Scottish Book n.152

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Gianfranco
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Scottish Book n.152

Messaggio da Gianfranco »

Cari amici,
Ecco il problema n.152 dello Scottish Book.
Chi ha un po' di tempo per tradurlo in italiano?

Grazie, buone vacanze e buon lavoro.

Gianfranco
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Scottish Book n.152
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Pace e bene a tutti.
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mathmum
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Re: Scottish Book n.152

Messaggio da mathmum »

sempre fronte mare....

Un disco di raggio 1 ricopre almeno due punti, aventi coordinate intere $(x,y)$, con $x\leq5, y\leq5$.
Se al disco vengono applicate delle traslazioni di vettore $nw$, con $n=1,2,3,...$ e tale che il vettore $w$ abbia entrambe le componenti irrazionali, a rapporto irrazionale, allora i numeri 2, 3, 4 si ripetono indefinitamente.
Qual è la frequenza di tali eventi per $n\rightarrow\infty$?
Tale frequenza esiste?

(per il calcolo della frequenza: 100 grammi di caviale)
(per la dimostrazione dell'esistenza della frequenza: una birra piccola)


aggiunta della mathmum: per chi lo traduce meglio di me o comunque ne capisce il significato, offro io un piatto di spaghetti con bottarga e zucchine :roll:
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

panurgo
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Re: Scottish Book n.152

Messaggio da panurgo »

Immagina di avere il disco in questione in una posizione arbitraria all'interno di un reticolo di passo $1$: il disco coprirà $2$, $3$, $4$ o $5$ punti.
Se lo trasli per esempio del vettore $\left (\left (0, \/ 0 \right), \/ \left (1, \/ 1 \right)\right)$ il disco coprirà lo stesso numero di punti della posizione precedente; viceversa, un vettore di componenti irrazionali a rapporto irrazionale porta sicuramente, a furia di traslazioni, a coprire un numero di punti diverso dalla posizione precedente...
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

mathmum
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Re: Scottish Book n.152

Messaggio da mathmum »

Grazie Pan,
a prima vista il testo del problema mi appariva esattamente come il messaggio che mi precede !!!!
(voglia di concentrarmi=zero...)
Buone vacanze!
S.
mathmum

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