Determinare tutti i numeri reali m, tali che l'equazione
x^4 - (3m+2)x^2 + m^2 = 0
abbia 4 radici reali in progressione aritmetica
radici in progressione
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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radici in progressione
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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- Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:39 pm
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Sia $P(x)$ il primo membro e sia $a$ una soluzione.
Allora $P(a)=0$, ma per la parità delle potenze del polinomio anche $P(-a)=0$, dunque anche $-a$ è soluzione.
Poichè le soluzioni formano una progressione aritmetica, queste dovranno essere $a,-a,3a,-3a$.
Il polinomio è quindi fattorizzabile nella forma$(x-a)(x+a)(x-3a)(x+3a)$
Svolgo i prodotti e ottengo $x^4-10a^2x^2+9a^4$.
Uguaglio il polinomio dato a quest'ultimo; per il principio di identità dei polinomi dovrà necessariamente essere $(3m+2)=10a^2$ e $m^2=9a^4$, da cui ottengo m=$\pm3a^2$.
Quindi se $m=3a^2, a=\pm\sqrt2$ mentre se $m=-3a^2, a=\pm\sqrt{\frac{2}{19}}$, (salvo errori di calcolo.... sono seduta per terra col portatile mentre il mio piccolo ha usurpato la postazione pc fissa e ogni due secondi "mamma come si salva questo disegno?" "mamma con quante s si scrive assolutamente?"... vedete un po' voi che razza di vita...
Allora $P(a)=0$, ma per la parità delle potenze del polinomio anche $P(-a)=0$, dunque anche $-a$ è soluzione.
Poichè le soluzioni formano una progressione aritmetica, queste dovranno essere $a,-a,3a,-3a$.
Il polinomio è quindi fattorizzabile nella forma$(x-a)(x+a)(x-3a)(x+3a)$
Svolgo i prodotti e ottengo $x^4-10a^2x^2+9a^4$.
Uguaglio il polinomio dato a quest'ultimo; per il principio di identità dei polinomi dovrà necessariamente essere $(3m+2)=10a^2$ e $m^2=9a^4$, da cui ottengo m=$\pm3a^2$.
Quindi se $m=3a^2, a=\pm\sqrt2$ mentre se $m=-3a^2, a=\pm\sqrt{\frac{2}{19}}$, (salvo errori di calcolo.... sono seduta per terra col portatile mentre il mio piccolo ha usurpato la postazione pc fissa e ogni due secondi "mamma come si salva questo disegno?" "mamma con quante s si scrive assolutamente?"... vedete un po' voi che razza di vita...
mathmum
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
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