} \\ y_{\script \text I} \/ = \/ \frac {y_{\script \text R} \left( x_{\script \text Q} - x_{\script \text R} \right) - x_{\script \text R} \left( y_{\script \text Q} - y_{\script \text R} \right)} {y_{\script \text P} \left( x_{\script \text Q} - x_{\script \text R} \right) - x_{\script \text P} \left( y_{\script \text Q} - y_{\script \text R} \right)} \/ y_{\script \text P} \right.$

La distanza $\overline{\text PO}$ deve essere minore della distanza $\overline{\text PI}$ perché il triangolo contenga il centro: consideriamo la grandezza

$\frac 12 \left( 1 \/ + \/ \frac {\overline{\text PI} - \overline{\text PO}} {\left| \overline{\text PI} - \overline{\text PO}\right|} \right) \/ = \/ \left\{ \begin{array}{ccc}\\1&\qquad&\overline{\text PI} - \overline{\text PO}\/>\/0\\ 0&\qquad&\overline{\text PI} - \overline{\text PO}\/<\/0\\ \end{array}\right.$

facendo lo stesso con $\text Q$ e $\text R$ possiamo calcolare in un solo colpo la grandezza

$\frac 18 \left( 1 \/ + \/ \frac {\overline{\text PI} - \overline{\text PO}} {\left| \overline{\text PI} - \overline{\text PO}\right|} \right) \/ \left( 1 \/ + \/ \frac {\overline{\text QJ} - \overline{\text QO}} {\left| \overline{\text QJ} - \overline{\text QO}\right|} \right) \/ \left( 1 \/ + \/ \frac {\overline{\text RK} - \overline{\text RO}} {\left| \overline{\text RK} - \overline{\text RO}\right|} \right)$

che è uguale a $1$ quando il triangolo ${\text PQR}$ contiene il centro e a $0$ in caso contrario. E questo senza IF...

OK Pan, grazie per il tempo dedicatomi.

Pasquale ha scritto:OK Pan, grazie per il tempo dedicatomi.

Non per sminuirmi (non sia mai detto!) ma non l'ho dedicato solo a te... l'ho dedicato anche a me

Pan (e tutti gli altri), hai dato un'occhiata alla nuova pre-release di Geogebra?
(http://www.geogebra.org" onclick="window.open(this.href);return false; al link "Sviluppo")
Per un uomo della probabilità (e statistica) come te dovrebbe essere un ghiotto boccone!
Ciao
S.

D'accordo, ora il primo problema, che come prevedevo è parso da subito il più interessante, è stato risolto (mancherebbe il caso del triangolo... Pan, che puoi dirci a riguardo?), ma rimangono gli altri 7, non lasciate ammuffire questo povero topic

0-§ ha scritto:5 ) Trovare tutte le $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tali che $\forall x \notin \left{-1, 1 \right}$$\displaystyle f\left( {\frac{{x - 3}}{{x + 1}}} \right) + f\left( {\frac{{3 + x}}{{1 - x}}} \right) = x$

Poniamo $g(x) = \frac {x - 3}{x + 1}$, avremo che $g(g(x)) = \frac {3 + x}{1 - x}$ e $g(g(g(x))) = x$;
a) $f(g(x)) + f(g(g(x))) = x$
b) $f(g(g(x))) + f(x) = g(x)$
c) $f(x) + f(g(x)) = g(g(x))$
b)+c)-a) dà $f(x) = \frac {g(x) + g(g(x)) - x}{2}=\frac{x^3+7x}{2(1-x^2)}$

Una soluzione al giorno...

P.S. Wow, il mio trecentotrentatreesimo messaggio! Posso esprimere un desiderio?

Ciao a tutti,

Prime proposte per il n. 3)

3) Un sottomarino nemico si muove lungo la retta dei reali. All'inizio si trova sotto un certo intero n e in seguito si muove con una velocità (che chiaramente vi è ignota, come pure la posizione iniziale) costante e di modulo intero. A ogni movimento del sottomarino potete sganciare un siluro su un numero intero, sperando di cogliere il sottomarino (che deve essere esattamente lì). Avete tutto il tempo e i siluri che volete, ma avete bisogno di una strategia per affondare il sottomarino.

Risolvo due versioni semplificate del problema.

Versione 1.
Conosco il punto di partenza del sommergibile e il verso della velocità ma non la velocità.
Fisso l'origine delle ascisse nel punto di partenza del sommergibile.
- se v=1, al passo 1 il sommergibile è sul punto 1
- se v=2, al passo 2 il sommergibile è sul punto 4
- se v=3, al passo 3 il sommergibile è sul punto 9
- se v=4, al passo 4 il sommergibile è sul punto 16
- se v=5, al passo 5 il sommergibile è sul punto 25
...
- se v=n, al passo n il sommergibile è sul punto n^2

Conclusione:
In questo caso, mi gioco la sequenza 1, 4, 9, 16, 25, ..., n^2, ... e sono sicuro di individuare il sommergibile al tentativo v-esimo.


Versione 2.
Conosco il punto di partenza del sommergibile ma non il verso della velocità (che può essere positivo-destra o negativo-sinistra) né la velocità.
Fisso l'origine delle ascisse nel punto di partenza del sommergibile.
- se v=1, al passo 1 il sommergibile è sul punto 1
- se v=-1, al passo 2 il sommergibile è sul punto -2
- se v=2, al passo 3 il sommergibile è sul punto 6
- se v=-2, al passo 4 il sommergibile è sul punto -8
- se v=3, al passo 5 il sommergibile è sul punto 15
- se v=-3, al passo 6 il sommergibile è sul punto -18
...
- se v=n, al passo 2n-1 il sommergibile è sul punto (2n-1)n
- se v=-n, al passo 2n il sommergibile è sul punto -2n^2

Conclusione:
In questo caso, mi gioco la sequenza 1, -2, 6. -8, 15, -18, ..., (2n-1)n, -2n^2, ... e sono sicuro di individuare il sommergibile al tentativo |2v|-esimo.

Saluti
Gianfranco

Sono di nuovo qui.

3) Un sottomarino nemico si muove lungo la retta dei reali. All'inizio si trova sotto un certo intero n e in seguito si muove con una velocità (che chiaramente vi è ignota, come pure la posizione iniziale) costante e di modulo intero. A ogni movimento del sottomarino potete sganciare un siluro su un numero intero, sperando di cogliere il sottomarino (che deve essere esattamente lì). Avete tutto il tempo e i siluri che volete, ma avete bisogno di una strategia per affondare il sottomarino.

OK. Ci sono, però il merito è tutto di Georg Cantor.

Non ho tempo scrivere al computer tutta la soluzione, ma per gli uomini e le donne di buona volontà, lascio questo disegno.



0-§, dove hai trovato questo problema?

Ciao
Gianfranco

Siccome anche io ho lasciato un po' ammuffire il topic, provvedo a due o tre domande rimaste senza risposta...

0-§ ha scritto:6 ) Abbiamo un insieme ${a_1, a_2, ..., a_n}$ dove ogni elemento è pari a 1 o a -1 e sappiamo che $\sum^n_{i = 1} a_i a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3}=0$, dove $a_{n+1}=a_1$ e così via. Dimostrare che n è multiplo di 4

Arthur Engel ha scritto:Se cambiamo segno a uno qualsiasi degli $a_i$, la somma [NdZ*:
quella sopra posta pari a zero, che di qui in avanti chiameremo, con grande fantasia, S] non cambia mod 4 poichè quattro termini ciclicamente adiacenti cambiano segno. Infatti, se due di essi sono positivi e due negativi, non cambia nulla. Se uno o tre hanno lo stesso segno, S cambia di $\pm 4$. Infine, se tutti hanno lo stesso segno, S cambia di $\pm 8$.
Inizialmente abbiamo S=0 che implica $S \equiv 0 \bmod {4}$. Ora cambiamo uno alla volta tutti i segni meno in segni più. Ciò non cambia il valore di S mod 4; alla fine avremo sempre $S \equiv 0 \bmod {4}$, ma ora S=n, cioè $4|n$

Ho cercato di rendere fedelmente l'originale.
A presto per il 7.
E salutissimi, naturalmente!
GM

* Nota di Zerinf.