Passeggiate di mathematici

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giobimbo
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Passeggiate di mathematici

Messaggio da giobimbo » mer lug 12, 2006 4:15 pm

Ogni tanto vado nel sito dei Rudi Mathematici a prendere l'omonima rivista - di cui apprezzo molto l'articolo iniziale sul compleanno dei matematici - e mi scarico tutti i numeri usciti dopo l'ultima visita. Nel numero 85 c'era un problema sulle permutazioni il cui senso generale era questo: dato un numero pari n di punti disposti in circolo, assegnare ad essi i numeri da 1 a n, ad ogni punto un numero diverso, poi partendo dal punto A col numero r, fare r passi fino a giungere al punto B col numero s, da lì fare s passi e giungere al punto C col numero t, eccetera, fino ad arrivare a un punto su cui ci si è già stati. Con un passo s'intende l'andare da un punto al successivo, procedendo in senso orario. L'esempio dato era
2 3 5 6 1 4
e quindi l'ordine dei numeri toccati, partendo da 2 era
2 5 3 1 4 6.
E' possibile assegnare i numeri da 1 a n in modo da poter partire da un punto e toccare tutti gli altri? Questo problema è stato analizzato e risolto nei numeri successivi, ma io mi son chiesto se si poteva costruire un dispositivo analogico su cui cercare graficamente le soluzioni. Prendendo lo spunto dalla discussione "Un misterioso elemento algebrico" eccone il risultato con n=6:

3...2...1...0...5...4
4...3...2...1...0...5
5...4...3...2...1...0
0...5...4...3...2...1
1...0...5...4...3...2
2...1...0...5...4...3

A quale permutazione corrisponde? Partendo dalla riga 1 sottraiamo al numero di riga il numero scelto in quella riga modulo 6, il risultato sarà la prossima riga da cui continuare:
1 - 5 = 2
2 - 2 = 6
6 - 3 = 3
3 - 4 = 5
5 - 1 = 4
4 - 3 = 1.
I passi da fare circolarmente sono dunque 5 2 3 4 1 3. Dobbiamo toccare i sei numeri con cinque movimenti diversi, quindi scartiamo uno dei 3 doppi, il che ci dà due passeggiate possibili, 5 2 3 4 1 e 4 1 3 5 2; vediamo la permutazione ottenibile con la prima di queste sequenze. Il numero finale della passeggiata è 6, per cui scriviamo:
0 0 0 0 0 6
Il primo movimento è di 5 passi allora, procedendo in circolo, a ritroso, partendo da 6 otteniamo:
5 0 0 0 0 6
Il secondo movimento è di 2 passi, stavolta partendo da 5:
5 0 0 0 2 6
poi:
5 3 0 0 2 6
5 3 0 4 2 6
5 3 1 4 2 6
Da questa permutazione, partendo da 1 e procedendo in senso orario, vengono toccati tutti i punti. Con la scelta 4 1 3 5 2 avremmo ottenuto:
0 0 0 0 0 6
0 4 0 0 0 6
1 4 0 0 0 6
1 4 0 3 0 6
1 4 0 3 5 6
1 4 2 3 5 6,
con partenza dal numero 2.
Si possono scegliere più numeri anche nelle diagonali contrarie, vedi un facile esempio sotto, l'importante è che nelle sottrazioni modulo n saltino fuori tutte le n righe:

3...2...1...0...5...4
4...3...2...1...0...5
5...4...3...2...1...0
0...5...4...3...2...1
1...0...5...4...3...2
2...1...0...5...4...3

Problema: trovare nella tabella 10x10 (tutti 5 nella diagonale principale, quindi occorre scegliere due 5) una soluzione non simmetrica.

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