Two chips

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Br1
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Two chips

Messaggio da Br1 »

1) $\;$ Dalla relazione:

$x^2+y^2+xy = X^2+Y^2+XY$

segue questa:

$x^4+y^4+(x+y)^4 = X^4+Y^4+(X+Y)^4$.



2) $\;$ Se n è un intero qualsiasi, i numeri con la forma:

$n(n-3)(n^2-7n+14)$

sono sempre divisibili per 8.
Bruno

Jumpy94
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Re: Two chips

Messaggio da Jumpy94 »

1)
Elevando al quadrato ambo i membri e moltiplicando per due si avrà:
$x^4+y^4+\underbrace{x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4}_{(x+y)^4}=X^4+Y^4+\underbrace{X^4+4X^3Y+6X^2Y^2+4XY^3+Y^4}_{(X+Y)^4}$

2)
1.$n$ pari.
I numei pari si alternano tra quelli che fattorizzati presentano1) $2^1$, e quelli che presentano 2) $2^{2+k}=2^22^k$. Nel primo caso scrivo:
$(\frac{n}{2})(n-3)[(\frac{n}{2})^2+7\frac{2-n}{2^2}]$
A qusto punto $(2-n)$ sarà del secondo tipo, sicché si è dimostrata la divisibilità.
Nel secondo caso scrivo:
$(\frac{n}{2^2})(n-3)[\frac{n^2}{2}+7(1-\frac{n}{2})]$
e concludo la dimostrazione per i pari.
2. $n$ dispari.
Ora $(n-3)$ sarà pari, e quindi o del primo tipo o del secondo.
Se del secondo scrivo:
$n(\frac{n-3}{2^2})\{n[\frac{n-3}{2}-2]+7\}$
Se del primo
$n\frac{n-3}{2}\{\frac{n[\frac{n-3}{2}-2]+7}{2}\}$
laddove $n[\frac{n-3}{2}-2]+7$ è certamene pari giacché somma di dispari.

Credo si possa generalizzare
$8 | n(n-k_1)(n^2-k_2n+2k_2)\qquad$con $k_1<k_2$, entrami dispari
Spero di non aver detto cavolate!!
Ciao
Una vita senza ricerca
non è degna di essere vissuta.
Socrate

karl
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Re: Two chips

Messaggio da karl »

N° 2
Una certa semplificazione di calcoli si può ottenere operando in mod 8.In tal caso
il polinomio diventa :
(1) $\large n^4+6n^3+3n^2-2n=n(n+1)(n^2+5n-2)$
Per quello che serve è sufficiente suppore
n pari divisibile per 4: n=4h
n pari ma non divisibile per 4:n=4h+2
n dispari :n=4h+1,oppure n=4h+3
Sostituendo tali valori in (1) si vede facilmente che il polinomio ridotto
diventa divisibile per 8.
karl

Br1
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Re: Two chips

Messaggio da Br1 »

Yesss :D

Jumpy, ho incontrato un po' di difficoltà
a percorrere la tua seconda dimostrazione,
ma alla fine credo di esserci riuscito :wink:
Trovo molto simpatico questo tuo modo di
manipolare le formule!
Senz'altro, tuttavia, la generalizzazione
che proponi non è valida. Però è carina e
penso sia interessante metterla a posto.
Ok per il primo problema, naturalmente :D

Ottimo Karl!

A me è capitato di riscrivere l'espressione
del secondo quiz così:


$\small n(n-3)(n^2-7n+14) = n(n-3)\[(n-1)(n-2)-4(n-3)\]=n(n-1)(n-2)(n-3)-4n(n-3)^2$

da cui ho dedotto la proprietà.
Bruno

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