Un problema di maturità 2008

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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karl
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Un problema di maturità 2008

Messaggio da karl »

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Chiedo scusa ai responsabili del Forum se contemporaneamente
posto la traccia di un problema di maturità 2008 ed insieme anche
una mia soluzione.Non si tratta di una soluzione elementare
( sebbene non contenga concetti insuperabili) e quindi non adatta
ad un maturando.Prendetela solo come una...divertente variazione sul tema !!

Traccia:
Dati nel piano cartesiano i punti A(1,0),B(3,0) e la retta a di equazione y=2x,
determinare il luogo dell'ortocentro H del triangolo ABC al variare di C su a


Soluzione:
Per ogni posizione di C su a facciamo corrispondere alla retta per A
e perpendicolare a BC la retta per B perpendicolare ad AC ( fig.0).
In tal modo nasce tra i fasci di rette di centri A e B una corrispondenza
(1,1) [uno-a-uno] ed il luogo delle intersezioni delle rette corrispondenti,cioé
il luogo dell'ortocentro H del triangolo ABC,è una curva di ordine 1+1=2
( ovvero una conica) ,passante per A e B.Inoltre l'asse di AB,di equazione x=2,
interseca la retta a nel punto C(2,4) (vedi fig.3) ed è facile calcolare che l'ortocentro
del triangolo isoscele ABC, per questa particolare posizione di C su a ,è
il punto (2,1/4).Pertanto la nostra conica passa anche per H(2,1/4)
Dimostriamo ora che la conica è in realtà una iperbole avente gli asintoti
paralleli alle rette x=0 ( asse y) e x+2y=0 (retta perpendicolare ad a ,condotta
dall'origine O).
A tale scopo osservo in primis che ,se C coincide con l'origine O,la perpendicolare
ad AC condotta da B e la perpendicolare a BC condotta per A sono parallele all'asse y
e dunque l'ortocentro H va all'infinito nella direzione dell'asse y ( fig.1).
In secondo luogo ,se AC e BC sono parallele alla retta a ovvero se si sceglie C all'infinito
nella direzione della retta a,la perpendicolare ad AC per B e la perpendicolare a BC
per A sono entrambe perpendicolari ad a e dunque l'ortocentro H va all'infinito
nella direzione perpendicolare ad a (fig.2)
Possiamo pertanto concludere che il luogo richiesto è una iperbole di equazione:
$\large x(x+2y)+ax+by+c=0$
Imponendo il passaggio per A(1,0),B(3,0) ed H( 2,1/4) si ottiene facilmente l'equazione finale :
$\large x^2+2xy-4x+3=0$
oppure in forma esplicita rispetto ad y:
$\large y=-\frac{x^2-4x+3}{2x}$
Di tale curva si prenderà poi la parte corrispondente alle limitazioni del problema.
karl

Quelo
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Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Un problema di maturità 2008

Messaggio da Quelo »

Era consentito l'uso di Geogebra ? :wink:

[Sergio] / $17$

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