Siano a,b,c tre numeri reali ed n un intero( positivo) dispari qualunque.
Dimostrare che se è :
$\large \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
risulta pure:
$\large\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$
karl
Una curiosa relazione
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Una curiosa relazione
Ultima modifica di karl il lun mag 12, 2008 12:09 pm, modificato 1 volta in totale.
Re: Una curiosa relazione
Io ho ragionato così:
$\large \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{ab + bc + ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$
uguagliando i numeratori e i denominatori
$\left\{{ab + bc + ac = 1} \\ {abc = a + b + c} \right$
dalla seconda
$c = \frac{a + b}{ab - 1}$
e dalla prima
$ab + \frac{{a(a + b)}}{{ab - 1}} + \frac{{b(a + b)}}{{ab - 1}}=1$
raccogliendo e semplificando
$a^2 + b^2 + a^2 b^2 - 1 = 0$
da cui
$a=\sqrt{-1}$ ; $b=a$ ; $c=-a$
$\large \{a = \imath \\ b = \imath \\ c = -\imath \. \;\; \vee \;\; \{a = -\imath \\ b = -\imath \\ c = \imath$
dalla prima
$\large \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} \; \to \; -\imath = -\imath$
poichè le potenze dell'unità immaginaria sono cicliche basta dimostrare la relazione per $n=3$
$\large \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{1}{a^3+b^3+c^3} \; \to \; \imath = \imath$
$\large \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{ab + bc + ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}$
uguagliando i numeratori e i denominatori
$\left\{{ab + bc + ac = 1} \\ {abc = a + b + c} \right$
dalla seconda
$c = \frac{a + b}{ab - 1}$
e dalla prima
$ab + \frac{{a(a + b)}}{{ab - 1}} + \frac{{b(a + b)}}{{ab - 1}}=1$
raccogliendo e semplificando
$a^2 + b^2 + a^2 b^2 - 1 = 0$
da cui
$a=\sqrt{-1}$ ; $b=a$ ; $c=-a$
$\large \{a = \imath \\ b = \imath \\ c = -\imath \. \;\; \vee \;\; \{a = -\imath \\ b = -\imath \\ c = \imath$
dalla prima
$\large \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c} \; \to \; -\imath = -\imath$
poichè le potenze dell'unità immaginaria sono cicliche basta dimostrare la relazione per $n=3$
$\large \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{1}{a^3+b^3+c^3} \; \to \; \imath = \imath$
[Sergio] / $17$
Re: Una curiosa relazione
Non credo sia lecito,nel confronto di due frazioni,eguagliare i numeratori
e i denominatori tra loro.
Per esempio da $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ non si deduce che 8=4 e 6=3.
Inoltre la traccia parla chiaramente di a,b,c come di numeri reali
karl
e i denominatori tra loro.
Per esempio da $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ non si deduce che 8=4 e 6=3.
Inoltre la traccia parla chiaramente di a,b,c come di numeri reali
karl
Re: Una curiosa relazione
A me è venuta questa idea.
Innanzitutto ho eliminato un'incognita,
considerato che a, b e c sono senz'altro
non nulli, cioè ho posto: a=ch e b=ck,
per h e k non nulli e da determinare.
Dalla prima equazione indicata, quindi,
ricavo subito questa:
(h+k+1)(hk+h+k) = hk
e, annotandomi che (h+1)(k+1) = hk+h+k+1,
trovo facilmente:
(h+1)(k+1)(h+k)=0
soddisfatta per:
h=-1 e k qualsiasi
o per
k=-1 e h qualsiasi
o per h=-k (qualsiasi).
In entrambe le equazioni di Karl, pertanto,
la somma di due frazioni del primo membro
diventa nulla e lo stesso accade per i due
termini corrispondenti nel denominatore che
compare a destra, per cui si ottiene sempre
un'identità (poiché l'esponente è naturalmente
dispari e quindi conserva il segno negativo
anche nella seconda relazione).
(Salvo sviste.)
Volo
Innanzitutto ho eliminato un'incognita,
considerato che a, b e c sono senz'altro
non nulli, cioè ho posto: a=ch e b=ck,
per h e k non nulli e da determinare.
Dalla prima equazione indicata, quindi,
ricavo subito questa:
(h+k+1)(hk+h+k) = hk
e, annotandomi che (h+1)(k+1) = hk+h+k+1,
trovo facilmente:
(h+1)(k+1)(h+k)=0
soddisfatta per:
h=-1 e k qualsiasi
o per
k=-1 e h qualsiasi
o per h=-k (qualsiasi).
In entrambe le equazioni di Karl, pertanto,
la somma di due frazioni del primo membro
diventa nulla e lo stesso accade per i due
termini corrispondenti nel denominatore che
compare a destra, per cui si ottiene sempre
un'identità (poiché l'esponente è naturalmente
dispari e quindi conserva il segno negativo
anche nella seconda relazione).
(Salvo sviste.)
Volo
Ultima modifica di Br1 il lun mag 12, 2008 2:15 pm, modificato 2 volte in totale.
Bruno
Re: Una curiosa relazione
In effetti sì, non è lecito, ma il problema non chiede di trovare le soluzioni delle equazioni.karl ha scritto:Non credo sia lecito,nel confronto di due frazioni,eguagliare i numeratori
e i denominatori tra loro.
Per esempio da $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ non si deduce che 8=4 e 6=3.
Inoltre la traccia parla chiaramente di a,b,c come di numeri reali
karl
Il metodo utilizzato trova una delle soluzioni della prima equazione per la quale vale anche la seconda (e quindi conferma la relazione), però nel campo dei complessi (questo mi era sfuggito), per cui non risolve li problema.
[Sergio] / $17$
Re: Una curiosa relazione
Puntuale e precisa ,come sempre,la risposta di Bruno.Una soluzione alternativa,ma non
molto dissimile da quella di Bruno,si può avere riducendo a forma intera la prima relazione.
In questo modo ,a conti fatti,viene l'eguaglianza:
(a+b)(b+c)(c+a)=0
da cui ,tenuto conto che a,b e c devono essere non nulli, si ricava ,ad esempio, a=-b e poi
il seguito coincide con quanto già detto da Bruno.
Saluti
karl
molto dissimile da quella di Bruno,si può avere riducendo a forma intera la prima relazione.
In questo modo ,a conti fatti,viene l'eguaglianza:
(a+b)(b+c)(c+a)=0
da cui ,tenuto conto che a,b e c devono essere non nulli, si ricava ,ad esempio, a=-b e poi
il seguito coincide con quanto già detto da Bruno.
Saluti
karl
Re: Una curiosa relazione
Grazie, Karl!
Dalla prima relazione si può inoltre ricavare
questa: $\,$ (a+b+c)³ = a³+b³+c³ $\,$
Dalla prima relazione si può inoltre ricavare
questa: $\,$ (a+b+c)³ = a³+b³+c³ $\,$
Bruno