Ciao.

Mi hanno sottoposto questo. Io l'ho risolto con un po' di forza bruta, ma mi piacerebbe sapere se c'è un'altra via:

Trovare tre numeri razionali x, y e z tali che $x^{2} +5 = y^{2} = z^{2} - 5$
Gianni

Con un po' di "forza bella" ho ridotto il problema alla risoluzione della seguente equazione:

$F^2=\frac{E^2-A^2}{10}$

che ho poi risolto con la "forza brut(t)a":

FOR e=1 TO 300
FOR a=1 TO 300
LET x=(e^2-a^2)/10
IF x>0 THEN
LET y=SQR(x)
IF x=INT(x) AND y=INT(y)THEN
LET f=y
LET b=f
LET d=b
LET c=SQR(a^2+5*b^2)
IF c=INT(c) THEN
PRINT "x=";a;"/";b;" y=";c;"/";d;" z=";e;"/";f
END IF
END IF
END IF
NEXT A
NEXT E
PRINT
PRINT "ci fermiamo qui, perché appare evidente che tutte le frazioni sono riducibili alle prime"
END

Magari qualcuno potrà risolvere anche la citata equazione con la "forza bella".

Dimenticavo di indicare la soluzione, senza che si debba avviare il programma:

$\text x=\frac{31}{12}; y=\frac{41}{12}; z=\frac{49}{12}$

$\text{ }$IL PROCEDIMENTO ADOTTATO

Dal testo del problema, segue il sistema:

$\{x^2+5=y^2\\y^2+5=z^2$

da cui:

$\text 1\) z^2-x^2=10$

Poiché trattiamo con x,y,z razionali, impongo:

$\text x=\frac{A}{B}; x^2=\frac{A^2}{B^2}\\y=\frac{C}{D}; y^2=\frac{C^2}{D^2};\\z=\frac{E}{F}; z^2=\frac{E^2}{F^2}$

in cui A,B,C,D,E,F sono interi positivi

Quindi riscrivo la 1) ed il sistema:

$\text 1) \frac{E^2}{F^2}-\frac{A^2}{B^2}=10$

$\text \{\frac{C^2}{D^2}=\frac{A^2+5B^2}{B^2}\\\frac{C^2}{D^2}=\frac{E^2-5F^2}{F^2}$ $\text \{\frac{C}{D}=\frac{sqrt{A^2+5B^2}}{B} {\{C=sqrt{A^2+5B^2}\\D=B} \\\frac{C}{D}=\frac{sqrt{E^2-5F^2}}{F} \{C=sqrt{E^2-5F^2}\\D=F$

Poiché risulta B=F, la 1) può essere riscritta:

$\text 2) \frac{E^2}{F^2}-\frac{A^2}{F^2}=10$

da cui:

$\text 3) F^2=\frac{E^2-A^2}{10};{ }$in cui dovrà essere E^2-A^2 divisibile per 10 ed F^2 quadrato perfetto (condizioni imposte nel programma Decimal)


Il programma fornisce i valori di E,A,F, che sostituiti nel sistema forniscono i valori delle altre variabili e dunque di x,y,z

Da notare che, siccome la 3) può essere scritta anche nella forma:

$F= sqrt{\frac{E^2-A^2}{10}}$

si deduce che deve essere E>A; nuova condizione questa che semplifica e velocizza il programma (le altre due condizioni impongono E^2-A^2 divisibile per 10 e il radicando quadrato perfetto):

for e=2 TO 1000
FOR a=1 TO e-1
LET r=(e^2-a^2)/10
LET f=SQR(r)
IF r=INT(r)AND f=INT(f)THEN
LET b=f
LET d=f
LET c=SQR(a^2+5*b^2)
IF c=INT(c) THEN PRINT a;b;c;d;e;f
END IF
NEXT A
NEXT E
END

Il risultato del calcolo è che $\frac{E^2-A^2}{10}$ è un quadrato perfetto intero, quando E=k49 ed A=k31.

Se si riesce a dimostrare questo, allora non v'è più bisogno di ricorrere alla forza bruta.

Ho provato ad impostare $\frac{(E-A)(E+A)}{2\cdot 5}=F\cdot F$, traendone 4 sistemi, ma i risultati sono difformi da quelli del Decimal e non sono riuscito a capirne la ragione.

Ciao a tutti

Oh, i numeri congruenti... che capitolo affascinante della matematica!

Il grande Ettore Picutti, autore del preziosissimo "Sul numero e la
sua storia" (Feltrinelli) [*], scrisse diversi articoli storici sull'argomento,
fra i quali la bella ricostruzione "Storia del triangolo numerico",
pubblicata sul n. 185 di Le Scienze (1984).

Pasquale, ti ritrovo sempre non scontato e stimolante nelle tue
analisi, ho visto altri tuoi recenti interventi

Non riesco a fermarmi, sono passato soprattutto per lasciarvi un
saluto. Dico solo due cose veloci.

Le frazioni indicate sono quelle solitamente citate nelle varie trattazioni
del problema, probabilmente perché più facili da scrivere.
In realtà ne possiamo senz'altro dedurre delle altre, come queste, che
ancora si lasciano guardare...[/color]

$\(\frac {3344161}{1494696}\)^2\pm5 = \{{\( \frac {4728001}{1494696} \)^2}\\{\(\frac {113279}{1494696} \)^2}$

Ho scritto dedurre perché esiste una regola, naturalmente nota da
tempo, che comunque è bello ri-scoprire per conto proprio

Il risultato del calcolo è che $\frac{E^2-A^2}{10}$ è un quadrato perfetto intero, quando E=k49 ed A=k31.

Se si riesce a dimostrare questo, allora non v'è più bisogno di ricorrere alla forza bruta.

Questo rapporto, Pasquale, se non ti ho capito male, in effetti può essere
"sistemato" con altre coppie (E, A).
Giusto per farti un esempio, guarda qui. Poiché le variabili al numeratore
devono essere entrambe pari o entrambe dispari, facciamo:

E = m+n
A = m-n

perciò:

E²-A² = 4mn

da cui si deduce che:

5·F² = 2mn

grazie alla quale vediamo subito che:

E = 5r²+2s²
A = 5r²-2s²
F = 2rs

oppure:

E = 10r²+s²
A = 10r²-s²
F = 2rs

etc., sono valide risolventi.
(Spero, ripeto, di non averti frainteso...)

Comunque qui sopra c'è anche una traccia (solo una traccia) che
permette di rispondere al problema di Gianni in maniera più generale.

Passo, chiudo e... volo!



Un abbraccio a tutti




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[*] Da leggere assolutamente, a costo di cercarlo in biblioteca,
peraltro non so se Gianfranco lo abbia segnalato in qualche pagina
di Base Cinque.[/color]

Ciao Bruno, ti leggo in fretta e devo approfondire, ma mi fa picere sentirti. Saluti e salute a te!

E' un famoso problema storico. Nel 1225 l'imperatore Federico II lo propose a Leonardo da Pisa, detto il Fibonacci, che lo risolse fornendo la soluzione trovata da Pasquale.

Per la risoluzione si può procedere nel modo seguente.

Da $x^2+5=y^2=z^2-5$ si ha $y^2-x^2=z^2-y^2=5$: in altre parole si devono cercare tre quadrati in progressione aritmetica di ragione 5.
Dalla prima uguaglianza si trae $x^2+z^2=2 \cdot y^2$ che ammette la soluzione $x=y \quad z=y$.
Poniamo allora $z=y+t \cdot (x-y)$ da cui

$x = \frac {y \cdot (t^{2}-2 \cdot t -1 ) } {t^{2} +1} \quad z = \frac {y \cdot (-t^{2}-2 \cdot t +1 ) } {t^{2} +1}$

Ponendo $t=a/b$ si può quindi scrivere

$x = \left | {a^{2}-2 \cdot a \cdot b -b^{2} } \right | \quad y =a^{2}+b^{2} \quad z = \left | {-a^{2}-2 \cdot a \cdot b +b^{2} } \right |$

che sono i lati di tre quadrati in progressione aritmetica di ragione $d = 4 \cdot a \cdot b \cdot (a+b) \cdot (a-b)$
Nel caso specifico deve essere $d = 5 \cdot n^2$
Per a=5 otteniamo $n^{2} = 4 \cdot b \cdot (5+b) \cdot (5-b)$ che ammette la soluzione b=4 e n=12.
Sostituendo si ha x=31 y=41 z=49 e dividendo per 12 si ottiene la soluzione di Fibonacci

$x = \frac {31} {12} \qquad y = \frac {41} {12} \qquad x = \frac {42} {12}$

Da una soluzione se ne possono dedurre infinite altre.
Sia $\left ( x, \quad y, \quad z \right )$un soluzione. Ponendo b=5 otteniamo $n^2 = 4 \cdot a \cdot (a+5) \cdot (a-5)$.
Quindi per $a=y^2$ si ha $a-5=x^2$ e $a+5=z^2$ da cui $n=2 \cdot x \cdot y \cdot z$
Sostituendo e dividendo per n si ottiene la nuova soluzione

$x' = \left | \frac {y^{4} - 10 \cdot y^2 -25 } {2 \cdot x \cdot y \cdot z} \right | \quad y' = \left | \frac {y^{4} + 25 } {2 \cdot x \cdot y \cdot z} \right | \quad z' = \left | \frac {y^{4} + 10 \cdot y^2 -25 } {2 \cdot x \cdot y \cdot z} \right |$

Partendo dalla prima soluzione trovata si ha allora la soluzione

$\left ( \frac {113279} {1494696} \quad \frac {3344161} {1494696} \quad \frac {4728001} {1494696} \right )$

da questa l'ulteriore soluzione

$\left ( \frac {249563579992463717493803519} {5354229862821602092291248} \quad \frac {249850594047271558364480641} {5354229862821602092291248} \quad \frac {250137278774864229623059201} {5354229862821602092291248} \right )$

e così via.
Ciao.