per difetto e per eccesso

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ronfo
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per difetto e per eccesso

Messaggio da ronfo » dom lug 24, 2016 3:22 pm

Ciao a tutti
Sto leggendo un libro intitolato
Numeri incredibili di Ian Stewart,
lo trovo decisamente interessante
perchè spazia in tutte le direzioni della matematica
e anche se nessun capitolo è esaustivo da una buona panoramica
dei problemi che affronta.
Leggendo un capitolo sui numeri irrazionali mi è sorto un dubbio
che potrebbe essere una congettura (se non è già stata posta da altri)
prendiamo la classica radice quadrata di due
ci sono due numeri il primo aprossimato per difetto e il secondo per eccesso con lo stesso numero
di cifre decimali ( che non siano 1 e 2) tali che il loro prodotto dia esattamente due ?
Ho effettuato vari tentativi con i mezzi a mia disposizione (la calcolatrice del PC) ma la risposta è negativa ,
sembra che la situazione peggiori con l'aumentare delle cifre ...
ma non riesco a darne una dimostrazione .
Il discorso di cui sopra vale per tutti gli irrazionali?
Cordiali saluti a tutti
Ronfo

Gianfranco
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Re: per difetto e per eccesso

Messaggio da Gianfranco » dom lug 24, 2016 10:38 pm

Per esempio:
1,25 e 1,60
0,8 e 2,5
0,32 e 6,25
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

ronfo
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Re: per difetto e per eccesso

Messaggio da ronfo » mar lug 26, 2016 12:50 pm

Grazie Gianfranco
non avevo pensato a questa eventualità
forse la domanda è malposta ma ciò che intendevo è se nella serie di copie
1,4 ; 1,5
1,41 ; 1,42
1,414 ; 1,415
1,414...n ; 1,414...(n+1)

se ne può trovare una che dia come prodotto due
Grazie ancora e buona giornata
Ronfo

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Re: per difetto e per eccesso

Messaggio da Gianfranco » mar lug 26, 2016 8:53 pm

OK, forse ho capito, Ronfo.
Allora tu chiedi di dimostrare che non esistono due numeri razionali , x, y (con x>y) tali che la loro differenza sia 1/10, 1/100, 1/1000, ... e il loro prodotto sia 2.
Anzi, la tua congettura è più restrittiva di questa, ma se vale questa, a maggior ragione vale la tua.
\large x-y=10^{-n}
\large x \cdot y=2

L'equazione risolutiva è:
\large x= \frac{1 \pm \sqrt {1+8\cdot 10^{2n}}}{2\cdo10{n}}

Ora, basterebbe dimostrare che:
\large 1+8\cdot 10^{2n} per \large n>0 non è mai un quadrato perfetto da cui discenderebbe che x non è razionale (a parte una eccezione)

Scriviamo in un altro modo:
\large 1+2\cdot (4\cdot10^{2n})

L'espressione in parentesi tonde è un quadrato perfetto, quindi possiamo riscrivere:
\large 1+2\cdot k^2

Finalmente concludiamo che il doppio di un quadrato +1 non può essere un quadrato perfetto, tranne nel caso che abbiamo escluso di k=2.
SAC (stento a crederci)
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: per difetto e per eccesso

Messaggio da ronfo » mer lug 27, 2016 3:06 pm

Troppo forte
SEI OK
Grazie e buona giornata
Ronfo

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