Un problema di maturità 2008
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Un problema di maturità 2008
Chiedo scusa ai responsabili del Forum se contemporaneamente
posto la traccia di un problema di maturità 2008 ed insieme anche
una mia soluzione.Non si tratta di una soluzione elementare
( sebbene non contenga concetti insuperabili) e quindi non adatta
ad un maturando.Prendetela solo come una...divertente variazione sul tema !!
Traccia:
Dati nel piano cartesiano i punti A(1,0),B(3,0) e la retta a di equazione y=2x,
determinare il luogo dell'ortocentro H del triangolo ABC al variare di C su a
Soluzione:
Per ogni posizione di C su a facciamo corrispondere alla retta per A
e perpendicolare a BC la retta per B perpendicolare ad AC ( fig.0).
In tal modo nasce tra i fasci di rette di centri A e B una corrispondenza
(1,1) [uno-a-uno] ed il luogo delle intersezioni delle rette corrispondenti,cioé
il luogo dell'ortocentro H del triangolo ABC,è una curva di ordine 1+1=2
( ovvero una conica) ,passante per A e B.Inoltre l'asse di AB,di equazione x=2,
interseca la retta a nel punto C(2,4) (vedi fig.3) ed è facile calcolare che l'ortocentro
del triangolo isoscele ABC, per questa particolare posizione di C su a ,è
il punto (2,1/4).Pertanto la nostra conica passa anche per H(2,1/4)
Dimostriamo ora che la conica è in realtà una iperbole avente gli asintoti
paralleli alle rette x=0 ( asse y) e x+2y=0 (retta perpendicolare ad a ,condotta
dall'origine O).
A tale scopo osservo in primis che ,se C coincide con l'origine O,la perpendicolare
ad AC condotta da B e la perpendicolare a BC condotta per A sono parallele all'asse y
e dunque l'ortocentro H va all'infinito nella direzione dell'asse y ( fig.1).
In secondo luogo ,se AC e BC sono parallele alla retta a ovvero se si sceglie C all'infinito
nella direzione della retta a,la perpendicolare ad AC per B e la perpendicolare a BC
per A sono entrambe perpendicolari ad a e dunque l'ortocentro H va all'infinito
nella direzione perpendicolare ad a (fig.2)
Possiamo pertanto concludere che il luogo richiesto è una iperbole di equazione:
$\large x(x+2y)+ax+by+c=0$
Imponendo il passaggio per A(1,0),B(3,0) ed H( 2,1/4) si ottiene facilmente l'equazione finale :
$\large x^2+2xy-4x+3=0$
oppure in forma esplicita rispetto ad y:
$\large y=-\frac{x^2-4x+3}{2x}$
Di tale curva si prenderà poi la parte corrispondente alle limitazioni del problema.
karl