Le noccioline

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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0-§
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Messaggio da 0-§ »

Ripropongo nuovamente questo vecchio topic di microproblemi per non aprire un nuovo topic solo per questo quesito veloce e simpatico.
Brevemente: un manipolo di legionari scende nel campo di battaglia, coi soldati disposti nella classica formazione a quadrato. Dopo un assalto delle truppe avversarie cade l'intera prima fila di uomini e dopo un secondo attacco ne cadono altri otto. I restanti legionari si ridispongono a formare un quadrato. Quanti erano i legionari all'inizio della battaglia?
Forse esiste una soluzione immediata e ovvia ma io ne ho trovata solo una lunga e calcolosa... chi sa aiutarmi?

Buonanotte a tutti
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

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Quelo
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Messaggio da Quelo »

Visto che 16 mi sembra un numero piuttosto esiguo (anche se trattasi di manipolo) direi che erano 81 disposti 9x9, dopo il primo assalto cadono i 9 della prima fila e ne rimangono 72, dopo il secondo assalto ne rimangono 64 che si ridristribuiscono 8x8.
In alternativa erano più di 1.000.000 che è fin dove ho controllato.
[Sergio] / $17$

Quelo
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Messaggio da Quelo »

Siano x, y e z numeri interi.

$x^2-x-8=y^2$

$x^2-x-(8+y^2)=0$

$x=\large \frac{1 \pm \sqrt{33+4y^2}}{2}$

perché x sia intero deve essere 33+4y² un quadrato perfetto

$33+4y^2=z^2$

$z^2-4y^2=33$

se è un quadrato perfetto anche 4y² lo è.

Vediamo anche che per y>8

$(2y+1)^2-(2y)^2>33$

per cui le soluzioni vanno ricercate per y compreso tra 1 e 8.

$\{ y=2 \\ y=8 \. \to \{ x^2=16 \\ x^2=81$
[Sergio] / $17$

0-§
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Messaggio da 0-§ »

Giusto!
La mia soluzione coincide con quella di quello fino al punto
$\displaystyle z^2-4y^2=33$
Io a questo punto ho scomposto $\displaystyle (z-2y)(z+2y)=3\cdot11=1\cdot33$ e i due fattori a primo membro devono valere 1 e 33 o 3 e 11(poichè sono ambedue interi per i termini del problema). Questo genera questa sequela di sistemi:
$\{ z-2y=1 \\ z+2y=33 \.$

$\{ z-2y=3 \\ z+2y=11 \.$

$\{ z-2y=33 \\ z+2y=1 \.$

$\{ z-2y=11 \\ z+2y=3 \.$

ciascuno dei quali dà una soluzione diversa. Gli ultimi due pero danno soluzioni con y negativo (da scartare per i termini del problema).
Quindi vanno bene le prime due che danno (z=17, y=8, x=9) e (z=7, y=2, x=4)

Altri metodi?
Ciao a tutti
Zerinf
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giobimbo
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Messaggio da giobimbo »

Se qualcuno conosce i numeri triangolari Tn sa che il numero Tn è formato da n(n+1)/2 legionari, quindi potrebbe ragionare così:

Il manipolo e formato da x file di x legionari ciascuna, dunque quando cade la prima in tutto rimangono (x-1)x legionari, ovvero, ponendo (x-1)=n, rimangono n(n+1) legionari.
Ma n(n+1) = 2Tn e due numeri triangolari formano un quadrato solo se essi sono consecutivi:
T(n-1) + Tn = n^2

Opportunamente muoiono altri 8 legionari per cui è istintivo pensare a n=8, quindi uno dei T8 diventa T7 e:
n(n+1) - 8 = T7 + T8 = 8^2
(x-1)x - 8 = n(n+1) - 8 = 8^2
x^2 - x - 8 = (x-1)x - 8 = 8^2
da cui ricaviamo x=9 e i legionari erano 81.

Br1
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Messaggio da Br1 »

A me è capitato di pensarla così.

Parto naturalmente da:

x²-x-8 = y²

ma non la tratto come una quadratica.

Vedo subito che per x > 9:

x² > x²-x-8 > x²-2x+1 = (x-1)².
Bruno

0-§
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Re: Le noccioline

Messaggio da 0-§ »

Riesumare vecchi topic oramai è la mia passione :oops:
Sapendo che
$\displaystyle x+y+z=0$
e
$\displaystyle x^2+y^2+z^2=14$,
quanto fa
$\displaystyle x^4+y^4+z^4=?$

Bye!

P.S. Come faccio a fare il comando \boxed sul forum? E' quello necessario per mettere un equazione in un "rettangolo"... spero di essermi spiegato
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Pasquale
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Re: Le noccioline

Messaggio da Pasquale »

Forse potresti utilizzare un'immagine:

Immagine
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$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

franco
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Re: Le noccioline

Messaggio da franco »

0-§ ha scritto:Sapendo che
$\displaystyle x+y+z=0$
e
$\displaystyle x^2+y^2+z^2=14$,
quanto fa
$\displaystyle x^4+y^4+z^4=?$
Direi che $\displaystyle x^4+y^4+z^4=98$
(x = 1 , y = 2 , z = -3)

ciao
Franco

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Pasquale
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Re: Le noccioline

Messaggio da Pasquale »

A parte tutte le simmetrie possibili, includerei anche il caso:

x=-2; y=-1; z=3
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

0-§
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Re: Le noccioline

Messaggio da 0-§ »

Ora naturalmente vogliamo sapere come è stato ottenuto il risultato :mrgreen:

P.S. Quelle soluzioni non importano, ricordate che in questo sistema $x,y,z \in \mathbb R$ quindi esiste un'infinità di possibili soluzioni :wink:
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Re: Le noccioline

Messaggio da franco »

Anche qui poca gloria:
che 14 fosse scomponibile nella somma di 3 quadrati ($1^2+2^2+3^2$) era abbastanza immediato, non restava che giocare un attimo coi segni per azzerare la somma delle basi.

Naturalmente non è e non voleva essere una soluzione generale; provo a ragionarci su.

ciao
Franco

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Admin
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Re: Le noccioline

Messaggio da Admin »

Ciao,
mi sembra basti fare qualche sostituzione.

$x+y+z = 0\qquad\Rightarrow\qquad x=-y-z$

Sostituiamo nella seconda:

$x^2+y^2+z^2=14\qquad\Rightarrow\qquad (-y-z)^2+y^2+z^2-14=0\qquad\Rightarrow\qquad y^2+z^2+yz-7=0$

Risolvendo secondo $y$ si ottiene:

$y={\large\frac{-z\pm \sqrt{-3z^2+28}}{2}}$

ossia

$\{ y_1={\large\frac{-z\/+\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}} \\ y_2={\large\frac{-z\/-\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}$

Andiamo ora a ricavare i valori $x_1$ e $x_2$, sostituendo, rispettivamente, $y_1$ e $y_2$:

$\{ x_1=\/-\/\({\large\frac{-z\/+\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}\)\/-\/z\qquad\Rightarrow\qquad {\large\frac{-z\/-\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}} \\x_2=\/-\/\({\large\frac{-z\/-\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}\)\/-\/z\qquad\Rightarrow\qquad {\large\frac{-z\/+\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}$

Ora andiamo a sostituire le coppie $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ trovate, nell'espressione $x^4+y^4+z^4$.
Prima di sostituire, si nota che $x_1=y_2$ e $x_2=y_1$; ciò significa che ${x_1}^4+{y_1}^4+z^4\/=\/{x_2}^4+{y_2}^4+z^4$
Per cui sostituiamo solo la coppia $(x_1, y_1)$. Si ottiene:

$x^4+y^4+z^4\/=\/\({\large\frac{-z\/-\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}\)^4\/+\/\({\large\frac{-z\/+\/\sqrt{-3z^2\/+\/28}}{2}}\)^4\/+\/z^4$

Sviluppando le potenze di binomio e semplificando si ottiene:

$x^4+y^4+z^4\/=\/98$

SE&O

Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

0-§
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Re: Le noccioline

Messaggio da 0-§ »

Penso di poter postare ora la risposta rapida :D
Sapendo che
$\displaystyle x+y+z=0$ (A)
e
$\displaystyle x^2+y^2+z^2=14$ (B)
elevando al quadrato entrambi i membri di (A) e considerando la condizione (B) si trova che
$\displaystyle 0^2=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)\\=14+2(xy+xz+yz)$
pertanto
$\displaystyle xy+xz+yz=-7$. (1)

Ora elevando al quadrato entrambi i membri di (1) si trova
$\displaystyle 49=(xy+xz+yz)^2=x^2 y^2+x^2 z^2+y^2 z^2 + 2x^2 yz+2xy^2 z+2xyz^2\\=x^2 y^2+x^2 z^2+y^2 z^2 + 2xyz(x+y+z)=x^2 y^2+x^2 z^2+y^2 z^2$. (2)

Ultimo atto:elevando al quadrato entrambi i membri di (B) e usando quanto appena visto in (2)
$\displaystyle 14^2=(x^2+y^2+z^2)^2=x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2 y^2 +2x^2 z^2 +2y^2 z^2\\=x^4 + y^4 + z^4 +2\cdot 49$
sicchè
$\displaystyle x^4 + y^4 +z^4= 98$.

Bello, nevvero? :mrgreen:

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Re: Le noccioline

Messaggio da Pasquale »

Si, beddissimo fu
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