...ma in questo periodo sto pensando molto anche a Peppe...

...quel molto confesso che mi "preoccupa" un po'...stai meditando lo sfratto?

Admin ha scritto:Salve,
premetto che non ho le conoscenze necessarie per addentrarmi nel mondo delle definizioni.

Voglio solo riportare le definizioni di potenza presenti sul mio libro delle superiori, il mitico Zwirner-Scaglianti:

Def.1) Dato un numero razionale a e un numero intero positivo n maggiore di 1, si chiama potenza ennesima di a il prodotto di n fattori uguali ad a.

Def.2) Si chiama potenza di un numero razionale a secondo l'esponente 1, il numero a stesso; cioè, per definizione, si pone: $a^1\/=\/a$.

Def.3) Si chiama potenza di un numero razionale a, diverso da zero secondo l'esponente zero il numero +1; cioè, per definizione, si pone: $a^0\/=\/+1$.

Credo che siano molto chiare e semplici.

Ciao
Admin

Rileggendo il tutto mi sono accorto che non avevo risposto ad Admin ... Mi scuso e lo faccio "subito".



Quando do una definizione io preferisco non fare aggiunte ("inutili") che la rendono più pesante e meno generale.
Per esempio ("secondo me", ma io credo che "sia vero") se dico:
"un rettangolo è un quadrilatero (piano) che ha i quattro angoli congruenti e i lati adiacenti non congruenti".
do una definizione meno bella di:
"un rettangolo è un quadrilatero (piano) che ha i quattro angoli congruenti".
Con la seconda includo anche i quadrati, che secondo me sono particolare rettangoli, e che hanno moltissime proprietà dei rettangoli (secondo la prima definizione), ed hanno quelle che sono (secondo me ) più importanti.





Nel caso specifico del "mitico Zwirner-Scaglianti" mi dici che cosa cambierebbe (in positivo) se cambiassi la

"Def.3) Si chiama potenza di un numero razionale a, diverso da zero secondo l'esponente zero il numero +1; cioè, per definizione, si pone: a^0\/=\/+1"

in

Def.3) Si chiama potenza di un numero razionale a secondo l'esponente zero il numero +1; cioè, per definizione, si pone: a^0\/=\/+1.
(cioè ho eliminato la dizione "diverso da 0")

Secondo me non cambierebbe nulla di serio (in peggio), ma otterrei una definizione più snella, più generale e soprattutto senza condizioni (assurde) "ad hoc".


Faccio anche presente che l'insieme delle 3 "definizioni" non è armonioso, nel senso che non si vede il senso e come sono collegate, perché sono del tipo "si fa così" senza lascir intravedere il motivo (tipico della didattica delle superiori:






Infine colgo l'occasione per far presente che (secondo me) non mi è stato risposto assolutamente nulla a ciò che per me era il senso principale del post.
In particolare, Ivana, mi avevi detto che mi avresti risposto appena possibile). E il senso di cui sopra lo puoi forse ritrovare (oltre che nel post di apertura) in

La mia richiesta era riferita alla possibilità di definire qualcosa che evidentemente per diverse persone era “nuova”, e cioè:

3° - Estendere il concetto di prodotto anche a “prodotto di un solo fattore”.

4° - Estendere il concetto di prodotto anche a “prodotto di 0 fattori”.

5° - Valutare se è auspicabile che diventi “patrimonio comune”, cioè una “definizione standard.

(che ho tratto da seconda domanda)

o, più nello spicciolo, in

Avevo già detto all'epoca che quando in matematica si vuole estendere un concetto, si usa il principio di permanenza delle proprietà formali...

Concordo, e credo che la mia definizione lo rispetti. Se no dimmi quali proprietà formali non rispetta.

(che ho tratto da terza domanda)

Ciao, Gaspero, purtroppo continuo a non visualizzare i collegamenti inseriti in base 5...
Sto ancora aspettando l'arrivo del tecnico, tanto più che la ventola del mio computer produce un rumore noiosissimo...
Credo, comunque, di aver espresso, in passato, il mio punto di vista e, ora, sono impegnata in altri divertimenti...
Comunque, come sai, sono d'accordo con Mario Ferrari: le definizioni (che ognuno vuole creare) rappresentano una valida educazione alla libertà
Ultimamente mi sto dedicando a piacevoli costruzioni:
1) Ho ordinato, in un elenco, le mie costruzioni geometriche, realizzate con software vari...
http://www.maecla.it/bibliotecaMatemati ... uzioni.htm" onclick="window.open(this.href);return false;

2) Sto sperimentando la realizzazione di frattali "miei" utilizzando soltanto MSWLogo
http://blog.edidablog.it/blogs/index.php?blog=539" onclick="window.open(this.href);return false;

(Io non vedrò i collegamenti che ho appena inserito, ma voi sì, vero?)
Un caro saluto a tutti/e

infinito ha scritto:

Admin ha scritto:Salve,
premetto che non ho le conoscenze necessarie per addentrarmi nel mondo delle definizioni.

Voglio solo riportare le definizioni di potenza presenti sul mio libro delle superiori, il mitico Zwirner-Scaglianti:

Def.1) Dato un numero razionale a e un numero intero positivo n maggiore di 1, si chiama potenza ennesima di a il prodotto di n fattori uguali ad a.

Def.2) Si chiama potenza di un numero razionale a secondo l'esponente 1, il numero a stesso; cioè, per definizione, si pone: $a^1\/=\/a$.

Def.3) Si chiama potenza di un numero razionale a, diverso da zero secondo l'esponente zero il numero +1; cioè, per definizione, si pone: $a^0\/=\/+1$.

Credo che siano molto chiare e semplici.

Ciao
Admin

Rileggendo il tutto mi sono accorto che non avevo risposto ad Admin ... Mi scuso e lo faccio "subito".



Quando do una definizione io preferisco non fare aggiunte ("inutili") che la rendono più pesante e meno generale.
Per esempio ("secondo me", ma io credo che "sia vero") se dico:
"un rettangolo è un quadrilatero (piano) che ha i quattro angoli congruenti e i lati adiacenti non congruenti".
do una definizione meno bella di:
"un rettangolo è un quadrilatero (piano) che ha i quattro angoli congruenti".
Con la seconda includo anche i quadrati, che secondo me sono particolare rettangoli, e che hanno moltissime proprietà dei rettangoli (secondo la prima definizione), ed hanno quelle che sono (secondo me ) più importanti.





Nel caso specifico del "mitico Zwirner-Scaglianti" mi dici che cosa cambierebbe (in positivo) se cambiassi la

"Def.3) Si chiama potenza di un numero razionale a, diverso da zero secondo l'esponente zero il numero +1; cioè, per definizione, si pone: a^0\/=\/+1"

in

Def.3) Si chiama potenza di un numero razionale a secondo l'esponente zero il numero +1; cioè, per definizione, si pone: a^0\/=\/+1.
(cioè ho eliminato la dizione "diverso da 0")

Secondo me non cambierebbe nulla di serio (in peggio), ma otterrei una definizione più snella, più generale e soprattutto senza condizioni (assurde) "ad hoc".


Faccio anche presente che l'insieme delle 3 "definizioni" non è armonioso, nel senso che non si vede il senso e come sono collegate, perché sono del tipo "si fa così" senza lascir intravedere il motivo (tipico della didattica delle superiori:






Infine colgo l'occasione per far presente che (secondo me) non mi è stato risposto assolutamente nulla a ciò che per me era il senso principale del post.
In particolare, Ivana, mi avevi detto che mi avresti risposto appena possibile). E il senso di cui sopra lo puoi forse ritrovare (oltre che nel post di apertura) in

La mia richiesta era riferita alla possibilità di definire qualcosa che evidentemente per diverse persone era “nuova”, e cioè:

3° - Estendere il concetto di prodotto anche a “prodotto di un solo fattore”.

4° - Estendere il concetto di prodotto anche a “prodotto di 0 fattori”.

5° - Valutare se è auspicabile che diventi “patrimonio comune”, cioè una “definizione standard.

(che ho tratto da seconda domanda)

o, più nello spicciolo, in

Avevo già detto all'epoca che quando in matematica si vuole estendere un concetto, si usa il principio di permanenza delle proprietà formali...

Concordo, e credo che la mia definizione lo rispetti. Se no dimmi quali proprietà formali non rispetta.

(che ho tratto da terza domanda)

http://simpatematica.altervista.org/zeroallazero.htm" onclick="window.open(this.href);return false;

spero mi perdonerai se non ho scritto personalmente la spiegazione
la tua definizione minaccerebbe l'integrita' delle proprieta' consuete delle potenze, la continuita' dell'operazione potenza, ecc

Ciao Daniela,
ti rispondo solo ora perché ho letto solo ora quello che mi hai scritto,
ma prima, per evitare malintesi, ricordo alcune “premesse” sul mio approccio:

1ª A me non interessano motivazioni del tipo: “lo ha detto Gauss”, “si legge anche sul sito ...” o “si è sempre fatto così”, ma solo motivazioni “matematiche” o “metamatematiche”.

2ª Se parlando dico “l'affermazione di Tizio è stupida” non intendo assolutamente dire che Tizio è stupido, ma solo che lo è la sua affermazione.

3ª Generalmente cerco di rispondere alle domande specifiche, una alla volta, e mi piacerebbe che venisse risposto alle mie, anche se sembrano domande stupide (eventualmente si fa presente che le mie domande sono stupide).




Detto questo rispondo a quello che mi dici,
ma ribadisco che invece a me, invece, alle mie domande su questi argomenti, generalmente non vengono date “risposte”.






Sul link che hai postato leggo solo le solite assurdità, che io reputo particolarmente gravi.

Nella “prima” (ed unica) "dimostrazione” del tuo link leggo che:

Ma, se così fosse, potremmo dire: $\left \( \frac 1 0 \right \)^0 = \frac {1^0} {0^0} = \frac 1 1 =1$

è evidente che non puoi iniziare una dimostrazione scrivendo l'espressione priva di significato (non lo ha la base) $\left \( \frac 1 0 \right \)^0$, applicare una proprietà a questa espressione, e pi concludere che ora ha significato!
Sarebbe analogo a dire che non si può moltiplicare per 0 perché $\left \( \frac 1 0 \right \) * 0 = 0$ che è un numero reale

mentre l'operazione $\left \( \frac 1 0 \right \) * 0 = 0$ dovrebbe essere priva di significato, essendo priva di significato la scrittura $\frac 1 0$ .

Fra l'altro poi si dice che $\lim_{x\to\0} x^x =1$ è una “argomentazione”a favore di $0^0 =1$, ma sembrerebbe non considerare che la scelta di $x^x$ è quanto meno “poco convincente”, tant'è che $\lim_{x\to\0} x^ {\frac {-1} {ln x}} = \frac 1 e$ e che $\lim_{x\to\0} x^ {\frac 1 {ln x}^2} = o$



Altro non vedo.

Daniela ha scritto:spero mi perdonerai se non ho scritto personalmente la spiegazione
la tua definizione minaccerebbe l'integrita' delle proprieta' consuete delle potenze, la continuita' dell'operazione potenza, ecc

Ti invito a controllare “per davvero” e “di persona” se la “mia definizione” davvero minaccerebbe qualcosa ...

Ciao infinito, penso che cercare di "semplificare" a^b estendendolo anche al caso 0^0 sia un interessante obiettivo.
Il problema è che 0^0:=1 si basa sul fatto d'utilizzare prioritariamente la definizione 3 a^0=1 piuttosto che l'applicazione della definizione 1 ossia 0^b.

A me sinceramente piace più una definizione che non sia in contrasto con un'altra, quindi preferisco una definizione che escluda i contrasti piuttosto che una che imponga una scelta seppur una tra le maggiormente condivisibili.

Ciao Massimo,

Massimo ha scritto:...Il problema è che 0^0:=1 si basa sul fatto d'utilizzare prioritariamente la definizione 3 a^0=1 piuttosto che l'applicazione della definizione 1 ossia 0^b...

No, direi proprio di no. Secondo me 0°=1 è semplicemente vero, per cui si può dimostrare in svariati contesti diversi (cioè non si dimostra solamente perché "scelgo una delle due", come da te riportato).
Per esempio, nello specifico di questo post, chiedevo che cosa ne pensate di estendere il concetto di prodotto anche a 1 o 0 fattori. Se concordate che il prodotto di 0 fattori sia uguale ad 1, allora è ovvio che il prodotto di 0 fattori uguali a 0 è 1, cioè 0°=1, senza passare per la via che a te non piaceva.


Però, visto che hai detto che il problema era questa scelta, se concordi col fatto che al tua perplessità è stata totalmente fugata, allora mi aspetterei che dicessi che la mia proposta è almeno accettabile (da cui mi pare che poi segua che "va accettata", viste le moltissime applicazioni positive).

Invece comunemente quasi tutti esprimono perplessità, ma poi alle mie risposte non argomentano e semplicemente non si fanno più sentire. Allora sicuramente preferisco che uno dica, per esempio: "Non so che rispondere, ma non mi convinci e io non cambio idea" (dichiarazione che ha il grandissimo pregio della chiarezza).


(non vorrei essere offensivo, anche se mi rendo conto che "un po' lo sono":)
Io quindi credo che quasi tutti, su questi argomenti, abbiano delle idee ormai vecchie, e che rispondano più sotto la spinta del "quel che so non lo cambio" che sotto la scelta di un pensiero razionale, eventualmente arricchito da credi "metamatematici".

Massimo ha scritto:0^0:=1 si basa sul fatto d'utilizzare prioritariamente la definizione 3 a^0=1 piuttosto che l'applicazione della definizione 1 ossia 0^b

Aggiungo che questa presunta simmetria non c'è assolutamente: mentre a° comunemente si definisce per tutti i reali diversi da 0, e in tutti fa 1 (per cui si ottiene la funzione x° continua in tutto l'insieme dei reali), la funzione $0^x$ è definita solo sui positivi, ed estenderla in 0 (ammesso che abbia un senso) non la cambia di molto, perché continua a non essere definita sui negativi.

AVVERTENZA: chi è "debole di cuore" non legga il seguito di questo post.
Anzi, come ho detto altrove, se ci si permette un linguaggio "scurrile" (un po' "da fisico"): poiché, se a è positivo si ha che $a^0 = a^x * a^{-x} =1$, per cui "si intuisce" che è come se fosse ... hemmmm ... se ...; sì, via, lo dico: se a=0 è come se fosse $0^0 = 0^{-x} * 0^x = \infty * 0 = 1 = 0^0$.
Il che mi pare che, lungi da essere da ostacolo alla definizione di 0°=1, ne è del tutto coerente ("per quanto può").

Ovviamente questa non è assolutamente la dimostrazione di quanto ho affermato, sia ben chiaro (lo dico per evitare commenti che da qui traggono motivazioni a favore della non definibilità).

Non so bene perche' questo argomento susciti cosi' tante polemiche, quando mi sembra di una chiarezza disarmante. Abbiamo una funzione a valori reali di due variabili reali che si chiama f(x,y)=y^x, che ha il suo campo di esistenza (lo lasciamo precisare ai lettori pazienti). Siamo, per qualche ragione, interessati al suo comportamento vicino a (0, 0). Prendiamo innanzitutto atto che ha senso chiedersi quale sia il limite per (x, y) ---> (0, 0) dal momento che in ogni intorno arbitrariamente piccolo del punto in questione abbiamo dei punti in cui la funzione e' definita. A questo punto considero la restrizione della f all'asse delle x nel 1 quadrante, cioe' quello su cui y=0 e x e' strettamente positivo, la funzione su tale cammino e' a valore costante e assume valore uguale a 0. Dopodiche' considero la restrizione delle f all'asse su cui x=0 e y e' strettamente positivo, la funzione su tale cammino e' costante e vale 1. Abbiamo quindi dimostrato che il limite nell'origine non esiste, in quanto, se esistesse, dovrebbe essere uguale a 0 ma anche uguale a 1.
Nulla vieta di definire la funzione g, definita come g=f sul campo di esistenza di f e g=1 su (0, 0). Ma perche' non la h che vale 0 nell'origine? o la j che vale 1/2 nell'origine? o la k che vale pigreco? Nulla vieta di definirla, si sta pero' argomentando che la g non e' piu' naturale delle altre, e che la sua utilita' non e' poi cosi' ovvia (in quanto in tutti i conti andrebbe spezzata in "f sul proprio campo di esistenza" e "punto origine aggiunto d'autorita' al dominio")
Spero di non essere stata troppo scurrile anche se sono un fisico!

Daniela ha scritto:Non so bene perche' questo argomento susciti cosi' tante polemiche...

Non so bene chi e quali polemiche siano state suscitate: mi pare che solo io (nei post) propenda per la definizione di prodotto di 1 o 0 fattori, il che include, come caso particolare, anche che 0°=1, ma non mi pare di fare polemiche ... può darsi che semplicemente non me ne avveda: io mi lamentavo solamente del fatto che non trovo risposte “razionali” alle mie domande.


Tu ora me ne hai data una, anche se non alla mia domanda (sulla possibilità di definire il prodotto di 0 o 1 fattori).
Ma naturalmente ti rispondo.

Tu ti limiti a constatare che non esiste il limite della tua f(x; y) nell'origine (limite che ovviamente si fa sui reali), e questo è un dato di fatto. Ma io non dico che quella è una motivazione importante alla definizione di 0°=1 (anzi: è nel tuo link precedente che si diceva una cosa del genere, e io te l'ho fatta notare nella mia risposta).

Che la funzione non sia continua nell'origine può non piacere, ma non deve necessariamente significare che allora non si definisce (o “non si estende”) la funzione in O(0; 0).
Sarebbe come non voler definire la funzione “parte intera di x” sugli interi, ma solo sugli altri reali, in modo da ottenere una funzione continua, o non voler definire la funzione di Dirichlet sui razionali (o sugli irrazionali), solo perché non c'è altro modo di renderla continua.






No, le motivazioni per 0°=1 sono diverse e molteplici, ma sono un po' OT, quindi mi limito a riassumertele (le postai tempo fa, volendo posso riproporle, eventualmente in una nuova apposita discussione, visto che mi pare che quella vecchia non si trovi più negli archivi; oppure si può provare a chiedere a Pasquale se le ha nel suo hard disk).


1ª Nella “prima” definizione di potenze (quando si introducono) si definisce $a^n$ per ogni a reale e n naturale. Qui nella definizione $a^0 =1$ l'eventuale aggiunta con $a \neq 0$ è totalmente gratuita, e il problema del limite semplicemente non esiste.
È solo dopo aver esteso la definizione anche agli n razionali e/o reali che si può eventualmente presentare il problema del limite, ma non è assolutamente tale da obbligare (o “indurre”) a cambiare una definizione precedente.


2ª Come la somma e il prodotto, anche la potenza ha una sua definizione insiemistica, che io reputo “precedente” (non in senso storico, ma logico) a quella standard, e secondo questa definizione (ovviamente) 0°=1.


3ª Ovviamente in questa discussione si doveva valutare la possibilità di definire il prodotto di 0 fattori (che ovviamente vale 1) che ha tantissime conseguenze “positive” (secondo me, ma controlla quanto scritto al punto “i Quali sono i vantaggi dell'accettare questa definizione? ” del post iniziale, in particolare di come si accetta che 0!=1). E anche da questa definizione (che, secondo me, è ancora precedente la definizione di potenza) segue che 0°=1.


4ª La definizione 0°=0 non regge il confronto, anche perché non è compatibile con la proprietà $a^{-n} = \left ( \frac 1 a \right ) ^n$, perché, essendo 0=-0, deve essere che $a^{-n} = a^n$.
In realtà questa proprietà non è definita per i numeri naturali, ma solo per i relativi (anche non interi), ma abbiamo visto che se ci si limita ai soli naturali non ci sono problemi per 0°=1, invece se ci si spinge anche solo agli interi relativi abbiamo un problema intrinseco alle potenze: non vale una delle proprietà. Nessun confronto col fatto che estendendo la famosa funzione nell'origine si ottiene una funzione non continua (e lo sarebbe anche con 0°=0).

Daniela ha scritto:Non so bene perche' questo argomento susciti cosi' tante polemiche, quando mi sembra di una chiarezza disarmante...

Io diffiderei delle cose così ovvie da non meritare di essere valutate ...

Daniela ha scritto:...e che la sua utilita' non e' poi cosi' ovvia (in quanto in tutti i conti andrebbe spezzata in "f sul proprio campo di esistenza" e "punto origine aggiunto d'autorita' al dominio")...

Sulla “non ovvietà” della sua utilità puoi rispondermi in relazione a quanto ho detto al punto “i Quali sono i vantaggi dell'accettare questa definizione? ” del post iniziale?

Daniela ha scritto:...Spero di non essere stata troppo scurrile anche se sono un fisico!

No, non c'era polemica nel mio definire “da fisico” un parlare che fa accapponare la pelle ad alcuni matematici. Tant'è che lì ho detto quello che penso io.
Volendo, però, forse posso trovare quello che non va nel tuo discorso e che penso dipenda dal tuo essere una fisica: mi sto convincendo che per voi una funzione DEVE essere continua, parafrasando Nino Manfredi (“Il caffè è un piacere, se non è bono che piacere è?”) voi spesso pensate “Una funzione è una funzione vera, se non è continua che funzione è?”

No, spiacente Gaspare, ricordo la lunga discussione dell'epoca sull'argomento 0^0=1, ma da allora più volte ho riformattato il disco ed anche cambiato p.c. e spesso accade che in questi frangenti si perdono i dati.
Tuttavia, sono sicuro al 99,99% che Peppe potrebbe tirar fuori il coniglio dal cilindro.
Peppì, se ci sei batti un colpo!

Ah, sì: era Peppe che aveva le vecchie discussioni ...

Pasquale ha scritto:No, spiacente Gaspare, ...

... Gaspero.

Ciao Pasquale, bentrovato.

Sorry boys, ma concordo assolutamente con Daniela, malgrado sia un fisico!!!

Simona

Salute a te Inf, scusa se ti ho anagrammato il nome (quasi).

Comunque, già che ci siamo, vorrrei porre all'attenzione un dubbio che mi assilla:

nella funzione $y^x$, per y ed x tendenti a 0, cambia qualcosa se, nel tendere a zero, è sempre y<x, o y>x , o y=x, ai fini della definizione del valore di $0^0$ ?

Pasquale ha scritto:Comunque, già che ci siamo, vorrrei porre all'attenzione un dubbio che mi assilla:

nella funzione $y^x$, per y ed x tendenti a 0, cambia qualcosa se, nel tendere a zero, è sempre y<x, o y>x , o y=x, ai fini della definizione del valore di $0^0$ ?

Ciao Pasquale,
"Si sa" che, se $y$ è positivo, $\lim_{y\to\0} y^y = 1 = \lim_{x\to\infty} y^0$, e poiché $y^y$ è definitivamente crescente, è ovvio che, se 0<x<y , $\lim_{y\to\0} y^x = 1$, invece se x>y le cose possono essere diverse (comunque il limite continua ad essere 1 se x è una funzione polinomiale di y infinitesima in 0).

Spero di esserti stato utile.