Periodo 9

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Paolo3
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Periodo 9

Messaggio da Paolo3 » ven gen 15, 2016 10:23 am

I numeri decimali periodici sono frutto del rapporto tra due interi ma i numeri con periodo 9 sono considerati inesistenti(E' impossibile trovare due interi tali che il loro quoziente abbia periodo 9) ma ciò che ho scritto tra parentesi non è una dimostrazione. Ho letto su di un libro di analisi la dimostrazione che i numeri di periodo 9 non esistono ma non l'ho capita. Sapreste darmene una rigorosa che sia possibilmente semplice? Grazie

Paolo3
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Re: Periodo 9

Messaggio da Paolo3 » ven gen 15, 2016 3:28 pm

Un piccolo appunto: 0,9999999999..... con il numero di 9 che tende ad infinito tende a 1 ma non è 1.

gnugnu
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Re: Periodo 9

Messaggio da gnugnu » sab gen 16, 2016 11:09 am

Anche quel che scrivo non è una dimostrazione, ma può far pensare...
1/3= 0.(3); 3*0.333333..=0.999999..., ma anche 3*1/3=1.
Ciao

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Re: Periodo 9

Messaggio da Paolo3 » dom gen 17, 2016 12:57 pm

Il nocciolo del problema è che $1/3$ è il numero mentre 0,333333.... è la sua rappresentazione decimale che, avendo infinite cifre, contiene sempre un errore che tende a 0 ma sempre maiore di 0. Tuttavia è vero che il periodo 3 esista e che sia corretto. Ma il modo migliore per moltiplicare un decimale periodico per un altro numero è prima trasformarlo in una frazione.

delfo52
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Re: Periodo 9

Messaggio da delfo52 » dom gen 17, 2016 1:43 pm

bisogna stare attenti alle parole.
0,99999... se dici che il numero dei 9 tende ad infinito, non è uguale a 1; ma se diciamo zero virgola 9periodico, il numero dei 9 è infinito e il numero è uguale a 1
Enrico

ronfo
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Re: Periodo 9

Messaggio da ronfo » mar gen 19, 2016 4:33 pm

In effetti riprendendo il discorso di Enrico a ben guardare si ha
1-09=0.1
1-0.99=0.01
1-0.999=0.001
1-0.999....9=0.000....1
teoricamente quando il numero di cifre diventa infinito la differenza diventa zero.
Vado a memoria (che purtroppo non è buona ) e mi ricordo che un certo Ivan Niven ha scritto in un suo manualetto (se non vado errato " Numeri razionali e numeri irrazionali)
che tutti i numeri razionali con periodo 9 sono equivalenti al numero razionale con l'ultima cifra +1
( non mi sono spiegato bene ma per intenderci $0.\overline{9} = 1$ oppure$12.374\overline{9} = 12.375$)
Ciao

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Re: Periodo 9

Messaggio da Paolo3 » ven feb 05, 2016 6:11 pm

Mi è venuta in mente una cosa importante: per l'analisi matematica che viene insegnata all'università ogni numero ha una ed una sola rappresentazione decimale; col periodo 9 si hanno due rappresentazioni, ovunque noi posizioniamo tale rappresentazione. Quindi il numero 1 si può scrivere soltanto 1 a meno che 1 sia un limite. Per es. la somma per n che va da 1 a infinito di$9/(10^n)$, ossia 0,999999... tende ad uno ma non è 1.

Gianfranco
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Re: Periodo 9

Messaggio da Gianfranco » ven feb 05, 2016 10:02 pm

Paolo3 dice:
I numeri decimali periodici sono frutto del rapporto tra due interi ma i numeri con periodo 9 sono considerati inesistenti
per l'analisi matematica che viene insegnata all'università ogni numero ha una ed una sola rappresentazione decimale
Queste affermazioni potrebbero essere corrette oppure scorrette: dipende da tutto quello che c'è scritto prima.
A proposito di allineamenti decimali, sulle dispense universitarie si possono trovare diverse impostazioni. Per esempio (vado a memoria):
a) chi sostiene che ogni numero reale ha una unica rappresentazione decimale deve ritenere gli allineamenti decimali con periodo 9 inammissibili (non inesistenti);
b) chi invece ammette tali allineamenti, deve poi ammettere che ciascun numero razionale ha 2 rappresentazioni periodiche (periodo 0 e periodo 9);

Se uno vuole costruire il sistema dei numeri reali rappresentandoli come allineamenti decimali deve fare la fatica di definire tali oggetti (e qui c'è qualche margine di libertà) facendo però in modo che rispettino tutti gli assiomi del sistema stesso.

Timothy Gowers, in un breve articolo intitolato What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals? dice:
To begin with, one defines an infinite decimal in the obvious way, as a finite sequence of elements of the set {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} followed by a decimal point followed by an infinite sequence of elements of the set {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. This isn't quite the whole definition since one must point out that some of these objects are equal: for example, 0124.383478... is the same number as 124.383478... (assuming of course that the sequences continue in the same way) and 1.9999999... is the same number as 2. (About this last example, by the way, there can be no argument, since I am giving a definition. I can do this in whatever way I please, and it pleases me to stipulate that 1.999999... =2 and to make similar stipulations whenever I have an infinite string of nines.)
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Periodo 9

Messaggio da Paolo3 » mar feb 16, 2016 3:06 pm

Se $1-0,999999...=a$ , a sarebbe il più piccolo dei numeri reali e questo è impossibile perchè tra a e 0 ci sono altri infiniti reali. C'è una possibilità nel campo dei numeri iper reali, modello che contempla l'esistenza di infinitesimi maggiori di 0 e minori di qualsiasi numero reale. La differenza principale è l'accettare o no la proprietà archimedea; se si accetta e si prende un numero a ed un numero b >a esiste n naturale tale che $na>b$ e da questo si deduce che non esiste un numero reale minore di tutti gli altri. Se neghiamo la proprietà archimedea allora esiste a<b tale che $na<b$ per qualsiasi n. in quest'ultimo caso a sarebbe un infinitesimo come quelli definiti sopra.

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Re: Periodo 9

Messaggio da Gianfranco » gio feb 18, 2016 9:30 pm

Permettetemi di scherzare un po', ma non troppo.

Parte seria: su questo argomento (anche dal punto di vista dell'analisi non-standard) ho trovato utile il seguete articolo, su arXiv:
http://arxiv.org/pdf/1007.3018.pdf (When is .999... less than 1?)

Parte scherzosa: forse nessuno ve l'ha mai detto, ma in realtà il periodo 9 si può ottenere da una divisione di due numeri naturali.
Basta modificare di un briciolo e ragionevolmente l'algoritmo della divisione.
Vediamo come.
La regola usuale dice che in una divisione tra numeri naturali il resto deve essere strettamente minore del divisore.
Io propongo la seguente modifica: il resto deve essere non maggiore del divisore.

a \div b=q con resto r se e solo se a=b \times q+r con r \leq b
Detto questo, ecco come si può ottenere un periodo 9 con una divisione lecita.
div09.png
div09.png (8.59 KiB) Visto 3562 volte
In conclusione:
5 \div 5=0, \overline{9}=1
1-0, \overline{9}=0
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Periodo 9

Messaggio da peppe » dom feb 28, 2016 8:23 pm

Ciao Gianfranco,
in questo libro ho trovato un esempio analogo
Allegati
Facile-o-difficile.jpg
Facile o difficile
Facile-o-difficile.jpg (15.78 KiB) Visto 3539 volte
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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Re: Periodo 9

Messaggio da peppe » dom feb 28, 2016 8:25 pm

... questo:
divisione.jpg
divisione sbagliate
divisione.jpg (36.27 KiB) Visto 3539 volte
...
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Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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Re: Periodo 9

Messaggio da peppe » dom feb 28, 2016 8:28 pm

E così nasce un altro problemino per me. Come si continua a scrivere dopo aver allegato un' immagine?
Come si inseriscono due immagini nella stessa pagina con intercalato del testo.

Sto diventando pesante... :oops: Ciao.
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
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Re: Periodo 9

Messaggio da Gianfranco » dom feb 28, 2016 10:02 pm

Ciao Peppe, ti ringrazio infinitamente per la segnalazione del libro, non lo conoscevo. Molto interessante.

Hai scritto:
Come si continua a scrivere dopo aver allegato un' immagine?
Per le immagini linkate sul web c'è già la risposta di Pietro, quel che segue vale solo per le immagini che caricate come allegati.

Dopo aver allegato l'immagine, clicca sul pulsante [inserisci in linea con il testo].
All'inizio del tuo post comparirà automaticamente il seguente codice:

Codice: Seleziona tutto

[attachment=0]div09.png[/attachment]
, dove "div09.png" è il nome del file immagine che hai già allegato.

Ora puoi spostare con il taglia&incolla il codice

Codice: Seleziona tutto

[attachment=0]div09.png[/attachment]
nel punto in cui desideri che compaia l'immagine.
Puoi quindi continuare a scrivere ed eventualmente inserire altre immagini con lo stesso procedimento.
---
Per essere più chiaro, mi sono permesso di inserire un po' di testo (tre puntini) dopo l'immagine del tuo post di dom feb 28, 2016 9:25 pm
Se provi a modificarlo usando il pulsante "Modifica", vedrai chiaramente il codice da scrivere per inserire un'immagine in mezzo al testo.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Periodo 9

Messaggio da peppe » lun feb 29, 2016 1:06 am

Grazie. Sei stato chiarissimo.
Tu ,Pietro e gli altri amici dovete scusarmi se di tanto in tanto vi disturbo.
Non ho tanta dimistichezza con le nuove tecnologie né sempre riesco
a trovare in rete una risposta ai miei dubbi.

Il libro della RBA, " Facile o difficile?" ,arrivato forse per sbaglio nell'edicola del mio "rosto" , lo
trovo veramente interessante.
Il sottotitolo: "Apprendere e insegnare la matematica" è azzeccato.

Mette a nudo le difficoltà degli alunni e dei docenti nell'apprendimento di una materia,
"con fama di materia difficile in quanto astratta....
il suo apprendimento è sempre dipeso da come è concepita la disciplina
e dai metodi scelti per trasmetterla...


In grassetto alcune citazione dalla quarta di copertina. Grazie ancora.peppe
«Un uomo è come una frazione il cui numeratore è quello che è, e il cui denominatore quello che pensa di sé.
Più grande è il denominatore, minore la frazione.» Lev Nikolàevič Tolstòj(1828-1910).

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