Abbiamo ancora un bosco, stavolta rettangolare, e 3 amici che partono dal vertice A per raggiungere la fonte F situata al di la del bosco. (vedi figura)
I tre amici partono contemporaneamente.
Alberto segue un sentiero che partendo da A passa per B e C per raggiungere infine F; la sua velocità è pari a w nei primi due tratti (in blu) e v nell'ultimo (in rosso).
Bruno da A si dirige verso D (alla velocità y) e poi prosegue diritto sino a F (alla velocità v).
Carlo segue la via diretta tenendo le velocità x dentro il bosco e v all'esterno.
I tre amici arrivano contemporaneamente alla fonte.
Sapendo che sono espresse con numeri interi le seguenti grandezze:
- distanze AB, BC, CF, AE, AF, DF in metri
- velocità v, w, x, y in kilometri/ora (minori o uguali a 20)
- tempo totale T in secondi
Determinare:
- Le dimensioni del bosco e la distanza fra la fonte ed il bosco stesso
- Le velocità di percorrenza dei vari tratti
- La durata T della camminata
ciao A435
Franco
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chiamo con h l'altezza del rettangolo, con b la base e con l il lato.
In questo caso Alberto percorre i 3 lati in sequenza, quindi $x_{Alberto}=b+h+l$
Bruno percorre l'altezza, poi la diagonale, quindi $x_{Bruno}=h+\sqr{b^2+l^2}$
Carlo percorre la diagonale, quindi $x_{Carlo}=\sqr{b^2+\left\(l+h\right\)^2}$
passando al tempo impiegato, si ha
$t_{Alberto}=V_w\(b+h\)+V_v\cdot l$
$t_{Bruno}=V_y\cdot h+V_v\sqrt{b^2+l^2}$
per Carlo chiamo $\alpha$ l'angolo in alto a destra, fra la diagonale e l'altezza, a questo punto il tratto in cui Carlo procede a velocita x si trova come $h\cos\(\alpha\)$.
Per trovare il resto del percorso si consideri il punto E in cui l'angolo con la base risulta essere complementare ad $\alpha$ ed e' opposto al lato verticale (uso il sin); il secondo tratto e' quindi $l\sin\(\frac{\pi}{4}-\alpha\)$, cioe` $l\cos\(\alpha\)$. Per verificarlo si consideri che $b=\(l+h\)\cos\(\alpha\)$.
A questo punto posso scrivere il tempo percorso da Carlo
$V_w\(b+h\)+V_v\cdot l=V_y\cdot h+V_v\sqrt{b^2+l^2}=V_x\cdot h\cos\(\alpha\)+V_v\cdot l\cos\(\alpha\)$
mi ritrovo con un sistema a 3 equazioni e piu' di 3 incognite, e ora??
... ora non so! Ho appena cominciato a cimentarmi anch'io
Occhio però che c'è un errore nei tuoi conti: il tempo è dato da distanza fratto velocità (tu hai moltiplicato )
ciao
Franco
ENGINEER
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ops... hai ragione... riscrivo il tempo percorso dai tre
$t_{Alberto}=\frac{b+h}{V_w}+\frac{l}{V_v}$
$t_{Bruno}=\frac{h}{V_y}+\frac{\sqrt{b^2+l^2}}{V_v}$
$t_{Carlo}=\frac{h\cos\(\alpha\)}{V_x}+\frac{l\cos\(\alpha\)}{V_v}$
io avevo gettato la spugna e stavo proprio per andare a sbirciare la soluzione dalla fonte del problema.
Avevo però mantenuto una griglia in excel fatta per valutare i miei tentativi (infruttuosi) e l'ho alimentata con i tuoi numeri:
Sembra che tutto fili alla perfezione.
Come ci sei arrivato?
Franco
ENGINEER
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Franco ha scritto: come ci sei arrivato?
Ci sono arrivato, in maniera piuttosto laboriosa, considerando innanzi tutto le quattro condizioni poste dal testo:
1) le distanze AB, BC, CF, AE, AF, DF, espresse in metri, devono essere intere;
2) le velocità v, w, x, y, espresse in km/h, devono essere intere;
3) ciascuna delle velocità v, w, x, y non deve superare i 20 km/h;
4) il tempo totale T, espresso in secondi, deve essere intero.
Per prima cosa ho quindi cercato le condizioni per cui la figura abbia lati razionali, da cui, per similitudine, la si possa ridurre ad avere lati interi.
Per far questo è sufficiente che i triangoli DCF ed ECF siano razionali, abbiano cioè lati espressi da numeri razionali. Per far questo sono partito dal generico triangolo rettangolo pitagorico di lati $( 2 \cdot u \cdot v, \quad u^2-v^2, \quad u^2+v^2)$ ed ho posto
$CE = 4 \cdot m \cdot n \cdot p \cdot q \quad CF = 2 \cdot m \cdot n \cdot (p^{2}-q^{2})$ da cui $EF = 2 \cdot m \cdot n \cdot (p^{2}+q^{2})$
Ho poi posto $DC = (m^{2}-n^{2}) \cdot (p^{2}-q^{2})$ da cui $DF = (m^{2}+n^{2}) \cdot (p^{2}-q^{2})$
Per la determinazione di BC ho usato la similitudine $\frac {AB} {BC+CF} = \frac {CE} {CF}$
ottenendo
$BC = \frac{(p^2-q^2) \cdot \left( \left(m^2-n^2 \right) \cdot \left(p^2-q^2 \right)-4 \cdot m \cdot n \cdot p \cdot q \right ) } {2 \cdot p \cdot q }$
$AF = \frac {(p^2-q^2) \cdot (m^2-n^2) \cdot (p^2+q^2) } {2 \cdot p \cdot q }$
$AE = \frac {(p^2+q^2) \cdot ((m^2-n^2) \cdot (p^2-q^2)-4 \cdot m \cdot n \cdot p \cdot q ) } {2 \cdot p \cdot q }$
Considerando m, n, p, q interi opportuni e moltiplicando il tutto per $2 \cdot p \cdot q$ si ottiene una soluzione intera per i lati in figura:
$CE = 8 \cdot m \cdot n \cdot p^2 \cdot q^2 \quad CF = 4 \cdot m \cdot n \cdot p \cdot q \cdot (p^{2}-q^{2}) \quad EF = 4 \cdot m \cdot n \cdot p \cdot q \cdot (p^{2}+q^{2}) \quad DC = 2 \cdot p \cdot q \cdot (m^{2}-n^{2}) \cdot (p^{2}-q^{2})$
$DF = 2 \cdot p \cdot q \cdot (m^{2}+n^{2}) \cdot (p^{2}-q^{2}) \quad BC = (p^2-q^2) \cdot ((m^2-n^2) \cdot (p^2-q^2)-4 \cdot m \cdot n \cdot p \cdot q ) \quad AF = (p^2-q^2) \cdot (m^2-n^2) \cdot (p^2+q^2) \quad AE = (p^2+q^2) \cdot ((m^2-n^2) \cdot (p^2-q^2)-4 \cdot m \cdot n \cdot p \cdot q )$
I lati sono definiti a meno di un fattore di similitudine. Vale a dire che possono essere moltiplicati per un intero arbitrarionon nullo o essere divisi per un fattore comune.
Inoltre i parametri m, n, p, q devono essere scelti in modo da aversi tutti valori positivi.
Passo ora ai tempi di percorrenza.
(il fattore 18/5 proviene dalla conversione delle velocità da Km/h a m/s).
Ponendo $T_2=T_1 \quad T_3=T_1$ si possono ricavare x e y:
$x= \frac{AE \cdot v \cdot w}{(AB+BC) \cdot v + (CF-EF) \cdot w} \quad y= \frac{BC \cdot v \cdot w} {(AB+BC) \cdot v + (CF-DF) \cdot w}$
Anche le velocità devono essere intere per cui pongo $w = \frac {h}{k} \cdot v$ , con h e k interi opportuni, e ottengo
$x= \frac {AE \cdot v \cdot h} {(AB+BC) \cdot k + (CF-EF) \cdot h} \quad y= \frac {BC \cdot v \cdot h}{(AB+BC) \cdot k + (CF-DF) \cdot h}$
Infine ponendo
$v=k \cdot ((AB+BC) \cdot k + (CD-EF) \cdot h) \cdot ((AB+BC) \cdot k + (CD-DF) \cdot h)$
si ricava
$w=h \cdot ((AB+BC) \cdot k + (CD-EF) \cdot h) \cdot ((AB+BC) \cdot k + (CD-DF) \cdot h)$
$x=AE \cdot h \cdot k \cdot ((AB+BC) \cdot k + (CD-DF) \cdot h)$
$y=BC \cdot h \cdot k \cdot ((AB+BC) \cdot k + (CD-EF) \cdot h)$
Per h e k interi le velocità sono dunque intere.
I coefficienti h e k devono essere scelti in modo che tutte le velocità v, w x e y risultino positive. Inoltre anche le velocità possono essere moltiplicate per un intero arbitrario o divise per un loro divisore comune; infatti cambiano i tempi ma non i loro rapporti.
A questo punto ho pensato che l'unico modo per soddisfare la condizione relativa al limite per le velocità fosse quello di passare all'esame di particolari casi numerici ed ho cominciato a sostituire ai vari parametri degli interi, partendo dai più piccoli.
Con m=4 n=1 p=3 q=1 ho trovato
da cui, utilizzando questi ultimi lati con le velocità già trovate si ha
$T_1=T_2=T_3=42$
che è la soluzione finale.
E' stata una faticaccia ma il problema mi aveva incuriosito.
Probabilmente esiste un metodo più semplice ed io consiglierei Franco di andare a sbirciare la soluzione dalla fonte del problema anche per vedere se esiste una soluzione diversa da quella che ho trovato io.
Chiedo inoltre per il ritardo con cui ho risposto ma dovevo riordinare il tutto.
Spero inoltre di non aver fatto errori.
Ciao.
Ti rinnovo i complimenti, estendendoli alla esaudiente spiegazione.
Riguardo al tuo suggerimento sono già andato a sbirciare la soluzione e ... sorpresa!
Mi sa che è sbagliata!!! (la loro, non la tua)
Mi prenderò un po' di tempo per studiarla ma mi sembra proprio che stavolta abbiano "cannato".
Comunque la soluzione non è spiegata tanto bene ed è anche in Francese mi serve tempo.
Ci sentiamo fra qualche giorno, sono in partenza.
ciao
Franco
ENGINEER
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Sono tornato nel sito francese per dare uno sguardo alla soluzione.
Non è sbagliata (come avevo erroneamente indicato) ma è diversa dalla tua.
Il motivo è che, traducendo il testo avevo dimenticato una condizione: che le velocità dei vari tratti, oltre ad essere intere, dovevano essere diverse fra loro.
Beh, questo significa che nella mia versione del problema (che ammette anche velocità uguali) sono possibili più soluzioni
In ogni caso la soluzione dei transalpini è stata trovata con la forza bruta, con un programma che provava tutte le possibili velocità su tutti i triangoli pitagorici.
L'ho trasferita su un file word che però non so come mettere a disposizione; se qualcuno mi dice come fare...
Molto meglio la soluzione di Vittorio!
ciao
Franco
ENGINEER
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giobimbo ha scritto:Il primo argomento del Forum: "I SOFTWARE utili" spiega come condividere documenti, leggi gli ultimi due interventi, di Pasquale e Admin.
Grazie mille, mi ricordavo di averlo visto ma non dove!
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)
mi serve tempo.