Un sistema

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

karl
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Un sistema

Messaggio da karl »

Risolvere in R il seguente sistema:
$x^2-4\sqrt{3x-2}+10=2y\\ \,y^2-6\sqrt{4y-3}+11=x$
karl

Pasquale
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Re: Un sistema

Messaggio da Pasquale »

Dopo vario peregrinare e dopo aver sfiorato equazioni di grado troppo elevato, dopo aver posto in atto vanamente artifici semplificatori, ho deciso di provare a cercare eventuali soluzioni intere.

Dalla prima equazione:

$y = \frac{x^2}{2}-2\sqrt{3x-2}+5$

La x deve essere pari e tale che il radicando 3x-2 sia un quadrato: fortuna vuole che già x=2 soddisfa tali condizioni e per tale valore, y=3.
Sostituendo il valore della y nella seconda equazione, verifico che x=2 e dunque assumo che i valori di x ed y trovati siano soluzioni intere del sistema.
Non ne ho trovate altre e mi rendo conto che da un punto di vista matematico, questo procedimento non può esere definito nè canonico, nè induttivo, nè deduttivo, ma soltanto un procedimento a c......; tuttavia, non essendo soddisfatto della disfatta, ho cercato a titolo di mia curiosità di vedere quale altra soluzione non intera avrebbe potuto esistere.
Mi sono orientato sulla geometria analitica ed ho buttato giù un disegnino delle due curve nel campo di loro esistenza (x>=2/3; y>=3/4): ne vengono fuori due parabole con gli assi evidentemente perpendicolari fra loro, che si intersecano logicamente in P(2,3).
E' evidente che il tratto grafico non permette di effettuare delle affermazioni non dimostrate, ma sembrerebbe che le due curve siano tangenti, o meglio, è molto probabile che lo siano, visti anche i risultati del programmino di calcolo in Decimal Basic, lanciato in alta precisione.
Insomma, non è venuto fuori un secondo punto di intersezione e se proprio c'è, deve trovarsi proprio molto vicino al primo, sì da da poter assumere che i due punti siano coincidenti.
Certamente, il mio è un discorso che lascia il tempo che trova e resto quindi in attesa di vedere la soluzione bella.
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Quelo
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Re: Un sistema

Messaggio da Quelo »

A sostegno dell'ipotesi di Pasquale (che le due parabole passanti per {2,3} siano ivi tangenti) possiamo calcolare la derivata nel punto:

$\large \frac{dy(x)}{dx}=x-\frac{3}{\sqrt{3x-2}} \;\;;\;\; x=2 \to \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}$

$\large \frac{dx(y)}{dy}=2y-\frac{12}{\sqrt{4y-3}} \;\;;\;\; y=3 \to \frac{dx}{dy}=2$

Le due derivate sono l'una l'inverso dell'altra (quindi uguali trasponendo gli assi), ciò conferma che le curve sono tangenti in {2,3}
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karl
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Re: Un sistema

Messaggio da karl »

Bella analisi quella di Pasquale e la soluzione,integrata con l'osservazione di Quelo, è proprio quella !
Una soluzione più strettamente algebrica e che elimina una ricerca preventiva
può essere questa.Facciamo la somma delle due equazioni del sistema e
riduciamola,se possibile,ad una somma di quadrati al seguente modo:
$(x-2)^2+(y-3)^2+(...)^2+(...)^2=0$
Se ci si riesce ,la soluzione è trovata.Lascio a voi riempire le parentesi coi puntini... :D
Se qualcuno è interessato posto a breve un simpatico problemino sui luoghi geometrici
( che volete che vi dica,sono la mia passione e anche la mia ...disperazione !)
Buona domenica.
karl

vittorio
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Re: Un sistema

Messaggio da vittorio »

Chiedo scusa a tutti.
Vorrei chiedere perché, nel caso delle due curve in questione, viene usato il termine "parabola" e cosa si intende con asse.
Ciao
Vittorio
Vittorio

Quelo
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Re: Un sistema

Messaggio da Quelo »

vittorio ha scritto:Chiedo scusa a tutti.
Vorrei chiedere perché, nel caso delle due curve in questione, viene usato il termine "parabola" e cosa si intende con asse.
Ciao
Vittorio
Mi sono espresso in modo improprio, le curve in questione non sono parabole (anche se vagamente vi assomigliano) e definirle in tal modo è sicuramente sbagliato. Avrei dovuto dire simil-parabole.

Con "asse" mi riferisco agli assi cartesiani.

@ karl

Attendiamo il problemino sui luoghi geometrici (croce e delizia... :wink: )
[Sergio] / $17$

delfo52
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Re: Un sistema

Messaggio da delfo52 »

a proposito dei "luoghi geometrici", ricordo con vivissima chiarezza il compito a casa che ci diede, non ricordo in che classe, la prof. di matematica.
In una certa zona del far west, in uno dei classici paesini con tutte le case in fila lungo un'unica strada, un incendio distrugge tutte le costruzioni in legno. restano in piedi solo gli edifici in muratura, che ospitano i "servizi": Banca, municipio, negozi, hotel, stalla, ambulatorio....
Dovendo ricostruire tutte le case ad uso abitazione, si decide che non dovranno esserci "favoritismi", per cui le case andranno edificate in modo che ogni abitante, per andare in centro-percorrere la main street-e rientrare debba percorrere la stessa distanza.
ovviamente il terreno è tutto pianeggiante e libero.

Se gli edifici pubblici fossero tutti in un unico grattacielo, il luogo da edificare sarebbe una circonferenza
trattandosi di una via, anche se non troppo lunga,.............

Alla lezione successiva, una buona parte di noi, non aveva fatto niente
alcuni, tra cui il sottoscritto si era scervellato in soluzioni trigonometriche assurde
G. M. (notoriamente "deficiente") aveva costruito un meraviglioso esperimento con una tavoletta, due chiodi, una matita e un pezzo di spago legato a formare un "anello floscio" di adeguata lunghezza.

Dopo questo exploit il nostro compagno rientrò nel più assoluto anonimato
Enrico

Pasquale
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Re: Un sistema

Messaggio da Pasquale »

Giusta l'osservazione di Vittorio; infatti le equazioni non sono quelle delle parabole, dal momento che il termine in x appare sotto radice.
Ognuna delle due curve assomiglia ad una sorta di parabola con un ramo troncato e per asse intendevo la parallela all'asse delle ascisse, o delle ordinate, passante per il punto che potrebbe essere definito come il vertice della curva.
Scusate le imprecisioni e approssimazioni.
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Re: Un sistema

Messaggio da Br1 »

Bel sistema :D
Purtroppo arrivo tardi!

La soluzione di Karl, in effetti, è quella che "sento"
di più e naturalmente si completa con:


${\small \(\sqrt{3x-2}-2\)^2+\(\sqrt{4y-3}-3\)^2}$
Ultima modifica di Br1 il mar mag 06, 2008 6:17 pm, modificato 1 volta in totale.
Bruno

vittorio
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Re: Un sistema

Messaggio da vittorio »

Ho ancora qualche perplessità: ecco la prima.
Guardando il sistema come si può intuire di sommare le due equazioni e trasformare la somma in
$(x-2)^2+(y-3)^2 + ecc. =0$?
Come e da dove escono i numeri 2 e 3 che vi figurano?
Non presuppongono forse la preventiva conoscenza di una soluzione del sistema?
La soluzione data da Pasquale mi sembra più interessante anche se non esaustiva in quanto si limita alla ricerca di soluzioni intere.
Ed ecco la seconda perplessità.
dato che il testo richiede di risolvere in R il sistema chi mi garantisce che non vi siano altre altre soluzioni reali?

Ciao a tutti
Vittorio
Vittorio

karl
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Re: Un sistema

Messaggio da karl »

Risolvere un problema mettendoci un pizzico di inventiva e di fantasia
è nello spirito del gioco ( che di questo poi si tratta) .Altrimenti il divertimento
finisce !! :D
Aggiungo inoltre che il metodo di sommare le equazioni e tentare di ridurrre la somma
medesima ad una somma di quadrati può essere un metodo da provare ed applicandolo
si può facilmente scoprire in anteprima qualche soluzione, se il sistema lo permette.
Escludo tassativamente che nel caso in questione vi possano essere altre radici reali in quanto
una soluzione del sistema deve essere anche soluzione della somma delle equazioni ed
in R la somma di 2 o più quadrati è nulla sse ( solo e solo se) sono tutte nulle le basi dei suddetti quadrati.
Viceversa vi sono senz'altro soluzioni immaginarie dato che il sistema proposto ha grado superiore a 2
e la soluzione (2,3) conta solo come doppia.
Ma valle a trovare !! :D
A titolo di conferma invito Vittorio a risolvere,sempre in R, quest'altro sistema:
$x^2+7y+2=2z+4\sqrt{7x-3} \\ y^2+7z+2=2x+4\sqrt{7y-3}\\ \,z^2+7x+2=2y+4\sqrt{7z-3}$
In questo caso la ricerca preventiva di una soluzione è facilitata dalla invarianza del sistema
rispetto a permutazioni sulle variabili ma si può tentare ancora il metodo dei quadrati.
karl

vittorio
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Re: Un sistema

Messaggio da vittorio »

Evidentemente non mi sono spiegato bene. Io volevo solo capire in base a quale ragionamento, dalle equazioni del sistema, si poteva arrivare a capire che i primi due quadrati della somma dono proprio quelli di (x-2) e (y-3).
Comunque non ha importanza.
Vittorio

Br1
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Re: Un sistema

Messaggio da Br1 »

Non è vero che non è importante, Vittorio.
Può capitare che non ci si capisca, ma siamo
qui proprio per chiarirci.

Se riesco a trovare un po' di tempo, ti scrivo
come ho ragionato io, anche se sono arrivato
a quiz già risolto. Forse potrà esserti utile.

Però penso che anche Karl sarà ben contento
di aiutarti a capire ciò che intende.

Intanto ti posso dire, giusto un accenno, che
il primo passo è stato anche per me quello di
Pasquale: ho cercato di vedere se esistono
soluzioni semplici, a portata di mano. A me è
capitato di arrivarci con un paio di tentativi, ma
il concetto non cambia. Si tenta, a volte guidati
da problemi simili visti in passato.
Due veloci conti affidati a Excel mi hanno persuaso
che altre soluzioni reali dovessero essere molto
vicine a quella trovata.
L'esperienza, comunque, conta molto. E proprio
l'esperienza, ma anche l'intuizione, l'inventiva
(a volte attraverso gli scarabocchi più sconsiderati,
almeno nel mio caso :mrgreen:) portano a immaginare
quella cosa sulla somma dei quadrati. In altre
situazioni ha funzionato e vien naturale chiedersi
se funzioni anche in questa. Si prova, si tenta.

Va be', sappiamo che le teste possono essere molto
diverse fra loro e anche gli approcci, i metodi possono
cambiare parecchio!

...

Ma cosa sto dicendo, Vittorio? In realtà tu sei
un provetto risolutore, lo so bene, e forse non
ti serve tutta questa roba...

Passo la palla a Karl :D

Ciao!




Piesse - Ero tentato a trascrivere la mia soluzione
dell'ultimo sistema, ma lascio a voi il divertimento.
Bruno

karl
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Re: Un sistema

Messaggio da karl »

Mi metto dalla parte di chi deve risolvere il sistema col metodo dei quadrati.
La somma come già visto è:
( 1) $x^2+y^2-4\sqrt{3x-2}-6sqrt{4y-3}-x-2y+21=0$
A questo punto ,volendo applicare il metodo,la soluzione più ragionevole è tentare
di porre l'equazione precedente nella forma:
$(x+a)^2+(y+b)^2+(\sqrt{3x-2}+p)^2+(\sqrt{4y-3}+q)^2=0$
Naturalmente vi sono cento altri modi di scrivere questa equazione (forse esagero ! :D )
ma occorre tener presente che questa non è una soluzione codificata ma un tentativo di soluzione...
Confrontando allora con la (1) e tenuto conto che i coefficienti di x^2 e y^2 sono uguali ad 1, ne viene fuori il sistema:
$2a+3=-1\\ \ 2b+4=-2 \\ \ 2p=-4 \\ \ 2q=-6 \\ \ a^2+b^2+p^2+q^2-5=21$
Dalle prime 4 equazioni si ricava che :
$a=-2,b=-3,p=-2,q=-3$ ,valori che soddisfano anche la quinta equazione.
E poi il seguito.Così avrei ragionato io se avessi voluto tentare il metodo dei quadrati
e soprattutto se non avessi...già saputo la soluzione :D
karl

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Re: Un sistema

Messaggio da Br1 »

Grande Karl :D

Per me è sempre un piacere e anche
un imparare leggerti!

Forse dovrebbe dirlo Vittorio, visto che
il chiarimento l'ha chiesto lui... però lo
dico anch'io :wink:

Mi tocca latitare per un po', ciao a tutti :D
Bruno

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