Palindromi 'somma+prodotto'.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Palindromi 'somma+prodotto'.

Messaggio da Bruno » ven gen 10, 2020 3:49 pm

Con leggerezza :wink:

xy è un palindromo e x, y sono le sue due parti 'speculari'.

Quali sono i numeri xy per i quali x+y+x·y = xy ?
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Pasquale
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Re: Palindromi 'somma+prodotto'.

Messaggio da Pasquale » sab gen 11, 2020 2:11 am

Se si consentisse x = y , allora sarebbe: palindromo = $x^2+2x$
In tal caso, avremmo infinite soluzioni attribuendo ad x quante cifre si voglia, tutte uguali a 9.
In caso diverso, la vedo più complicata.

Aggiungo un esempio, in cui impongo un valore al palindromo a mia scelta (9999):

$x^2 + 2x = 9999$
$x^2 + 2x - 9999 = 0$
da cui:
x = 99
y = x = 99

Si nota che se il termine noto dell'equazione è formato da un numero pari di 9, nello svolgimento dell'equazione, il radicando sarà sempre un quadrato perfetto multiplo di 10 al quale sarà sottratto poi l''unità fuori radice, così generando i 9 della x .
Viceversa, per ogni x = y , ciascuno uguale a quanti 9 si voglia, l'espressione $x^2 + 2x$ produrrà un palindromo formato da una quantità doppia di 9 rispetto a quella della x .
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\text {     }ciao Immagine ciao
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Bruno
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Re: Palindromi 'somma+prodotto'.

Messaggio da Bruno » lun gen 13, 2020 12:38 pm

Pasquale ha scritto:
sab gen 11, 2020 2:11 am
In caso diverso, la vedo più complicata.

In effetti, Pasquale, la cosa è semplice.

Abbiamo detto che xy è palindromo, necessariamente provvisto di un numero pari di cifre, e x, y sono le due parti con le cifre invertite (come 1234 e 4321).

Se xy = x·y + y + x, allora, detto n il numero delle cifre di x e y: $\;$ 10ⁿ·x + y = x·y + y + x → y = 10ⁿ - 1.

Questo vuol dire che i numeri cercati possono essere solo del tipo 99, 9999, 999999 etc.

Ma qui capita qualcosa di carino.

Prendiamo 99999999, per esempio.
Possiamo scrivere:

9999·9999 + 9999 + 9999 = 99999999 (e questo lo sappiamo),
9999999·9 + 9999999 + 9 = 99999999,
999999·99 + 999999 + 99 = 99999999,
99999·999 + 99999 + 999 = 99999999.

Tale proprietà si può dimostrare facilmente (quasi in un batter d'occhio) e vale anche per:
19999999, 29999999, 39999999, 49999999, 59999999, 69999999, 79999999 e 89999999.
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