Più facile di quel che sembra

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Alessandro
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Più facile di quel che sembra

Messaggio da Alessandro »

Ciao a tutti,
visto che sono alcuni giorni che non vengono proposti nuovi problemi, ho pensato di proporvene uno io:

1) Dimostrare che se il numero intero positivo N è il prodotto di un numero pari per un numero dispari,
allora risulta sempre possibile trovare 2 numeri interi positivi A e B (con A maggiore di B) tali che: N = A² - B² + A + B

2) Dimostrare che vale anche il viceversa, cioè:
se A e B sono 2 numeri interi positivi (con A maggiore di B),
allora: (A² - B² + A + B) può essere sempre scritto come prodotto di un numero pari per un numero dispari


Alessandro

(Modificato il 12/11/2014 alle ore 22:11)
Ultima modifica di Alessandro il mer nov 12, 2014 10:52 pm, modificato 4 volte in totale.

gnugnu
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Re: Più facile di quel che sembra

Messaggio da gnugnu »

Ciao Alessandro,
scusa ma qualcosa non mi quadra. A naso coglerei una somiglianza col problema difficile, che poi tanto difficile non era.
Qui, se pongo A=B=1 ottengo N=2 e questo mi dice che, fra i dispari compare, giustamente, anche 1. Se però pongo N=1*4=4 riesco ad ottenerlo solo con A=1 e B=2 che viola la condizione A maggiore o uguale a B.
Dove Sbaglio?
Riciao

Alessandro
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Re: Più facile di quel che sembra

Messaggio da Alessandro »

Ciao Beppe,
si, effettivamente, hai ragione dovevo escludere il numero 1 dai dispari,
e parlare di un prodotto di un numero pari ed uno dispari entrambi maggiori di 1
(...e di conseguenza dovrei anche richiedere che A sia maggiore di 1)

In quanto alla somiglianza con l'altro problema è la ragione per cui questo problema è più facile di quel che sembra,
infatti non è altro che un modo diverso per esporre il problema che ho inserito la volta scorsa.
Volevo semplicemente risvegliare un poco il Forum, visto che da qualche giorno non c'erano nuovi messaggi.


Alessandro

Alessandro
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Re: Più facile di quel che sembra

Messaggio da Alessandro »

Scusate,
avevo fatto un errore nello scrivere la formula,
ora è scritta in modo corretto. (...spero!!!) :D


Alessandro

Pasquale
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Re: Più facile di quel che sembra

Messaggio da Pasquale »

Riformulazione del caso 1):

se un numero intero positivo N è il prodotto di un numero pari P per un numero dispari D (escludendo 1 dai dispari),
considerato l'assunto che è sempre possibile trovare 2 numeri interi positivi A e B (con A > B >= 1), tali che $\text N = PD = A^2 - B^2 + A + B ,$
formulo la seguente congettura:

fra le varie possibili soluzioni, o comunque se la soluzione è unica, è sempre vero che:

$\text c.) A = \frac {P+D-1}{2}$

Sulla scorta di tale congettura, si dimostra che:

$B_1 = \frac {P-D+1}{2}$

$B_2 = \frac {D-P+1}{2}$

con questo significando che fra i due B va scartato quello con valore negativo.

Di seguito il valore di B, sostituendo A come da c.) nell'eguaglianza iniziale di N:

$\text PD = (\frac {P+D-1}{2})^2 - B^2 + \frac {P+D-1}{2} + B$

e sviluppando si perviene all'equazione di 2° grado:

$4B^2 - 4B - (P-D)^2 + 1 = 0$

dalla quale le $B_1 e B_2$ di cui sopra.


A voi il compito di dimostrare o confutare la congettura.


Caso 2):

A² - B² + A + B = (A+B)(A-B) + (A+B) = (A+B)(A-B+1)

Appare evidente che se il primo fattore è pari, il secondo è dispari e viceversa



A questo punto, sulla 1) potrei asserire che:

$\text dato N = PD come sopra e dato A^2-B^2+A+B, con A > B >= 1, ove A=\frac{P+D-1}{2} e B=\frac{P-D+1}{2} oppure B=\frac{D-P+1}{2}, allora:$

$N = PD = A^2-B^2+A+B$
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Re: Più facile di quel che sembra

Messaggio da Info »

Ciao Pasquale.....

rispondo sul punto 1

parto da $n = a^2-b^2+a+b$

pongo $a = \(b+k\)$ visto che e`maggiore di b
$n=\(b+k\)^2-b^2+\(b+k\)+b \\ n=b^2+2b\cdot k+k^2-b^2+2b+k \\ n=2b\cdot k+k^2+2b+k \\ n=2b\(k+1\)+k\cdot\(k+1\) \\ n=\(2b+k\)\cdot\(k+1\)$

sicuramente si tratta di un pari per un dispari....

Pasquale
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Re: Più facile di quel che sembra

Messaggio da Pasquale »

Mi piace, ma questo non è il caso 2) ?
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Re: Più facile di quel che sembra

Messaggio da Info »

Pasquale ha scritto:Riformulazione del caso 1):

se un numero intero positivo N è il prodotto di un numero pari P per un numero dispari D (escludendo 1 dai dispari),
considerato l'assunto che è sempre possibile trovare 2 numeri interi positivi A e B (con A > B >= 1), tali che N = PD = A^2 - B^2 + A + B ,
formulo la seguente congettura:
ho poi letto tutto il problema ma mi sono poi fermato sull'equazione.... diciamo che ho dimostrato la seconda parte...
dovrei aver fatto giusto, comunque l'hai poi ridimostrato nel caso 2, si potrebbe dire che abbiamo ragione entrambi

Pasquale
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Re: Più facile di quel che sembra

Messaggio da Pasquale »

Si, si va bene. Mi riferivo al caso 1) come formulato da Alessandro, nel quale bisogna dimostrare che A^2 - B^2 + A + B, oltre il corrispondere al prodotto di un pari per un dispari, deve corrispondere al prodotto di uno specifico pari per uno specifico dispari, cioè quello di partenza N=PD, individuando giusti valori per A e B; bisogna anzi dimostrare che esistono sempre i giusti valori di A e B che lo consentono.
Nella mia riformulazione ho utilizzato dei particolari valori di A e B, in funzione di P e D, tali da soddisfare la condizione (il primo l'ho individuato con l'osservazione di alcuni casi, da cui la mia definizione di congettura, il secondo per dimostrazione, dando per scontata la validità della congettura).
Tuttavia ho poi dimostrato che i particolari valori di A e B da me individuati soddisfano sempre l'eguaglianza richiesta, ma non sono sempre gli unici (a volte si) e quindi non ho generalizzato.
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Re: Più facile di quel che sembra

Messaggio da Info »

ok, ok Pasquale :-) molto bello.... Grazie mille per le delucidazioni

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